Matematika Sekolah Dasar dan Menengah · Grades 1–9

51Segitiga dan Sudut

Dapatkah kamu menggambar segitiga dengan sisi $10$ , $3$ dan $2$ ? Dengan sudut $80^\circ$ , $70^\circ$ dan $50^\circ$ ? Bab ini menjawab kedua pertanyaan itu dengan dua kenyataan yang paling berguna dalam geometri bidang: ketaksamaan segitiga dan jumlah sudut $180^\circ$ — ditambah kosakata sudut yang datang bersama garis berpotongan dan garis sejajar.

51.1 Sudut di sekitar garis yang berpotongan

Definisi 51.1 (Pasangan sudut)

Dua sudut disebut berpenyiku jika jumlah ukurannya $90^\circ$ , dan berpelurus jika jumlahnya $180^\circ$ .
Ketika dua garis berpotongan, sudut yang saling berhadapan di seberang titik potongnya disebut bertolak belakang.
Ketika sebuah garis memotong dua garis lain, sudut yang letaknya sama pada tiap perpotongan disebut sudut sehadap; sudut di antara kedua garis itu pada sisi yang berlawanan dari garis pemotongnya disebut sudut berseberangan.

Teorema 51.2 (Kesamaan sudut)

Sudut yang bertolak belakang sama besar.
Jika dua garis sejajar, sudut sehadapnya sama besar, dan sudut berseberangannya sama besar. Sebaliknya, sudut sehadap (atau sudut berseberangan) yang sama besar memaksa kedua garis itu sejajar.

Bukti untuk 1. Kedua sudut $\widehat{1}$ dan $\widehat{2}$ pada satu sisi sebuah garis membentuk sudut lurus: $\widehat 1 + \widehat 2 = 180^\circ$ . Sudut $\widehat 3$ yang bertolak belakang dengan $\widehat 1$ juga memenuhi $\widehat 2 + \widehat 3 = 180^\circ$ (dengan alasan yang sama). Jadi $\widehat 1 = 180^\circ - \widehat 2 = \widehat 3$ . Bagian 2 diterima tanpa bukti pada tingkat ini. ∎

Kiri: sudut bertolak belakang 1 = 3 (masing-masing berpelurus dengan 2). Kanan: garis sejajar yang dipotong garis ketiga — sudut sehadap a dan b sama besar. — Kiri: sudut bertolak belakang $\widehat 1 = \widehat 3$ (masing-masing berpelurus dengan $\widehat 2$ ). Kanan: garis sejajar yang dipotong garis ketiga — sudut sehadap $\widehat a$ dan $\widehat b$ sama besar.

51.2 Jumlah sudut segitiga

Teorema 51.3 (Jumlah sudut)

Pada setiap segitiga, ketiga sudutnya berjumlah $180^\circ$ .

Bukti. Misalkan $ABC$ sebuah segitiga. Gambarlah garis melalui $A$ yang sejajar dengan $(BC)$ . Pada titik sudut $A$ , tiga sudut berjajar sepanjang garis sejajar itu dan membentuk sudut lurus, $180^\circ$ : yang di tengah adalah $\widehat{A}$ , dan kedua yang di luar berseberangan dengan $\widehat B$ dan $\widehat C$ (garis sejajar!), jadi keduanya sama dengan $\widehat B$ dan $\widehat C$ . Karena itu $\widehat B + \widehat A + \widehat C = 180^\circ$ . ∎

Buktinya dalam satu gambar: sepanjang garis sejajar dengan (BC) yang melalui A, sudut B, A, C (sudut berseberangan dengan warna yang cocok) memenuhi sudut lurus. — Buktinya dalam satu gambar: sepanjang garis sejajar dengan $(BC)$ yang melalui $A$ , sudut $\widehat B$ , $\widehat A$ , $\widehat C$ (sudut berseberangan dengan warna yang cocok) memenuhi sudut lurus.

Contoh 51.4

Dua sudut sebuah segitiga berukuran $67^\circ$ dan $58^\circ$ . Sudut yang ketiga berukuran

180 - (67 + 58) = 180 - 125 = 55^\circ .

