Matematika Sekolah Dasar dan Menengah · Grades 1–9

49Perbandingan Senilai

Kelas 6 bertemu tabel yang sebanding (Bab 44); bab ini mengubah perbandingan senilai menjadi alat yang utuh: aturan perkalian silang untuk mencari nilai keempat, persen, serta skala peta dan model. Kelajuan, perbandingan senilai yang paling terkenal, dipelajari pada Bab 61.

49.1 Mengenali dan melengkapi tabel

Definisi 49.1 (Tabel perbandingan senilai)

Tabel dengan dua baris disebut tabel perbandingan senilai jika bilangan pada baris kedua adalah bilangan baris pertama yang dikalikan satu bilangan tetap, yaitu koefisiennya. Setara dengan itu: semua hasil bagi kolom $\frac{\text{bawah}}{\text{atas}}$ bernilai sama.

Contoh 49.2

atas	$4$	$10$	$14$
bawah	$6$	$15$	$21$

Hasil baginya: $\frac64 = 1.5$ , $\frac{15}{10} = 1.5$ , $\frac{21}{14} = 1.5$ : sebanding, dengan koefisien $1.5$ .

Teorema 49.3 (Aturan perkalian silang)

Pada tabel perbandingan senilai dengan kolom $\begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix}$ dan $\begin{pmatrix} c \\ d \end{pmatrix}$ , kedua hasil kali silangnya sama:

a \times d = b \times c .

Akibatnya nilai keempat dapat dihitung dari ketiga nilai yang lain: $d = \dfrac{b \times c}{a}$ .

Bukti. Misalkan $k$ koefisiennya: $b = ka$ dan $d = kc$ . Maka

a \times d = a \times kc = k \times ac, \qquad b \times c = ka \times c = k \times ac :

kedua hasil kali silangnya sama dengan $k \times ac$ . Membagi $ad = bc$ dengan $a$ memberi rumus untuk $d$ . ∎

Contoh 49.4 (Nilai keempat yang sebanding)

Kalau $7$ buku yang sama beratnya $2.8$ kg, berapa berat $12$ buku semacam itu? Tabel dan aturan perkalian silang:

buku	$7$	$12$
kg	$2.8$	$m$

7 \times m = 2.8 \times 12 \quad\Longrightarrow\quad m = \frac{2.8 \times 12}{7} = \frac{33.6}{7} = 4.8 \text{ kg}.

Periksa lewat satuan: satu buku beratnya $0.4$ kg, dan dua belas buku $4.8$ kg.

49.2 Persen

Metode 49.5 (Menerapkan dan mencari persen)

Terapkan $t\,\%$ : kalikan dengan $\frac{t}{100}$ ( $12\,\%$ dari $350$ adalah $0.12 \times 350 = 42$ );
carilah persen yang diwakili sebuah bagian: hitunglah $\frac{\text{bagian}}{\text{keseluruhan}}$ lalu tulis ulang atas $100$ ( $21$ dari $60$ : $\frac{21}{60} = \frac{35}{100} = 35\,\%$ );
tanyakan selalu: persen dari apa? Keseluruhan yang menjadi acuannya itu penting.

Contoh 49.6

Di sebuah sekolah, $180$ dari $400$ muridnya perempuan. Persennya:

\frac{180}{400} = \frac{180 \div 4}{400 \div 4} = \frac{45}{100} = 45\,\% .

Sebaliknya: berapa banyak murid laki-laki yang $55\,\%$ itu? $0.55 \times 400 = 220$ . Periksa: $180 + 220 = 400$ .

49.3 Skala

Definisi 49.7 (Skala)

Pada peta atau model berskala skala $\frac{1}{n}$ (ditulis $1 : n$ ), jarak pada peta sebanding dengan jarak yang sebenarnya, dengan koefisien $\frac1n$ :

\text{jarak pada peta} = \frac{1}{n} \times \text{jarak sebenarnya},

keduanya diukur dengan satuan yang sama.

Contoh 49.8

Pada peta $1 : 50\,000$ , dua kota berjarak $7$ cm. Jarak sebenarnya:

7 \times 50\,000 = 350\,000 \text{ cm} = 3\,500 \text{ m} = 3.5 \text{ km}.

