Matematika Sekolah Dasar dan Menengah · Grades 1–9

71Statistika dan Peluang

Data dan kebetulan ada di mana-mana: hasil olahraga, ramalan cuaca, permainan. Bab ini mengajarkan cara merangkum sederet bilangan dengan rata-rata, median dan jangkauannya, serta cara menghitung peluang percobaan acak yang sederhana — termasuk percobaan dua langkah, yang ditangani dengan diagram pohon. Kedua pokok bahasannya dikembangkan jauh lebih lanjut di buku Sekolah Menengah pada seri ini.

71.1 Merangkum data

Definisi 71.1 (Rata-rata, median, jangkauan)

Untuk sederet $N$ bilangan:

rata-rata adalah jumlah semua nilainya dibagi $N$ ;
median adalah nilai yang membelah deret terurutnya menjadi dua separuh yang sama besar: untuk $N$ ganjil, yaitu nilai tengahnya; untuk $N$ genap, yaitu titik tengah kedua nilai tengahnya;
jangkauan adalah nilai terbesar dikurangi nilai terkecil.

Contoh 71.2

Nilai seorang murid: $8,\ 12,\ 9,\ 15,\ 11$ .

Rata-rata: $\dfrac{8 + 12 + 9 + 15 + 11}{5} = \dfrac{55}{5} = 11$ .
Median: urutkan deretnya: $8, 9, 11, 12, 15$ ; nilai tengahnya (yang ke-3) adalah $11$ .
Jangkauan: $15 - 8 = 7$ .

Dengan nilai keenam $17$ : terurut menjadi $8, 9, 11, 12, 15, 17$ , mediannya menjadi titik tengah $11$ dan $12$ , yaitu $11.5$ , dan rata-ratanya menjadi $\frac{72}{6} = 12$ .

Contoh 71.3 (Rata-rata berbobot)

Ukuran sepatu yang terjual dalam sehari:

ukuran	$38$	$39$	$40$	$41$	$42$
frekuensi	$3$	$7$	$6$	$3$	$1$

Ukuran rata-ratanya adalah

\frac{3 \times 38 + 7 \times 39 + 6 \times 40 + 3 \times 41 + 1 \times 42} {3 + 7 + 6 + 3 + 1} = \frac{114 + 273 + 240 + 123 + 42}{20} = \frac{792}{20} = 39.6 .

Catatan 71.4

Rata-rata dan median dapat berbeda jauh. Pada deret $10, 10, 10, 10, 60$ rata-ratanya $20$ (yang tertarik naik oleh nilai $60$ ) sedangkan mediannya $10$ . Tanyakanlah selalu penunjuk yang mana yang mewakili keadaannya dengan lebih baik.

71.2 Peluang

Definisi 71.5 (Peluang)

Sebuah percobaan acak punya beberapa hasil yang mungkin; sebuah kejadian adalah himpunan hasil. Tiap hasilnya memperoleh sebuah peluang: yaitu bilangan antara $0$ dan $1$ , dengan semua peluang hasilnya berjumlah $1$ ; peluang $\P(A)$ sebuah kejadian $A$ adalah jumlah peluang hasilnya. Ketika seluruh $n$ hasilnya sama-sama mungkin,

\P(A) = \frac{\text{banyaknya hasil yang menguntungkan}}{n}.

Contoh 71.6

Sebuah roda terbagi menjadi $8$ juring yang sama: $3$ merah, $3$ biru, $2$ hijau. Tiap juringnya berpeluang $\frac18$ , jadi

\P(\text{merah}) = \frac38, \qquad \P(\text{hijau}) = \frac28 = \frac14, \qquad \P(\text{bukan hijau}) = 1 - \frac14 = \frac34 .

Proposisi 71.7 (Komplemen)

Untuk setiap kejadian $A$ , kejadian sebaliknya $\bar A$ (“ $A$ tidak terjadi”) memenuhi

\P(\bar A) = 1 - \P(A).

