Matematika Sekolah Dasar dan Menengah · Grades 1–9

70Bangun Ruang dan Volume

Geometri ruang bermula dengan keluarga kecil bangun ruang — prisma, tabung, limas, kerucut, bola — dan dua pertanyaan: berapa banyak yang dimuatnya (volume), dan apa yang kamu lihat ketika mengirisnya (penampang)? Bab ini ditutup dengan kenyataan yang sangat penting secara praktis: menskalakan bangun ruang dengan $k$ mengalikan volumenya dengan $k^3$ .

70.1 Bangun ruang klasik dan volumenya

Teorema 70.1 (Rumus volume)

Tulislah $B$ untuk luas alasnya dan $h$ untuk tingginya (yaitu jarak antara alasnya dan sisi atau puncak yang di seberangnya).

bangun ruang	volume
prisma, tabung	$V = B \times h$
[5pt] limas, kerucut	$V = \dfrac13\, B \times h$
[5pt] bola berjari-jari $r$	$V = \dfrac43\,\pi r^3$

Untuk tabung dan kerucut berjari-jari $r$ , luas alasnya $B = \pi r^2$ ; luas permukaan bolanya adalah $4\pi r^2$ .

Bukti. Diterima tanpa bukti pada tingkat ini. ∎

Bangun ruang bab ini. Untuk masing-masingnya, volumenya memuat luas alas dan tinggi — kecuali bolanya, yang hanya perlu jari-jarinya.

Contoh 70.2

Sebuah kaleng berbentuk tabung punya jari-jari $4$ cm dan tinggi $10$ cm:

V = \pi r^2 h = \pi \times 16 \times 10 = 160\pi \approx 503 \text{ cm}^3 \approx 0.5 \text{ L}.

Kerucut dengan alas dan tinggi yang sama memuat sepertiganya: $\frac{160\pi}{3} \approx 168$ cm $^3$ . Bola berjari-jari $4$ cm: $V = \frac43 \pi \times 64 = \frac{256\pi}{3} \approx 268$ cm $^3$ .

Contoh 70.3 (Sebuah limas selangkah demi selangkah)

Sebuah limas punya alas persegi bersisi $6$ m dan tinggi $5$ m.

Luas alasnya: $B = 6^2 = 36$ m $^2$ .
Volumenya: $V = \frac13 \times 36 \times 5 = 60$ m $^3$ .

Perhatikan satuannya: kalau sisinya diberikan dalam cm dan tingginya dalam m, salah satunya harus diubah lebih dahulu.

70.2 Penampang oleh bidang

Proposisi 70.4 (Penampang bangun ruang klasiknya)

Memotong sebuah bangun ruang dengan sebuah bidang menghasilkan bangun datar, yaitu penampangnya:

prisma atau tabung yang dipotong sejajar dengan alasnya memberi salinan alasnya, pada tiap ketinggian;
limas atau kerucut yang dipotong sejajar dengan alasnya memberi pengecilan alasnya: pada jarak $d$ dari puncaknya, faktor skalanya adalah $k = \frac{d}{h}$ ;
bola berjari-jari $r$ yang dipotong sebuah bidang pada jarak $d < r$ dari pusatnya memberi lingkaran berjari-jari $\sqrt{r^2 - d^2}$ (menurut teorema Pythagoras).

Bukti. Diterima tanpa bukti pada tingkat ini. ∎

Kiri: memotong kerucut sejajar dengan alasnya pada jarak d dari puncaknya memberi cakram yang terskala k = dh. Kanan: bidang yang berjarak d dari pusat sebuah bola memotongnya menjadi lingkaran berjari-jari √r2 - d2. — Kiri: memotong kerucut sejajar dengan alasnya pada jarak $d$ dari puncaknya memberi cakram yang terskala $k = \frac dh$ . Kanan: bidang yang berjarak $d$ dari pusat sebuah bola memotongnya menjadi lingkaran berjari-jari $\sqrt{r^2 - d^2}$ .