Sebaliknya, jalur pendakian sepanjang $12$ km terukur pada peta: $12$ km $= 1\,200\,000$ cm, jadi $1\,200\,000 \div 50\,000 = 24$ cm.

Skala adalah perbandingan senilai: jarak pada peta melawan jarak sebenarnya berbaris pada garis lurus yang melalui titik asal (di sini 1 cm 4 km; garis putus-putusnya membaca 7 cm 28 km). — Skala adalah perbandingan senilai: jarak pada peta melawan jarak sebenarnya berbaris pada garis lurus yang melalui titik asal (di sini $1$ cm $\leftrightarrow$ $4$ km; garis putus-putusnya membaca $7$ cm $\leftrightarrow$ $28$ km).

Catatan 49.9

Grafik adalah uji perbandingan senilai yang paling cepat (Bab 44): titik yang berbaris pada garis lurus melalui titik asal berarti besaran yang sebanding; garis yang meleset dari titik asal (seperti tarif taksi dengan biaya tetap) berarti tidak sebanding, walaupun ia garis lurus. Fungsi afin, pada Bab 67, akan memperjelas hal ini.

49.4 Latihan

Latihan 49.1 ★

Tabel mana yang merupakan tabel perbandingan senilai? Sebutkan koefisiennya kalau ada.

	$3$	$7$	$11$
	$7.5$	$17.5$	$27.5$

	$2$	$5$	$9$
	$6$	$15$	$28$

Solusi

Solusi Latihan 49.1.

Tabel pertama: hasil baginya $\frac{7.5}{3} = 2.5$ , $\frac{17.5}{7} = 2.5$ , $\frac{27.5}{11} = 2.5$ : sebanding, dengan koefisien $2.5$ .

Tabel kedua: $\frac62 = 3$ dan $\frac{15}{5} = 3$ , tetapi $\frac{28}{9} \approx 3.1$ : tidak sebanding.

Latihan 49.2 ★

Lengkapilah dengan aturan perkalian silang, sambil menulis perhitungannya: $5$ kg kentang berharga $6$ euro; berapa harga $8$ kg?

Solusi

Solusi Latihan 49.2.

Dengan aturan perkalian silang: $5 \times p = 6 \times 8$ , jadi $p = \frac{48}{5} = 9.60$ euro.

Latihan 49.3 ★

Sebuah pencetak mencetak $36$ halaman dalam $3$ menit. Dengan laju yang sama, berapa halaman dalam $5$ menit? Berapa lama untuk $96$ halaman?

Solusi

Solusi Latihan 49.3.

Lajunya: $36 \div 3 = 12$ halaman per menit. Dalam $5$ menit: $60$ halaman. Untuk $96$ halaman: $96 \div 12 = 8$ menit.

Latihan 49.4 ★

Hitunglah: $30\,\%$ dari $250$ ; $15\,\%$ dari $60$ ; $t\,\%$ sedemikian sehingga $t\,\%$ dari $80$ adalah $20$ .

Solusi

Solusi Latihan 49.4.

$30\,\%$ dari $250$ : $0.3 \times 250 = 75$ . $15\,\%$ dari $60$ : $0.15 \times 60 = 9$ . $t\,\%$ dari $80$ adalah $20$ : $\frac{20}{80} = \frac{25}{100}$ , jadi $t = 25$ .

Latihan 49.5 ★

Dari $25$ lemparan, seorang pemain bola basket memasukkan $18$ . Berapa persen keberhasilannya? (Tulislah ulang pecahannya atas $100$ .)

Solusi

Solusi Latihan 49.5.

$\frac{18}{25} = \frac{18 \times 4}{25 \times 4} = \frac{72}{100} = 72\,\%$ .

Latihan 49.6 ★

Pada peta $1 : 25\,000$ , sebuah jalan setapak terukur $9$ cm. Berapa panjangnya yang sebenarnya dalam km? Sebuah danau panjangnya $2$ km: berapa panjangnya pada peta?

Solusi

Solusi Latihan 49.6.

Jalan setapaknya: $9 \times 25\,000 = 225\,000$ cm $= 2.25$ km. Danaunya: $2$ km $= 200\,000$ cm di tanah, jadi $200\,000 \div 25\,000 = 8$ cm pada peta.

Latihan 49.7 ★

Sebuah mobil model dibuat dengan skala $1 : 43$ . Mobil aslinya panjangnya $4.3$ m. Berapa panjang modelnya, dalam cm?