Bukti. Setiap hasilnya berada di tepat satu dari $A$ dan $\bar A$ , jadi $\P(A) + \P(\bar A)$ menjumlahkan peluang semua hasilnya, yang bernilai $1$ . ∎

71.3 Percobaan dua langkah

Metode 71.8 (Diagram pohon)

Untuk percobaan dalam dua langkah:

gambarlah satu cabang untuk tiap hasil langkah pertamanya, lalu lanjutkan tiap cabangnya dengan hasil langkah keduanya, sambil menulis tiap peluangnya pada cabangnya;
kalikan peluang di sepanjang satu jalur untuk memperoleh peluang jalur itu;
jumlahkan peluang semua jalur yang membentuk sebuah kejadian.

Contoh 71.9

Sebuah kantong memuat $2$ keping merah dan $3$ keping hitam. Ambillah satu keping, catat warnanya, kembalikan, lalu ambil lagi. Tiap pengambilannya memberi merah dengan peluang $\frac25$ , dan hitam dengan peluang $\frac35$ .

Pohon kedua pengambilan dengan pengembalian: kalikan sepanjang cabangnya, lalu periksalah bahwa keempat jalurnya berjumlah 1. — Pohon kedua pengambilan dengan pengembalian: kalikan sepanjang cabangnya, lalu periksalah bahwa keempat jalurnya berjumlah $1$ .

Peluang dua keping yang warnanya sama: $\frac{4}{25} + \frac{9}{25} = \frac{13}{25}$ . Peluang sedikitnya satu merah: $1 - \P(\text{HH}) = 1 - \frac{9}{25} = \frac{16}{25}$ .

Catatan 71.10 (Frekuensi relatif mendekati peluang)

Melempar dadu yang setimbang $6000$ kali memberi kira-kira $1000$ angka enam — bukan persis. Ketika banyaknya pengulangan bertambah, frekuensi relatif yang teramati menjadi makin dekat dengan peluangnya: itulah yang membuat peluang menjadi alat yang tepat untuk memodelkan percobaan berulang (yaitu kisah yang dikembangkan di buku Sekolah Menengah pada seri ini).

71.4 Latihan

Latihan 71.1 ★

Hitunglah rata-rata, median dan jangkauan deret $14,\ 9,\ 17,\ 9,\ 12,\ 11,\ 12$ .

Solusi

Solusi Latihan 71.1.

Rata-rata: $\dfrac{14 + 9 + 17 + 9 + 12 + 11 + 12}{7} = \dfrac{84}{7} = 12$ .

Median: terurut menjadi $9, 9, 11, 12, 12, 14, 17$ ; nilai tengahnya (yang ke- $4$ ) adalah $12$ .

Jangkauan: $17 - 9 = 8$ .

Latihan 71.2 ★

Suhu pada tengah hari selama sepekan adalah $19,\ 21,\ 24,\ 18,\ 22,\ 25,\ 19$ (derajat). Hitunglah rata-ratanya (sampai persepuluhan) dan mediannya.

Solusi

Solusi Latihan 71.2.

Rata-rata: $\dfrac{19 + 21 + 24 + 18 + 22 + 25 + 19}{7} = \dfrac{148}{7} \approx 21.1$ derajat.

Median: terurut menjadi $18, 19, 19, 21, 22, 24, 25$ ; nilai ke- $4$ adalah $21$ derajat.

Latihan 71.3 ★

Banyaknya gol yang dicetak sebuah tim pada $10$ pertandingan:

gol	$0$	$1$	$2$	$3$
pertandingan	$2$	$4$	$3$	$1$

Hitunglah rata-rata banyaknya gol tiap pertandingan, dan mediannya.

Solusi

Solusi Latihan 71.3.

Rata-rata:

\frac{2 \times 0 + 4 \times 1 + 3 \times 2 + 1 \times 3}{10} = \frac{0 + 4 + 6 + 3}{10} = \frac{13}{10} = 1.3 \text{ gol tiap pertandingan.}

Median: deret terurutnya adalah $0,0,1,1,1,1,2,2,2,3$ ; nilai ke- $5$ dan ke- $6$ keduanya $1$ : jadi mediannya $1$ .

Latihan 71.4 ★

Sebuah dadu yang setimbang dilempar sekali. Hitunglah peluang: “memperoleh $3$ ”; “memperoleh bilangan genap”; “memperoleh sedikitnya $3$ ”; “tidak memperoleh $6$ ”.

Solusi

Solusi Latihan 71.4.