Contoh 70.5

Sebuah kerucut punya jari-jari alas $6$ dan tinggi $9$ . Penampang oleh bidang yang sejajar dengan alasnya, pada jarak $3$ dari puncaknya, adalah cakram yang terskala $k = \frac39 = \frac13$ : jadi jari-jarinya $6 \times \frac13 = 2$ .

Sebuah bola berjari-jari $5$ dipotong bidang pada jarak $3$ dari pusatnya: penampangnya lingkaran berjari-jari $\sqrt{25 - 9} = 4$ .

70.3 Menskalakan bangun ruang

Teorema 70.6 (Pengaruh penskalaan pada panjang, luas, volume)

Ketika sebuah bangun ruang diperbesar atau dikecilkan dengan faktor skala $k > 0$ :

semua panjangnya dikalikan $k$ ;
semua luasnya dikalikan $k^2$ ;
semua volumenya dikalikan $k^3$ .

Bukti. Diterima tanpa bukti pada tingkat ini. ∎

Contoh 70.7

Sebuah mobil model berskala $\frac{1}{18}$ : panjangnya adalah panjang mobil yang sebenarnya dikalikan $k = \frac{1}{18}$ , permukaan yang dicatnya dikalikan $k^2 = \frac{1}{324}$ , dan volumenya dikalikan $k^3 = \frac{1}{5832}$ .

Melipatduakan jari-jari sebuah bola ( $k = 2$ ) mengalikan volumenya dengan $2^3 = 8$ : periksalah pada rumusnya, $\frac43\pi (2r)^3 = \frac43 \pi \times 8r^3$ .

Contoh 70.8 (Kerucut terpancung)

Sebuah kerucut setinggi $9$ dengan jari-jari alas $6$ (volumenya $\frac13 \pi \times 36 \times 9 = 108\pi$ ) dipotong pada jarak $3$ dari puncaknya, lalu kerucut kecil di atas potongannya dibuang. Kerucut kecilnya adalah pengecilan dengan $k = \frac13$ , jadi volumenya $108\pi \times \left(\frac13\right)^3 = 4\pi$ . Bangun ruang yang tersisa (yaitu kerucut terpancung) punya volume $108\pi - 4\pi = 104\pi \approx 327$ .

70.4 Latihan

Latihan 70.1 ★

Hitunglah volumenya: sebuah balok (prisma persegi panjang) berukuran $4 \times 5 \times 12$ ; sebuah tabung berjari-jari $3$ dan tinggi $7$ (nilai persisnya dengan $\pi$ , lalu dibulatkan ke satuan).

Solusi

Solusi Latihan 70.1.

Balok: $V = 4 \times 5 \times 12 = 240$ .

Tabung: $V = \pi r^2 h = \pi \times 9 \times 7 = 63\pi \approx 198$ .

Latihan 70.2 ★

Hitunglah volume kerucut berjari-jari $5$ dan tinggi $12$ , lalu volume limas dengan alas persegi panjang $8 \times 3$ dan tinggi $10$ .

Solusi

Solusi Latihan 70.2.

Kerucut: $V = \frac13 \pi r^2 h = \frac13 \pi \times 25 \times 12 = 100\pi \approx 314$ .

Limas: luas alasnya $B = 8 \times 3 = 24$ , jadi $V = \frac13 \times 24 \times 10 = 80$ .

Latihan 70.3 ★

Hitunglah volume dan luas permukaan bola berjari-jari $6$ (nilai persisnya dengan $\pi$ ).

Solusi

Solusi Latihan 70.3.

Volumenya: $V = \frac43 \pi \times 6^3 = \frac43 \pi \times 216 = 288\pi$ .

Luas permukaannya: $4\pi \times 6^2 = 144\pi$ .

Latihan 70.4 ★

Sebuah bola berjari-jari $10$ dipotong bidang pada jarak $8$ dari pusatnya. Berapa jari-jari lingkaran penampangnya?