Keadaan khusus yang layak dihafal: setiap sudut segitiga sama sisi adalah $180 \div 3 = 60^\circ$ ; pada segitiga siku-siku kedua sudut lancipnya berpenyiku (jumlahnya $180 - 90 = 90^\circ$ ); sudut alas segitiga sama kaki sama besar, jadi masing-masing $\frac{180 - \text{puncak}}{2}$ .

Contoh 51.5 (Tidak ada segitiga dengan dua sudut siku-siku)

Segitiga dengan dua sudut $90^\circ$ sudah memakai habis $180^\circ$ , sehingga menyisakan $0^\circ$ untuk sudut ketiganya — mustahil. Jumlah sudutnya melarang banyak segitiga sekaligus.

51.3 Ketaksamaan segitiga

Teorema 51.6 (Ketaksamaan segitiga)

Pada setiap segitiga, setiap sisinya lebih pendek daripada jumlah dua sisi lainnya: untuk segitiga dengan sisi $a$ , $b$ , $c$ ,

a < b + c .

Sebaliknya, tiga panjang yang terbesarnya lebih kecil daripada jumlah dua lainnya selalu dapat dibuat menjadi segitiga. Kalau yang terbesar sama dengan jumlah dua lainnya, “segitiga” itu menjadi datar: ketiga titik sudutnya segaris.

Bukti. Diterima tanpa bukti pada tingkat ini. ∎

Contoh 51.7

Dapatkah sisinya $10$ , $3$ dan $2$ ? Ujilah yang terbesar: apakah $10 < 3 + 2 = 5$ ? Tidak — segitiga seperti itu tidak ada. Jangka memperlihatkan sebabnya: busur berjari-jari $3$ dan $2$ yang digambar dari kedua ujung ruas garis sepanjang $10$ tidak pernah bertemu.

Sisi $7$ , $5$ dan $4$ ? Yang terbesar: $7 < 5 + 4 = 9$ : ya, segitiganya ada (memeriksa sisi terbesarnya sudah cukup).

Mencoba membangun segitiga dengan sisi 10, 3, 2: kedua busur jangkanya tetap berjauhan tanpa harapan, karena 3 + 2 < 10. — Mencoba membangun segitiga dengan sisi $10$ , $3$ , $2$ : kedua busur jangkanya tetap berjauhan tanpa harapan, karena $3 + 2 < 10$ .

Metode 51.8 (Keberadaan dan pelukisan segitiga)

Diberikan tiga panjang:

bandingkan yang terbesar dengan jumlah dua lainnya; kalau ia tidak benar-benar lebih kecil, berhentilah: segitiganya tidak ada;
kalau tidak, lukislah seperti pada Metode 41.2 (ruas garis alas, dua busur jangka);
sesudah pelukisan apa pun dari sudut, periksalah dalam hati bahwa sudut yang diberikan berjumlah kurang dari $180^\circ$ — dengan sudut ketiganya melengkapi tepat $180^\circ$ .

51.4 Latihan

Latihan 51.1 ★

Sebutkan penyiku (sampai $90^\circ$ ) dan pelurus (sampai $180^\circ$ ) dari: $30^\circ$ ; $45^\circ$ ; $72^\circ$ .

Solusi

Solusi Latihan 51.1.

Penyikunya: $60^\circ$ ; $45^\circ$ ; $18^\circ$ . Pelurusnya: $150^\circ$ ; $135^\circ$ ; $108^\circ$ .

Latihan 51.2 ★

Dua garis berpotongan; salah satu dari keempat sudutnya berukuran $35^\circ$ . Sebutkan ukuran ketiga sudut lainnya, dengan alasannya masing-masing.

Solusi

Solusi Latihan 51.2.

Sudut yang bertolak belakang dengannya juga berukuran $35^\circ$ (Teorema 51.2); kedua sudut yang tersisa berpelurus dengannya: $180 - 35 = 145^\circ$ masing-masing.

Latihan 51.3 ★

Hitunglah sudut ketiga sebuah segitiga yang dua sudut pertamanya berukuran: (a) $40^\circ$ dan $60^\circ$ ; (b) $90^\circ$ dan $28^\circ$ ; (c) $75^\circ$ dan $75^\circ$ .