$\P(3) = \frac16$ . $\P(\text{genap}) = \frac36 = \frac12$ . $\P(\text{sedikitnya } 3) = \P(\{3,4,5,6\}) = \frac46 = \frac23$ . $\P(\text{bukan } 6) = 1 - \frac16 = \frac56$ .

Latihan 71.5 ★

Sebuah kotak berisi $12$ bola: $5$ putih, $4$ merah dan $3$ hijau; satu bola diambil secara acak. Hitunglah $\P(\text{putih})$ , $\P(\text{merah atau hijau})$ , dan $\P(\text{bukan putih})$ . Apa yang kamu perhatikan tentang kedua yang terakhir?

Solusi

Solusi Latihan 71.5.

$\P(\text{putih}) = \frac{5}{12}$ .

$\P(\text{merah atau hijau}) = \frac{4 + 3}{12} = \frac{7}{12}$ .

$\P(\text{bukan putih}) = 1 - \frac{5}{12} = \frac{7}{12}$ .

Kedua yang terakhir sama: “bukan putih” adalah kejadian “merah atau hijau”.

Latihan 71.6 ★★

Sebuah koin dilempar, lalu sebuah dadu yang setimbang dilempar. Gambarlah pohonnya (atau bilanglah hasilnya) lalu hitunglah peluang memperoleh sisi gambar dan angka $6$ ; lalu peluang memperoleh sisi gambar atau angka $6$ (atau keduanya).

Solusi

Solusi Latihan 71.6.

Semua $12$ hasilnya (sisi koinnya, nilai dadunya) sama-sama mungkin.

Sisi gambar dan angka $6$ : satu hasil dari $12$ : jadi $\frac{1}{12}$ .

Sisi gambar atau angka $6$ : hasil dengan sisi gambar ( $6$ buah) ditambah hasil (sisi angka, $6$ ): jadi $7$ hasil, yaitu $\frac{7}{12}$ . Membilang tiap kejadiannya lalu mengurangkan tumpang tindihnya memberi hasil yang sama: $\frac{6}{12} + \frac{2}{12} - \frac{1}{12} = \frac{7}{12}$ .

Latihan 71.7 ★★

Pada kantong Contoh 71.9 ( $2$ merah, $3$ hitam), kedua pengambilannya kini dilakukan tanpa pengembalian. Gambarlah pohon yang baru (hati-hati: peluang tingkat keduanya berubah) lalu hitunglah peluang mengambil dua keping hitam, lalu peluang mengambil dua keping yang warnanya berbeda.

Solusi

Solusi Latihan 71.7.

Pengambilan pertama: merah $\frac25$ , hitam $\frac35$ . Pengambilan kedua tanpa pengembalian: sesudah merah, tersisa $1$ merah dan $3$ hitam di antara $4$ ; sesudah hitam, tersisa $2$ merah dan $2$ hitam di antara $4$ .

Dua hitam: $\frac35 \times \frac24 = \frac{6}{20} = \frac{3}{10}$ .

Warna yang berbeda (MH atau HM): $\frac25 \times \frac34 + \frac35 \times \frac24 = \frac{6}{20} + \frac{6}{20} = \frac{12}{20} = \frac35$ .

Latihan 71.8 ★★

Sesudah $9$ pertandingan, seorang pemain bola basket rata-rata mencetak $14$ angka tiap pertandingan.

Berapa angka yang sudah dicetaknya seluruhnya?
Berapa angka yang harus dicetaknya pada pertandingan ke- $10$ agar rata-ratanya $15$ ?

Solusi

Solusi Latihan 71.8.

1. $9 \times 14 = 126$ angka.

2. Rata-rata $15$ atas $10$ pertandingan berarti $150$ angka seluruhnya: jadi ia harus mencetak $150 - 126 = 24$ angka.

Latihan 71.9 ★★★

Sebuah permainan: lemparkan dua dadu yang setimbang; kamu menang kalau kedua hasilnya sama (yaitu “sebuah dobel”).

Hitunglah peluang menang.
Kamu bermain dua kali (dengan permainan yang saling bebas). Dengan memakai pohon, hitunglah peluang menang sedikitnya sekali.

Solusi

Solusi Latihan 71.9.

1. Di antara $36$ pasangan yang sama-sama mungkin, dobelnya adalah $(1,1), (2,2), \dots, (6,6)$ : enam buah, jadi $\P(\text{dobel}) = \frac{6}{36} = \frac16$ .