Solusi

Solusi Latihan 70.4.

Jari-jari penampangnya: $\sqrt{r^2 - d^2} = \sqrt{100 - 64} = \sqrt{36} = 6$ .

Latihan 70.5 ★★

Sebuah kerucut punya jari-jari alas $8$ dan tinggi $12$ . Sebuah bidang sejajar alasnya memotongnya pada jarak $9$ dari puncaknya. Hitunglah jari-jari penampangnya, lalu volume kerucut kecil di atas potongannya.

Solusi

Solusi Latihan 70.5.

Faktor skala dari seluruh kerucutnya ke yang kecil: $k = \frac{9}{12} = \frac34$ . Jari-jari penampangnya: $8 \times \frac34 = 6$ .

Volume seluruh kerucutnya: $\frac13\pi \times 64 \times 12 = 256\pi$ . Volume kerucut kecilnya: $256\pi \times \left(\frac34\right)^3 = 256\pi \times \frac{27}{64} = 108\pi \approx 339$ .

Latihan 70.6 ★★

Sebuah gelas berbentuk tabung berjari-jari dalam $3$ cm berisi air setinggi $10$ cm. Sebuah bola berjari-jari $2$ cm ditenggelamkan seluruhnya di dalamnya. Naik berapa permukaan airnya? (Volume yang ditambahkan menyebar pada luas alas gelasnya; berikan kenaikan persisnya, lalu bulatkan ke milimeter.)

Solusi

Solusi Latihan 70.6.

Volume bolanya: $\frac43\pi \times 2^3 = \frac{32\pi}{3}$ cm $^3$ . Volume ini menyebar pada luas alas $\pi \times 3^2 = 9\pi$ cm $^2$ , jadi permukaannya naik sebesar

\frac{32\pi/3}{9\pi} = \frac{32}{27} \approx 1.2 \text{ cm}

(kira-kira $12$ mm).

Latihan 70.7 ★★

Sebuah resep mengisi cetakan berbentuk bola berjari-jari $6$ cm. Kamu hanya punya cetakan berbentuk bola berjari-jari $3$ cm. Berapa cetakan kecil yang dapat kamu isi? (Jawablah tanpa menghitung salah satu volumenya secara nyata.)

Solusi

Solusi Latihan 70.7.

Cetakan kecilnya adalah pengecilan cetakan besarnya dengan $k = \frac36 = \frac12$ , jadi volumenya $\left(\frac12\right)^3 = \frac18$ volume yang besar: jadi resepnya mengisi $8$ cetakan kecil.

Latihan 70.8 ★★

Piramida Besar Giza punya alas persegi bersisi kira-kira $230$ m dan tinggi kira-kira $147$ m. Taksirlah volumenya, lalu nyatakan dalam jutaan meter kubik.

Solusi

Solusi Latihan 70.8.

$V = \frac13 \times 230^2 \times 147 = \frac13 \times 52\,900 \times 147 = 52\,900 \times 49 = 2\,592\,100$ m $^3$ — kira-kira $2.6$ juta meter kubik.

Latihan 70.9 ★★★

Sebuah corong berbentuk kerucut berjari-jari $6$ cm dan tinggi $12$ cm, dengan puncaknya di bawah, diisi air sampai setengah tingginya (yang diukur dari puncaknya).

Berapa bagian volume corongnya yang terisi?
Kalau ia justru diisi dengan setengah volumenya air, tunjukkan bahwa tinggi airnya $d$ memenuhi $\left(\frac{d}{12}\right)^3 = \frac12$ , lalu berikan $d$ sampai milimeter ( $\sqrt[3]{0.5} \approx 0.7937$ ).

Solusi

Solusi Latihan 70.9.

1. Airnya membentuk kerucut yang terskala $k = \frac12$ (puncaknya di bawah, setengah tingginya), jadi volumenya $\left(\frac12\right)^3 = \frac18$ volume corongnya: yaitu seperdelapan, jauh lebih sedikit daripada setengahnya!