Solusi

Solusi Latihan 51.3.

(a) $180 - 100 = 80^\circ$ . (b) $180 - 118 = 62^\circ$ . (c) $180 - 150 = 30^\circ$ .

Latihan 51.4 ★

Sebuah segitiga sama kaki punya sudut puncak $40^\circ$ . Hitunglah kedua sudut alasnya. Segitiga sama kaki yang lain punya sudut alas $70^\circ$ : hitunglah sudut puncaknya.

Solusi

Solusi Latihan 51.4.

Puncak $40^\circ$ : kedua sudut alasnya berbagi $180 - 40 = 140^\circ$ sama rata: $70^\circ$ masing-masing.

Sudut alas $70^\circ$ : kedua sudut alasnya sama besar, jadi puncaknya $180 - 2 \times 70 = 40^\circ$ .

Latihan 51.5 ★

Tripel mana yang dapat menjadi sisi sebuah segitiga? Berilah alasan dengan ketaksamaan segitiga (sisi terbesarnya!):

(6,\ 8,\ 12); \qquad (5,\ 5,\ 11); \qquad (4,\ 9,\ 13); \qquad (7,\ 7,\ 7).

Solusi

Solusi Latihan 51.5.

$(6, 8, 12)$ : $12 < 6 + 8 = 14$ : segitiganya ada.

$(5, 5, 11)$ : $11 > 5 + 5 = 10$ : mustahil.

$(4, 9, 13)$ : $13 = 4 + 9$ : “segitiga” yang datar — titiknya segaris, jadi bukan segitiga sungguhan.

$(7, 7, 7)$ : $7 < 14$ : segitiga sama sisi.

Latihan 51.6 ★

Sebuah segitiga punya sudut $x$ , $2x$ dan $3x$ . Carilah $x$ dan ketiga sudutnya. Segitiga jenis apakah itu?

Solusi

Solusi Latihan 51.6.

$x + 2x + 3x = 6x = 180^\circ$ , jadi $x = 30^\circ$ : sudutnya $30^\circ$ , $60^\circ$ dan $90^\circ$ — segitiga siku-siku.

Latihan 51.7 ★

Lukislah segitiga $ABC$ dengan $BC = 6$ cm, $\widehat{ABC} = 50^\circ$ dan $\widehat{ACB} = 60^\circ$ (busur derajat di $B$ dan di $C$ ). Sebelum melukis, ramalkan ukuran $\widehat{BAC}$ , lalu periksalah pada gambarmu.

Solusi

Solusi Latihan 51.7.

Ramalan: $\widehat{BAC} = 180 - (50 + 60) = 70^\circ$ ; busur derajat pada gambar yang sudah jadi membenarkannya.

Latihan 51.8 ★★

Dua garis yang sejajar dipotong garis ketiga, membentuk sudut $54^\circ$ pada perpotongan yang pertama (antara garis pemotongnya dan salah satu garis sejajarnya). Gambarlah keadaannya lalu sebutkan ukuran kedelapan sudut yang terbentuk.

Solusi

Solusi Latihan 51.8.

Pada perpotongan yang pertama, keempat sudutnya adalah $54^\circ$ , $126^\circ$ , $54^\circ$ , $126^\circ$ (pasangan bertolak belakang dan pelurusnya). Garis sejajarnya mengulang keempat ukuran yang sama pada perpotongan yang kedua (sudut sehadap): seluruhnya delapan sudut, empat berukuran $54^\circ$ dan empat berukuran $126^\circ$ .

Latihan 51.9 ★★

Dua sisi sebuah segitiga berukuran $8$ cm dan $3$ cm. Di antara dua nilai berapa sisi ketiganya harus terletak? Sebutkan satu panjang bilangan bulat yang berhasil dan satu yang tidak.

Solusi

Solusi Latihan 51.9.

Misalkan $c$ sisi ketiganya. Ketaksamaan segitiga menuntut $c < 8 + 3 = 11$ dan juga $8 < c + 3$ , yaitu $c > 5$ . Jadi $5 < c < 11$ : panjang $7$ cm berhasil; panjang $12$ cm (atau $4$ cm) tidak.