2. Dua permainan yang saling bebas: pohon dengan menang ( $\frac16$ ) atau kalah ( $\frac56$ ) pada tiap tingkatnya. Peluang tidak pernah menang: $\frac56 \times \frac56 = \frac{25}{36}$ . Jadi

\P(\text{sedikitnya satu kemenangan}) = 1 - \frac{25}{36} = \frac{11}{36} \approx 0.31 .

71.5 Soal: Taruhan Chevalier yang membangkrutkan

Soal 71.1

Soal akhir pekan — perselisihan judi tahun 1654 yang menciptakan teori peluang, dan kebetulan ulang tahun yang mengelabui setiap kelas

Pada tahun 1654 seorang bangsawan Prancis yang gemar berjudi, yaitu Chevalier de Méré, menjadi kaya lewat satu taruhan dadu lalu mulai kalah pada taruhan lain yang dipercayanya setara. Karena bingung, ia bertanya kepada ahli matematika Blaise Pascal; Pascal menulis surat kepada Pierre de Fermat; dan pertukaran surat mereka mendirikan teori peluang. Soal ini memainkan ulang seluruh peristiwanya dengan alat bab ini — hasil yang sama-sama mungkin, pohon dan aturan komplemennya (Proposisi 71.7) — lalu berakhir dengan kebetulan yang paling berlawanan dengan gerak hati di antara semuanya.

Bagian I — Dadu, yang dibilang secara jujur.

Lemparkan dadu yang setimbang dua kali. Dengan memakai pohon (atau tabel $6 \times 6$ ), hitunglah peluang tidak ada angka enam pada kedua lemparannya, lalu simpulkan peluang sedikitnya satu angka enam.
Seorang teman sekelas berdalih: “satu peluang dari enam tiap lemparan, dua kali, jadi $\frac16 + \frac16 = \frac13$ .” Bandingkan dengan pertanyaan 1 lalu tunjukkan hasil persis mana yang dibilang penjumlahannya dua kali.
Melempar dua dadu lalu menjumlahkannya: hitunglah peluang jumlahnya $7$ dan peluang jumlahnya $2$ . Mengapa $7$ menjadi kegemaran para penjudi?
Perselisihan lama: dengan dua dadu, jumlah $9$ atau jumlah $10$ yang lebih mungkin? Bilanglah hasilnya lalu putuskan.
Perumumlah pertanyaan 1: jelaskan mengapa peluang sedikitnya satu angka enam dalam $n$ lemparan adalah

$1 - \left(\frac56\right)^{\!n} ,$

karena cabang tanpa angka enam pada pohonnya mengalikan diri dari tingkat ke tingkat.

Bagian II — Kedua taruhan Chevalier.

Taruhan pertama, dengan uang seimbang: sedikitnya satu angka enam dalam empat lemparan sebuah dadu. Hitunglah $\left(\frac56\right)^4$ sebagai pecahan dan sebagai bilangan desimal, lalu peluang menang Chevalier itu. Apakah taruhannya bagus?
Penalaran Chevalier sendiri adalah: “empat lemparan pada $\frac16$ masing-masing: jadi $\frac46$ peluang.” Penalaran itu memberi jawaban yang hampir benar di sini — tetapi doronglah ke $7$ lemparan: kemustahilan apa yang dihasilkannya, dan kekeliruan pertanyaan 2 yang mana yang diulanginya?
Taruhan kedua, yang dipercayanya setara lewat perbandingan senilai (“ $24$ lemparan pada $\frac1{36}$ masing-masing: lagi-lagi $\frac{24}{36} = \frac46$ ”): sedikitnya satu dobel enam dalam $24$ lemparan dua dadu. Hitunglah peluang menang yang sebenarnya $1 - \left(\frac{35}{36}\right)^{24}$ (dengan kalkulator). Mengapa Chevalier perlahan bangkrut?
Berapa lemparan dua dadu yang akan memulihkan keunggulannya? Ujilah $n = 25$ dengan kalkulator lalu simpulkan.
Nyatakan pesan moralnya dalam dua kalimat: apa yang keliru, secara umum, dengan mengalikan sebuah peluang dengan banyaknya percobaan — dan alat yang benar yang mana yang menggantikan godaan itu?