2. Air sampai ketinggian $d$ membentuk kerucut yang terskala $k = \frac{d}{12}$ , dengan volume $k^3$ kali volume corongnya. Setengah volumenya berarti $k^3 = \frac12$ , yaitu $\left(\frac{d}{12}\right)^3 = \frac12$ . Lalu $\frac{d}{12} = \sqrt[3]{0.5} \approx 0.7937$ , jadi $d \approx 9.5$ cm: separuh kedua volumenya hanya menempati $2.5$ cm teratas — bagian yang lebar pada kerucutnya memuat sebagian besar airnya.

70.5 Soal: Batu nisan Archimedes

Soal 70.1

Soal akhir pekan — bola itu dua pertiga tabungnya (dua kali), tumpukan 1:2:3, dan hukum kuadrat–kubik yang melarang adanya raksasa

Archimedes membuktikan banyak teorema, tetapi satu teorema membuatnya begitu bangga sehingga ia meminta gambarnya dipahat pada makamnya: sebuah bola yang bersarang di dalam tabung tersempitnya. Satu abad kemudian penulis Romawi Cicero, yang menyisir semak berduri dekat Syracusa, mengenali makam itu “dari bolanya dan tabungnya”. Soal ini mengambil kembali apa yang disandikan pahatan itu — yaitu keajaiban dua pertiga yang berganda — lalu mengikuti volume dan permukaan (Teorema 70.1, Teorema 70.6) menuju hukum yang mengatur raksasa, semut dan planet yang mendingin.

Bagian I — Pahatannya yang dipecahkan. Sebuah bola berjari-jari $r$ duduk persis di dalam sebuah tabung: jari-jarinya sama, tingginya $2r$ .

Hitunglah volume tabungnya dalam $r$ .
Hitunglah perbandingan volume bolanya terhadap volume tabungnya. Mengapa Archimedes mungkin menyukai bahwa jawabannya tidak memuat $\pi$ dan tidak memuat $r$ ?
Sekarang permukaannya: bandingkan luas permukaan bolanya dengan permukaan seluruh tabungnya (bagian selimutnya ditambah kedua tutupnya). Perbandingan apa yang muncul — sekali lagi?
Ruang kosong antara bolanya dan tabungnya punya volume $2\pi r^3 - \frac43\pi r^3$ . Tunjukkan bahwa sisa ini persis sama dengan volume dua kerucut berjari-jari $r$ dan tinggi $r$ .
Sebuah bola basket berjari-jari $12$ cm dijual dalam kotak berbentuk tabung yang tersempit. Hitunglah kedua volumenya (sampai $100$ cm $^3$ terdekat) dan berapa persen kotaknya yang kosong.

Bagian II — Mangkuk, cetakan dan bulan.

Sebuah mangkuk setengah bola berjari-jari $10$ cm. Hitunglah daya tampungnya, dalam cm $^3$ dan dalam liter (sampai desiliter).
Tumpukan 1:2:3: sebuah kerucut, sebuah setengah bola dan sebuah tabung, semuanya berjari-jari $10$ cm dan tinggi $10$ cm. Hitunglah ketiga volumenya lalu periksalah perbandingan legendarisnya $1 : 2 : 3$ . (Archimedes tentu menyukai yang ini juga.)
Sebuah bola cokelat berjari-jari $3$ cm dilelehkan ke dalam cetakan berbentuk tabung berjari-jari $3$ cm. Tinggi berapa yang dicapai cokelatnya? (Pecahan yang persis, lalu sampai milimeter.)
Jari-jari Bumi kira-kira $6\,371$ km, jari-jari Bulan kira-kira $1\,737$ km. Hitunglah perbandingan jari-jarinya, lalu — dengan Teorema 70.6 — perbandingan volumenya: berapa Bulan yang akan muat ke dalam Bumi yang berongga, menurut volumenya?
Dari teorema yang sama: berapa perbandingan luas permukaan Bumi terhadap Bulan? Dan secara umum, ketika jari-jari sebuah balon berlipat dua, apa yang terjadi pada volumenya dan pada permukaannya? Nyatakan hukum kuadrat–kubiknya: ketika sebuah bentuk membesar skalanya, volumenya melampaui permukaannya.