Latihan 51.10 ★★

Pada segitiga $ABC$ , $\widehat A = 2\widehat B$ dan $\widehat C = 90^\circ$ . Hitunglah $\widehat A$ dan $\widehat B$ .

Solusi

Solusi Latihan 51.10.

$\widehat A + \widehat B = 180 - 90 = 90^\circ$ , dan $\widehat A = 2\widehat B$ , jadi $3\widehat B = 90^\circ$ : $\widehat B = 30^\circ$ dan $\widehat A = 60^\circ$ .

Latihan 51.11 ★★★

Sudut segi empat $ABCD$ mana pun dapat dipelajari dengan memotongnya sepanjang sebuah diagonal menjadi dua segitiga. Pakailah ini untuk membuktikan bahwa keempat sudut setiap segi empat berjumlah $360^\circ$ , lalu simpulkan jumlah sudut segi lima (lima sisi).

Solusi

Solusi Latihan 51.11.

Diagonal $[AC]$ membelah $ABCD$ menjadi segitiga $ABC$ dan $ACD$ . Keempat sudut segi empatnya persis keenam sudut kedua segitiga itu, yang dikelompokkan ulang (sudut di $A$ dan di $C$ masing-masing terbelah dua). Jumlahnya: $180 + 180 = 360^\circ$ . Segi lima terbelah dari satu titik sudut menjadi tiga segitiga: $3 \times 180 = 540^\circ$ .

51.5 Soal: Berjalan mengelilingi blok

Soal 51.1

Soal akhir pekan — sudut segi banyak mana pun: $(n-2) \times 180^\circ$ di dalam, selalu $360^\circ$ putaran di luar, dan mengapa hanya tiga bangun beraturan yang mengubin lantai

Latihan 51.11 memotong segi empat menjadi dua segitiga lalu menemukan $360^\circ$ . Soal ini mendorong gagasannya ke segi banyak dengan sisi sebanyak apa pun, lalu menemukan bukti kedua yang sama sekali berbeda — dengan berjalan mengelilingi bangunnya dan menjumlahkan belokannya — dan berakhir di lantai kamar mandimu: di antara semua segi banyak beraturan, tepat tiga yang dapat mengubin bidang tanpa celah atau tumpang tindih, dan lebah sudah memilih miliknya.

Bagian I — Sudut di dalam.

Dari satu titik sudut segi enam (enam sisi), gambarlah semua diagonal yang berangkat dari titik sudut itu. Menjadi berapa segitiga segi enamnya terpotong, dan berapa jumlah semua sudut dalamnya (Teorema 51.3)?
Perumumlah: dari satu titik sudut segi banyak dengan $n$ sisi, berapa banyak segitiga yang dihasilkan kipas diagonalnya? Simpulkan rumus jumlah sudut dalamnya, lalu periksalah untuk $n = 3$ , $4$ , $5$ , $6$ .
Hitunglah jumlah sudut dalam sebuah segi sepuluh ( $10$ sisi) dan sebuah segi dua belas ( $12$ sisi).
Pada segi banyak beraturan semua sudut dalamnya sama besar. Hitunglah sudut dalam segitiga sama sisi, persegi, segi lima beraturan, segi enam beraturan dan segi delapan beraturan.
Jelaskan, tanpa rumus apa pun, mengapa jumlah sudut itu bertambah tepat $180^\circ$ setiap kali segi banyaknya bertambah satu titik sudut.

Bagian II — Berjalan mengelilingi blok. Berjalanlah sepanjang tepi sebuah blok bersegi banyak, selalu maju. Di setiap pojoknya kamu berbelok sejauh suatu sudut — sudut luar pojok itu; belokannya berlanjut sampai kamu kembali ke titik awalmu, menghadap ke arah awalmu.