Bagian III — Rata-rata, median, ulang tahun.

Sebuah perusahaan kecil membayar sembilan pegawainya $2\,000$ euro tiap bulan dan direkturnya $20\,000$ . Hitunglah gaji rata-rata dan gaji mediannya (Definisi 71.1). Bilangan yang mana yang sebaiknya dikutip iklan lowongannya secara jujur?
Susunlah daftar lima nilai ujian dengan rata-rata $12$ dan median $15$ . Apa yang dikatakan pasangan itu (rata-rata di bawah median) tentang bentuk sebaran nilainya?
Soal ulang tahun: pada kelas berisi $23$ murid, berapa peluang bahwa sedikitnya dua murid berulang tahun sama? Susunlah komplemennya (semua $23$ ulang tahunnya berbeda):

$\frac{365}{365} \times \frac{364}{365} \times \frac{363}{365} \times \dots \times \frac{343}{365} .$

Hitunglah hasil kali ketiga faktor pertamanya, uraikan bagaimana faktornya berkembang, lalu — karena hasil kali seluruhnya kira-kira $0.493$ — jawablah pertanyaannya. Kebanyakan orang menduga “sangat tidak mungkin”: apa kata matematikanya?
Gerak hati yang diperbaiki: berapa pasang murid yang dapat berulang tahun sama pada kelas berisi $23$ murid (yaitu bilangan jabat tangan pada Soal 37.1)? Jelaskan dalam satu kalimat mengapa bilangan itu, bukan $23$ itu sendiri, yang menggerakkan kejutannya.
Penutupnya: uraikan sebuah percobaan untuk memeriksa salah satu hasilnya — taruhan de Méré dengan dadu sungguhan, atau soal ulang tahun pada beberapa kelas — lalu nyatakan dengan hati-hati apa yang kamu harapkan dari frekuensi relatif yang teramati ketika banyaknya pengulangan bertambah. (Harapan itu punya nama, yaitu hukum bilangan besar; buktinya menunggu di buku Sekolah Menengah.)

Solusi

Solusi Soal 71.1.

1. Tiap lemparannya punya $5$ hasil bukan enam dari $6$ ; tabel $6 \times 6$ menunjukkan $5 \times 5 = 25$ hasil bebas angka enam dari $36$ : jadi $P(\text{tanpa enam}) = \frac{25}{36}$ , sehingga $P(\text{sedikitnya satu}) = 1 - \frac{25}{36} = \frac{11}{36} \approx 0.31$ .

2. $\frac13 = \frac{12}{36} \neq \frac{11}{36}$ . Penjumlahannya membilang hasil “enam lalu enam” sekali pada tiap $\frac16$ : yaitu sekali terlalu sering. Peluang kejadian yang dapat terjadi bersama tidak begitu saja dijumlahkan.

3. Jumlah $7$ : keenam hasilnya $(1,6), (2,5), (3,4), (4,3), (5,2), (6,1)$ : jadi $P = \frac{6}{36} = \frac16$ . Jumlah $2$ : hanya $(1,1)$ : jadi $\frac{1}{36}$ . Angka tujuh punya cara terbanyak untuk terjadi — yaitu bagian tengah yang gemuk pada tabel jumlahnya.

4. Jumlah $9$ : $(3,6), (4,5), (5,4), (6,3)$ — yaitu empat hasil, $\frac{4}{36}$ . Jumlah $10$ : $(4,6), (5,5), (6,4)$ — tiga hasil, $\frac{3}{36}$ . Angka sembilan lebih mungkin: bilangannya yang memutuskan, bukan banyaknya “cara menulis” jumlahnya dengan sisi dadu yang tidak berurutan.

5. Tiap tingkat pohonnya mengalikan peluang tanpa angka enam dengan $\frac56$ , apa pun yang terjadi sebelumnya: jadi sesudah $n$ lemparan, $P(\text{tanpa enam sama sekali}) = \left(\frac56\right)^n$ , dan aturan komplemennya memberi rumusnya.

6. $\left(\frac56\right)^4 = \frac{625}{1296} \approx 0.482$ , jadi Chevalier menang dengan peluang $1 - 0.482 = 0.518$ — yaitu keunggulan yang tenang dan mantap sebesar hampir $2\,\%$ tiap permainan: taruhan yang sangat baik, dan taruhan itu membayar keretanya.