Bagian III — Hukum kuadrat–kubik menguasai dunia.

Alasan Galileo terhadap raksasa: bayangkan seorang manusia yang diskalakan naik dengan faktor $10$ , dengan perbandingan yang sama. Dengan faktor berapa beratnya tumbuh (berat mengikuti volume)? Dengan faktor berapa penampang tulangnya tumbuh (yaitu sebuah luas)? Lalu dengan faktor berapa tekanan pada tiap sentimeter persegi tulangnya tumbuh — dan apa yang terjadi pada raksasanya?
Hukum yang sama secara terbalik menjelaskan kepahlawanan semut: kekuatan mengikuti penampang otot (yaitu luas), berat mengikuti volume. Untuk hewan yang $100$ kali lebih kecil pada tiap arahnya, dengan faktor berapa berat dan kekuatannya mengerut, dan dengan faktor berapa perbandingan kekuatan terhadap beratnya membaik?
Panas dihasilkan volume tubuhnya dan hilang lewat permukaannya. Tunjukkan bahwa untuk sebuah bola perbandingan permukaan terhadap volumenya adalah $\frac{3}{r}$ , lalu hitunglah perbandingan itu untuk $r = 1$ dan $r = 2$ . Mana yang lebih cepat mendingin, tikus atau beruang — dan mengapa bayi perlu topi pada musim dingin?
Dua jeruk berbentuk bola berjari-jari $4$ cm dan $5$ cm dijual dengan harga yang sama. Hitunglah perbandingan volumenya: berapa kali lebih banyak jeruk yang diberikan yang besar untuk uang yang sama?
Penutupnya: uraikan dengan tepat apa yang disandikan gambar batu nisannya — yaitu kedua “dua pertiga” pada pertanyaan 2 dan 3 — lalu jawablah Cicero dalam satu kalimat: mengapa seorang ahli matematika akan memilih, mengalahkan setiap penaklukan kejeniusan keteknikannya, sebuah bola di dalam tabung?

Solusi

Solusi Soal 70.1.

1. $V_{\text{tabung}} = \pi r^2 \times 2r = 2\pi r^3$ .

2. $\dfrac{V_{\text{bola}}}{V_{\text{tabung}}} = \dfrac{\frac43 \pi r^3}{2 \pi r^3} = \dfrac23$ . Faktor $\pi$ dan $r^3$ saling meniadakan: perbandingannya semesta — benar untuk sebutir kelereng dan untuk sebuah planet. Yaitu hubungan antara bentuk, bukan antara bilangan: persis jenis kebenaran yang layak dipahat pada batu.

3. Bola: $4\pi r^2$ . Tabung: selimutnya $2\pi r \times 2r = 4\pi r^2$ , ditambah dua tutupnya $2 \times \pi r^2$ : seluruhnya $6\pi r^2$ . Perbandingannya: $\frac{4\pi r^2}{6\pi r^2} = \frac23$ — yaitu dua pertiga yang sama, untuk permukaan. (Dan sebagai bonus: luas bolanya persis sama dengan luas selimut tabungnya.)

4. Sisanya: $2\pi r^3 - \frac43\pi r^3 = \frac23 \pi r^3$ . Dua kerucut berjari-jari $r$ dan tinggi $r$ : $2 \times \frac13 \pi r^2 \times r = \frac23 \pi r^3$ . Sama.

5. Bolanya: $\frac43 \pi \times 12^3 \approx 7\,200$ cm $^3$ ; kotaknya: $2\pi \times 12^3 \approx 10\,900$ cm $^3$ . Yang kosong: sepertiga kotaknya, kira-kira $33\,\%$ — yang dijamin pertanyaan 2, berapa pun besar bolanya.