Pada pojok yang sudut dalamnya $\widehat A$ , sejauh berapa kamu berbelok? (Sudut dalam dan sudut luarnya berpelurus.) Hitunglah ketiga belokan segitiga dengan sudut $40^\circ$ , $60^\circ$ , $80^\circ$ .
Jumlahkan ketiga belokan pertanyaan 6. Kenyataan tentang satu lingkaran penuh apa yang kamu amati?
Jelaskan mengapa belokan sepanjang perjalanan lengkap mengelilingi segi banyak mana pun — tiga sisi atau tiga puluh — selalu berjumlah tepat $360^\circ$ . (Apa yang sudah dilakukan hidungmu, dengan seluruh belokan digabungkan, ketika kamu tiba kembali?)
Simpulkan rumus sudut dalamnya untuk kedua kalinya: pada setiap dari $n$ pojoknya, sudut dalam $+$ belokan $= 180^\circ$ ; jumlahkan atas semua pojoknya lalu pakailah pertanyaan 8.
Pada segi banyak beraturan semua belokannya sama besar, jadi setiap sudut luarnya $\frac{360^\circ}{n}$ . Pakailah ini untuk menjawab seketika: segi banyak beraturan mana yang sudut dalamnya $150^\circ$ ? Dan mengapa tidak ada segi banyak beraturan yang sudut dalamnya $155^\circ$ ?

Bagian III — Mengubin lantai. Di sekitar setiap titik pada lantai berubin, pojok ubin yang bertemu harus berjumlah tepat $360^\circ$ — tanpa celah, tanpa tumpang tindih (Soal 40.1).

Untuk masing-masing dari segitiga sama sisi, persegi dan segi enam beraturan: berapa banyak salinan yang bertemu di satu titik pojok pengubinannya? Periksalah $360^\circ$ -nya setiap kali.
Tunjukkan bahwa segi lima beraturan tidak dapat mengubin lantai: berapa jumlah tiga pojoknya, dan berapa jumlah empat pojoknya?
Tunjukkan bahwa tidak ada segi banyak beraturan dengan lebih dari enam sisi yang dapat mengubin: sedikitnya tiga ubin harus bertemu di setiap pojok (setiap sudutnya kurang dari $180^\circ$ ), lalu apa yang terjadi pada tiga pojok berukuran $135^\circ$ atau lebih? Simpulkan daftar lengkap pengubin beraturannya.
Lantai kamar mandi sering mencampur segi delapan yang beraturan dengan persegi kecil. Periksalah bahwa pojok ini berhasil: $135^\circ + 135^\circ + 90^\circ$ . Campuran klasik yang lain menggabungkan persegi, segi enam beraturan dan segi dua belas beraturan di setiap pojoknya: periksalah itu juga (sudut dalam segi dua belasnya menyusul dari cara pertanyaan 10).
Pilihan lebah: sel sarang lebah berbentuk segi enam beraturan. Periksalah pojoknya ( $3$ sudut), lalu jelaskan dalam satu kalimat — dengan bantuan penemuan Dido (Soal 43.1) — mengapa, dari ketiga ubin beraturan yang mungkin, segi enamnya yang paling murah lilinnya untuk madu yang ditampungnya.

Solusi

Solusi Soal 51.1.

1. Diagonal dari satu titik sudut segi enam memotongnya menjadi $4$ segitiga, jadi sudut dalamnya berjumlah $4 \times 180 = 720^\circ$ .

2. Dari satu titik sudut, diagonalnya menuju semua titik sudut kecuali dirinya sendiri dan kedua tetangganya: $n - 3$ diagonal, yang memotong segi banyaknya menjadi $n - 2$ segitiga. Setiap sudut dalam segi banyaknya terbagi di antara segitiganya, jadi jumlahnya

(n - 2) \times 180^\circ .

Periksa: $n = 3$ : $180^\circ$ ; $n = 4$ : $360^\circ$ (Latihan 51.11); $n = 5$ : $540^\circ$ ; $n = 6$ : $720^\circ$ .

3. Segi sepuluh: $8 \times 180 = 1\,440^\circ$ . Segi dua belas: $10 \times 180 = 1\,800^\circ$ .

4. Dengan membagi $n$ : segitiga $60^\circ$ ; persegi $90^\circ$ ; segi lima $\frac{540}{5} = 108^\circ$ ; segi enam $\frac{720}{6} = 120^\circ$ ; segi delapan $\frac{1080}{8} = 135^\circ$ .