Solusi

Solusi Latihan 49.7.

$4.3$ m $= 430$ cm, dan $430 \div 43 = 10$ cm.

Latihan 49.8 ★★

Sebuah resep memakai $240$ g cokelat untuk $8$ sajian. Alin punya $300$ g cokelat. Untuk berapa sajian cokelat itu cukup (dalam bilangan sajian yang bulat)?

Solusi

Solusi Latihan 49.8.

Cokelat per sajian: $240 \div 8 = 30$ g. Dengan $300$ g: $300 \div 30 = 10$ sajian tepat.

Latihan 49.9 ★★

Harga sebuah jaket turun dari $80$ menjadi $60$ euro.

Berapa potongannya dalam euro? Berapa persen dari harga semula?
Kemudian harganya naik lagi dari $60$ menjadi $80$ euro. Jelaskan mengapa kenaikan itu bukan $25\,\%$ — hitunglah persen kenaikan yang benar.

Solusi

Solusi Latihan 49.9.

1. Potongannya: $20$ euro, yaitu $\frac{20}{80} = 25\,\%$ dari harga semula.

2. Kenaikan $20$ euro itu sekarang dibandingkan dengan acuan yang baru, yaitu $60$ : $\frac{20}{60} = \frac13 \approx 33\,\%$ . Persen selalu mengacu pada suatu keseluruhan; keseluruhannya berubah, jadi persennya berubah juga.

Latihan 49.10 ★★

Dua baris sebuah tabel saling sebanding:

	$4$	$x$	$10$
	$y$	$10.5$	$17.5$

Carilah koefisiennya, lalu $x$ dan $y$ .

Solusi

Solusi Latihan 49.10.

Koefisien dari kolom yang lengkap: $\frac{17.5}{10} = 1.75$ . Lalu $y = 4 \times 1.75 = 7$ dan $x = \frac{10.5}{1.75} = 6$ .

Latihan 49.11 ★★★

Sebuah mesin fotokopi memperkecil dokumen menjadi $80\,\%$ ukurannya. Sebuah ruas garis sepanjang $10$ cm difotokopi, lalu salinannya difotokopi lagi dengan setelan yang sama.

Berapa panjang ruas garis itu setelah satu salinan? Setelah dua?
Mengapa jawabannya setelah dua salinan bukan $60\,\%$ ukuran aslinya? Persen tunggal yang mana yang bersesuaian dengan dua salinan?

Solusi

Solusi Latihan 49.11.

1. Setelah satu salinan: $10 \times 0.8 = 8$ cm. Setelah dua: $8 \times 0.8 = 6.4$ cm.

2. Pengecilan yang kedua berlaku pada salinan yang sudah diperkecil, bukan pada aslinya: faktornya saling dikalikan, $0.8 \times 0.8 = 0.64$ , jadi dua salinan memperkecilnya menjadi $64\,\%$ ukuran aslinya — bukan $60\,\%$ .

49.5 Soal: Mengukur Bumi dengan sebatang tongkat

Soal 49.1

Soal akhir pekan — bayangan adalah perbandingan senilai, dan bagaimana Eratosthenes menghitung keliling Bumi pada tahun 240 SM

Dua puluh dua abad yang lalu, tanpa teleskop, tanpa satelit dan tanpa kalkulator, sang pustakawan Aleksandria mengukur Bumi — dengan sebatang tongkat, sebuah sumur, kafilah unta dan matematika bab ini. Soal ini menelusuri kembali langkahnya: mula-mula perbandingan senilai pada bayangan, lalu perhitungannya yang termasyhur itu, dan akhirnya bagaimana rupa jawabannya pada skala manusia.

Bagian I — Bayangan sebatang tongkat. Matahari begitu jauh sehingga sinarnya sampai kepada kita saling sejajar. Pada saat tertentu, semua benda yang tegak dan bayangannya karena itu saling sebanding.