6. Setengah bola: $\frac12 \times \frac43 \pi \times 10^3 = \frac23 \pi \times 1\,000 \approx 2\,094$ cm $^3 \approx 2.1$ L.

7. Kerucut: $\frac13 \pi \times 10^2 \times 10 = \frac{1\,000\pi}{3} \approx 1\,047$ cm $^3$ . Setengah bola: $\frac{2\,000\pi}{3} \approx 2\,094$ cm $^3$ . Tabung: $1\,000\pi \approx 3\,142$ cm $^3$ . Perbandingannya: $\frac{1000\pi}{3} : \frac{2000\pi}{3} : \frac{3000\pi}{3} = 1 : 2 : 3$ persis.

8. $\frac43 \pi \times 27 = \pi \times 9 \times h$ memberi $h = \frac43 \times 3 = 4$ cm persis.

9. Jari-jarinya: $\frac{6\,371}{1\,737} \approx 3.67$ . Volume menskala seperti kubik (Teorema 70.6): $3.67^3 \approx 49$ . Kira-kira lima puluh Bulan muat di dalam Bumi.

10. Permukaan menskala seperti kuadrat: $3.67^2 \approx 13.5$ . Melipatduakan jari-jari balon mengalikan volumenya dengan $2^3 = 8$ tetapi permukaannya hanya dengan $2^2 = 4$ : jadi ketika benda membesar, volume (berat, isi, panas yang dihasilkan) melampaui permukaan (kulit, bahan, panas yang hilang) — itulah hukum kuadrat–kubik.

11. Beratnya: $\times 10^3 = 1\,000$ . Penampang tulangnya: $\times 10^2 = 100$ . Tekanannya — yaitu berat tiap luas tulangnya: $\times \frac{1000}{100} = 10$ . Tulang yang dibangun untuk tekanan manusia menerima sepuluh kali lebih besar: kerangka raksasanya patah di bawah beratnya sendiri. Raksasa mustahil secara geometris; hewan yang besar perlu tulang yang tebalnya tidak sebanding (bandingkan kaki gajah dengan kaki kijang).

12. Beratnya: $\div 100^3 = 10^6$ . Kekuatannya (yaitu penampang otot): $\div 100^2 = 10^4$ . Kekuatan terhadap beratnya: $\times \frac{10^6}{10^4} = 100$ . Semut yang mengangkat lima puluh kali beratnya bukan atlet super — ia hanya kecil; seorang manusia yang dikerutkan sampai seukuran semut dapat berbuat serupa.

13. $\dfrac{S}{V} = \dfrac{4\pi r^2}{\frac43\pi r^3} = \dfrac{3}{r}$ : untuk $r = 1$ perbandingannya $3$ , untuk $r = 2$ perbandingannya $1.5$ — membagi dua ukurannya melipatduakan permukaan yang tersedia tiap satuan volume penghasil panas. Tubuh yang kecil membuang panas: tikusnya harus makan terus-menerus, beruangnya dapat berhibernasi, dan bayinya — bola kecil dengan $\frac Sr$ yang besar — perlu topinya.

14. $\left(\frac54\right)^3 = \frac{125}{64} \approx 1.95$ : jeruk yang besar memuat hampir dua kali buahnya untuk harga yang sama. Belilah jari-jarinya.

15. Pahatannya berkata: bola $= \frac23$ tabungnya menurut volume, dan $\frac23$ tabungnya menurut permukaan seluruhnya — yaitu dua perbandingan yang persis dan semesta yang menghubungkan bangun ruang paling bundar dengan yang paling sederhana. Jawaban untuk Cicero: karena sebuah teorema adalah satu-satunya monumen yang tidak dikikis tentara maupun abad — mesin Archimedes ikut terbakar di kota Syracusa, tetapi dua pertiganya masih persis dua pertiga.