5. Menambah satu titik sudut menambah satu segitiga lagi pada kipasnya: segi banyak yang baru perlu $n - 1$ segitiga sedangkan yang lama perlu $n - 2$ . Satu segitiga tambahan, satu $180^\circ$ tambahan.

6. Pejalannya berbelok sejauh pelurusnya: $180^\circ - \widehat A$ . Untuk segitiga $40$ – $60$ – $80$ , belokannya $140^\circ$ , $120^\circ$ dan $100^\circ$ .

7. $140 + 120 + 100 = 360^\circ$ : satu putaran penuh.

8. Sepanjang seluruh perjalanan, hidungmu bermula dan berakhir menghadap ke arah yang sama, setelah menyapu tepat satu kali keliling: seluruh belokan yang dilakukan di pojoknya berjumlah satu putaran lengkap, $360^\circ$ — berapa pun banyak pojoknya dan apa pun bentuk bloknya. (Kenyataan itu indahnya tidak bergantung pada $n$ .)

9. Pada setiap pojok, sudut dalam $+$ belokan $= 180^\circ$ . Menjumlahkan atas $n$ pojoknya:

\text{(jumlah sudut dalam)} + 360^\circ = 180^\circ \times n, \qquad\text{jadi}\qquad \text{jumlah sudut dalam} = (n - 2) \times 180^\circ

— rumus pertanyaan 2, yang dibuktikan ulang dengan berjalan.

10. Sudut dalam $150^\circ$ berarti setiap belokannya $30^\circ$ , dan $n = \frac{360}{30} = 12$ : segi dua belas beraturan. Sudut dalam $155^\circ$ akan berarti belokan $25^\circ$ , dan $\frac{360}{25} = 14.4$ bukan banyaknya pojok yang bulat: segi banyak beraturan seperti itu tidak ada.

11. Segitiga ( $60^\circ$ ): $6$ bertemu, $6 \times 60 = 360$ . Persegi ( $90^\circ$ ): $4$ bertemu. Segi enam ( $120^\circ$ ): $3$ bertemu, $3 \times 120 = 360$ . Ketiganya menutup dengan sempurna.

12. Tiga pojok segi lima: $3 \times 108 = 324^\circ$ — tersisa celah $36^\circ$ . Empat pojoknya: $4 \times 108 = 432^\circ > 360^\circ$ — tumpang tindih. Tidak ada yang berhasil: segi lima beraturan tidak dapat mengubin bidang.

13. Pada satu pojok pengubinan sedikitnya $3$ ubin bertemu. Segi banyak beraturan dengan lebih dari enam sisi punya sudut dalam yang lebih besar daripada $120^\circ$ (pertanyaan 4 dan tumbuhnya sudut itu bersama $n$ ), jadi tiga pojoknya melampaui $3 \times 120 = 360^\circ$ : tumpang tindih, mustahil. Dengan enam sisi tepat, $3 \times 120 = 360$ berhasil; di bawah enam, pertanyaan 11 dan 12 memilah keadaannya. Daftar lengkap pengubin beraturannya: segitiga, persegi, segi enam.

14. Segi delapan dan persegi: $135 + 135 + 90 = 360^\circ$ : pojoknya menutup — pola jalanan yang klasik. Persegi, segi enam, segi dua belas: belokan segi dua belasnya $\frac{360}{12} = 30^\circ$ , jadi sudut dalamnya $150^\circ$ , dan $90 + 120 + 150 = 360^\circ$ : itu berhasil juga.

15. Pojok sarang lebah: $3 \times 120 = 360^\circ$ , sempurna. Di antara ubin segitiga, persegi dan segi enam yang sama luasnya, segi enamnya punya keliling terpendek — ia yang paling dekat di antara ketiganya dengan lingkaran Dido (Soal 43.1) — jadi sel segi enam menampung madu yang sama dengan lilin paling sedikit: lebah mengubin seperti ahli geometri.

Istilah yang didefinisikan dalam bab ini

Pasangan sudut

Lihat semua 395 istilah di glosarium