7. Pada $7$ lemparan aturannya memberi $\frac76$ — yaitu peluang yang lebih besar daripada $1$ , jadi omong kosong. Itulah pembilangan ganda pada pertanyaan 2, yang menumpuk: keberhasilan lemparannya tumpang tindih, dan menjumlahkan peluangnya membilang tumpang tindihnya berulang kali.

8. $1 - \left(\frac{35}{36}\right)^{24} \approx 1 - 0.5086 = 0.491$ : jadi di bawah setengah. Dengan bertaruh uang seimbang pada kejadian $49.1\,\%$ , Chevalier kalah kira-kira $2$ permainan tiap $100$ secara rata-rata — perlahan, secara misterius (baginya), dan tidak terhindarkan.

9. $1 - \left(\frac{35}{36}\right)^{25} \approx 1 - 0.494 = 0.506$ : jadi dengan $25$ lemparan taruhannya berbalik menguntungkan. Satu lemparan memisahkan Chevalier dari keuntungan.

10. Mengalikan sebuah peluang dengan banyaknya percobaan membilang keberhasilan yang tumpang tindih beberapa kali, dan akhirnya menghasilkan jawaban mustahil di atas $1$ . Jalan yang benar selalu lewat komplemennya: rangkailah peluang kegagalannya dengan perkalian, lalu kurangkan dari $1$ .

11. Rata-rata: $\frac{9 \times 2\,000 + 20\,000}{10} = \frac{38\,000}{10} = 3\,800$ euro. Median: gaji tengahnya keduanya $2\,000$ : jadi mediannya $2\,000$ euro. Iklannya sebaiknya mengutip mediannya — sembilan dari sepuluh pekerjanya tidak pernah melihat apa pun yang mendekati $3\,800$ ; rata-ratanya terseret naik oleh satu pencilan (Contoh 71.3 sudah mengingatkan soal bobot).

12. Misalnya $2, 8, 15, 17, 18$ : mediannya $15$ (yaitu nilai tengahnya), rata-ratanya $\frac{60}{5} = 12$ . Rata-rata di bawah mediannya mengkhianati ekor nilai yang rendah yang menarik rata-ratanya turun, sedangkan separuh atasnya duduk tinggi.

13. Ketiga faktor pertamanya: $1 \times \frac{364}{365} \times \frac{363}{365} \approx 0.992$ . Tiap murid baru harus menghindari satu tanggal terpakai lagi, jadi faktornya mengerut: $\frac{343}{365} \approx 0.94$ untuk murid ke- $23$ . Hasil kali seluruhnya jatuh ke kira-kira $0.493$ — jadi

P(\text{sedikitnya satu ulang tahun yang sama}) \approx 0.507 :

jadi lebih baik daripada seimbang, pada kelas berisi hanya $23$ murid. Gerak hati berkata “ $23$ orang, $365$ hari, tidak mungkin”; matematikanya berkata “lemparkan koin”.

14. Ada $\frac{23 \times 22}{2} = 253$ pasang. Tiap pasangnya adalah kesempatan baru untuk sebuah kebetulan, dan $253$ kesempatan pada $\frac{1}{365}$ masing-masing bukan lagi perkara kecil: jadi kejutannya larut begitu kita membilang pasangan, bukan orang.

15. Contoh tata caranya: lemparkan dadu dalam blok berisi empat lemparan, sambil mencatat apakah tiap bloknya memunculkan angka enam, untuk $100$ blok; atau kumpulkan daftar ulang tahun banyak kelas yang berisi kira-kira $23$ murid lalu catat berapa bagian yang punya kebetulan. Frekuensi relatif yang teramati akan bergoyang, tetapi ketika banyaknya pengulangan bertambah, frekuensi itu seharusnya menetap makin dekat dengan peluang yang dihitung ( $0.518$ ; $0.507$ ) — jadi frekuensi relatif menuju peluang: itulah hukum bilangan besar, yang dinyatakan di sini sebagai harapan dan dibuktikan di buku Sekolah Menengah.

Istilah yang didefinisikan dalam bab ini

Lihat semua 395 istilah di glosarium