Pada tengah hari, sebatang tongkat tegak setinggi $1$ m membuat bayangan sepanjang $0.4$ m, dan bayangan sebatang pohon terukur $3.2$ m. Berapa tinggi pohon itu (Teorema 49.3)?
Pada saat yang sama, sebuah menara membuat bayangan $26$ m: berapa tinggi menaranya? Dan berapa panjang bayangan seorang anak setinggi $1.5$ m?
Jelaskan dalam satu kalimat mengapa semua perhitungan ini hanya sah pada saat yang sama dalam sehari.
Legenda mengatakan Thales mengukur Piramida Besar dengan menunggu saat ketika bayangannya sendiri tepat sepanjang tingginya. Berapa koefisien perbandingan senilai pada saat itu, dan berapa tinggi piramidanya kalau ujung bayangannya berada $147$ m dari titik di tanah tepat di bawah puncaknya?
Rangkumlah Bagian I: pada satu saat tertentu, besaran mana yang sama bagi tongkat, pohon, menara dan piramida itu (Definisi 49.1)?

Bagian II — Perhitungan Eratosthenes. Eratosthenes mengetahui dua fakta. Di kota Syene, pada tengah hari pada titik balik matahari musim panas, matahari berdiri tepat di atas kepala: sinarnya mencapai dasar sumur yang terdalam, dan tongkat yang tegak tidak membuat bayangan. Di Aleksandria, $800$ km tepat di sebelah utara, pada saat yang sama, sebatang tongkat tegak memang membuat bayangan, dan sinar mataharinya membentuk sudut $7.2^\circ$ dengan arah tegak.

Jelaskan mengapa kedua pengamatan itu bersama-sama membuktikan bahwa tanah di Syene dan tanah di Aleksandria tidak saling sejajar — artinya, permukaan Bumi melengkung. (Apa yang akan dilakukan sinar yang sejajar pada dua tongkat di Bumi yang datar?)
Pada gambar Bumi yang bulat dengan sinar matahari yang sejajar, sudut $7.2^\circ$ di Aleksandria muncul kembali di pusat Bumi, sebagai sudut antara arah kedua kota itu. Buatlah gambarnya lalu yakinkan dirimu (pembenaran yang rapi memakai pasangan sudut yang sama besar pada Bab 51).
Berapa bagian dari satu putaran penuh nilai $7.2^\circ$ itu?
Busur dari Syene ke Aleksandria ( $800$ km) bersesuaian dengan $7.2^\circ$ ; seluruh kelilingnya bersesuaian dengan $360^\circ$ . Susunlah perbandingan senilainya lalu hitunglah keliling Bumi.
Simpulkan diameter Bumi, dengan memakai $\pi \approx 3.14$ (Proposisi 43.3) dan pembulatan ke ratusan kilometer terdekat. (Nilai modernnya $12\,742$ km — sedekat apa hasil orang yang bermodal tongkat pada tahun 240 SM?)

Bagian III — Bumi pada skala manusia.

Sebuah bola dunia dibuat dengan skala $1 : 40\,000\,000$ . Dengan keliling yang ditemukan pada pertanyaan 9, tunjukkanlah bahwa keliling bola dunia itu tepat $1$ m. Berapa diameternya, sampai sentimeter terdekat?
Mont Blanc menjulang kira-kira $4.8$ km. Ubahlah $4.8$ km menjadi sentimeter, bagilah dengan $40\,000\,000$ , lalu nyatakan tinggi gunung itu pada bola dunianya dalam milimeter. Apa yang dikatakan jawabannya tentang seberapa “benjol” Bumi yang sesungguhnya?
Seorang pejalan menempuh $40$ km per hari. Dengan laju itu, berapa hari untuk seluruh keliling Eratosthenes — dan kira-kira berapa tahun itu?
Udara yang dapat dihirup terpusat kira-kira pada $10$ km yang pertama di atas tanah. Berapa persen dari jari-jari Bumi (kira-kira $6\,370$ km) itu (Metode 49.5)? Bulatkan ke persepuluh persen terdekat.
Para sejarawan memperkirakan bahwa nilai yang diumumkan Eratosthenes, setelah diubah ke satuan modern, mungkin kira-kira $42\,000$ km. Dengan mengambil $40\,000$ km sebagai nilai yang benar, hitunglah persen kekeliruannya. Simpulkan dalam satu kalimat tentang tongkat, sumur dan perbandingan senilai.

Solusi

Solusi Soal 49.1.

1. Tinggi dan bayangan saling sebanding, jadi menurut aturan perkalian silang (Teorema 49.3), dengan kolom tongkatnya $(1,\ 0.4)$ dan kolom pohonnya $(h,\ 3.2)$ : $0.4 \times h = 1 \times 3.2$ , sehingga $h = \frac{3.2}{0.4} = 8$ m.

2. Menaranya: $\frac{26}{0.4} = 65$ m. Bayangan anaknya: $1.5 \times 0.4 = 0.6$ m (bayangan $=$ tinggi $\times$ koefisien saat itu, $0.4$ ).

3. Ketika matahari bergerak melintasi langit, koefisien yang menghubungkan tinggi dengan bayangan ikut berubah; hanya pengukuran pada saat yang sama yang berbagi koefisien yang sama.

4. Pada saat itu koefisiennya $1$ : setiap tinggi sama dengan bayangannya. Puncak piramidanya karena itu setinggi $147$ m — yaitu tinggi Piramida Besar (ujung bayangannya, yang diukur dari titik di bawah puncaknya, sudah cukup).

5. Hasil bagi kolomnya $\frac{\text{bayangan}}{\text{tinggi}}$ — yaitu koefisien perbandingan senilai pada saat itu — sama bagi setiap benda yang tegak: persis itulah yang membuat tabel tinggi dan bayangan menjadi tabel perbandingan senilai (Definisi 49.1).

6. Sinar matahari datang sejajar. Di Bumi yang datar, dua sinar sejajar akan mengenai dua tongkat tegak dengan sudut yang sama: keduanya akan membuat bayangan yang sebanding — entah keduanya tanpa bayangan, entah keduanya berbayangan. Satu tongkat tanpa bayangan (Syene) dan satu lagi berbayangan (Aleksandria), pada saat yang sama, mustahil di Bumi yang datar: kedua arah tegaknya pasti menunjuk arah yang berbeda — permukaannya melengkung.

7. Pada gambarnya, arah tegak di Syene menunjuk lurus ke matahari; arah tegak di Aleksandria miring sebesar sudut antara arah kedua kota itu, dilihat dari pusatnya. Karena sinarnya sejajar, kemiringan itu tepat sebesar $7.2^\circ$ yang terukur antara sinar dan tongkat di Aleksandria.

8. $\frac{7.2}{360} = \frac{72}{3600} = \frac{1}{50}$ : seperlima puluh satu putaran penuh.

9. Panjang busur sebanding dengan sudutnya: kalau $7.2^\circ$ — seperlima puluh putaran — bersesuaian dengan $800$ km, maka satu putaran penuh bersesuaian dengan

50 \times 800 = 40\,000 \text{ km}.

10. Diameter $= \frac{\text{keliling}}{\pi} \approx \frac{40\,000}{3.14} \approx 12\,700$ km — melawan $12\,742$ km yang modern: benar sampai jauh di bawah satu persen, hanya dengan sebatang tongkat.

11. $40\,000$ km $= 4\,000\,000\,000$ cm, dan $4\,000\,000\,000 \div 40\,000\,000 = 100$ cm $= 1$ m kelilingnya. Diameternya: $100 \div 3.14 \approx 32$ cm — sebuah bola dunia meja yang gagah.

12. $4.8$ km $= 480\,000$ cm, dan $480\,000 \div 40\,000\,000 = 0.012$ cm $= 0.12$ mm. Gunung tertinggi di Pegunungan Alpen hanya sepersepuluh milimeter pada bola dunia yang kelilingnya semeter: sebutir debu. Pada skala ini Bumi lebih halus daripada kebanyakan bola yang dipoles.

13. $40\,000 \div 40 = 1\,000$ hari, dan $1\,000 \div 365 \approx 2.7$ : hampir tiga tahun berjalan kaki.

14. $\frac{10}{6\,370} \approx 0.0016$ , yaitu kira-kira $0.2\,\%$ (lebih tepatnya $0.16\,\%$ ): atmosfernya adalah kulit setipis bisikan pada planet ini.

15. Kekeliruannya: $42\,000 - 40\,000 = 2\,000$ km, dan $\frac{2\,000}{40\,000} = \frac{5}{100} = 5\,\%$ . Satu kalimat: dengan sebatang tongkat, sebuah sumur, sebuah jalan yang terukur dan satu perbandingan senilai, Eratosthenes mengukur sebuah planet sampai selisih beberapa persen — matematika melaju jauh dengan bekal yang sangat sedikit.

Istilah yang didefinisikan dalam bab ini

Lihat semua 395 istilah di glosarium