Matematika Sekolah Dasar dan Menengah · Grades 1–9

35Kubus dan Balok

Meninggalkan halaman yang datar: bangun ruang adalah bentuk dunia nyata — dadu, kotak sereal, kaleng, bola. Bab ini belajar menamainya, membilang sisi dan rusuknya, membukanya menjadi jaring-jaring, lalu mengukur volumenya dengan membilang kubus kecil. (Rumus volume menyusul pada Bab 43.)

35.1 Keluarga bangun ruang

Definisi 35.1 (Bangun ruang dan kosakatanya)

Bangun ruang menempati ruang. Bidang datarnya disebut sisi; sisi bertemu sepanjang rusuk; rusuk bertemu di titik sudut. Potret keluarganya:

kubus: $6$ sisi berbentuk persegi, $12$ rusuk, $8$ titik sudut;
balok (prisma persegi panjang): $6$ sisi berbentuk persegi panjang, $12$ rusuk, $8$ titik sudut;
tabung: dua sisi berbentuk cakram dan satu sisi yang tergulung (sebuah kaleng);
limas: alas berbentuk segi banyak dan segitiga yang bertemu di satu puncak;
bola: satu permukaan bundar sempurna, tanpa sisi datar dan tanpa rusuk.

Galeri bangun ruang. Garis putus-putus menunjukkan rusuk yang tersembunyi — bagian belakang bangun itu, dilihat menembusnya.

Contoh 35.2 (Membilang pada kubus)

Periksalah pada sebuah dadu: $6$ sisi (bilangan $1$ sampai $6$ ), $8$ titik sudut (pojoknya), $12$ rusuk (rabalah dengan jari: $4$ di atas, $4$ di bawah, $4$ tegak). Dan $6 + 8 = 12 + 2$ — pola aneh yang sama juga berlaku untuk balok dan limas (Contoh 62.2 kembali membahasnya).

35.2 Jaring-jaring

Definisi 35.3 (Jaring-jaring)

Jaring-jaring sebuah bangun ruang adalah gambar datar semua sisinya, yang tersambung sepanjang rusuk, dan yang terlipat menjadi bangun ruang itu — bangun ruang yang dibuka seperti kardus yang dipipihkan untuk didaur ulang.

Tiga susunan enam persegi. Dua yang pertama terlipat menjadi kubus; yang ketiga tidak — ketika dilipat, dua persegi mendarat di sisi yang sama dan kubusnya tetap terbuka. Guntinglah lalu cobalah!

Contoh 35.4 (Membaca jaring-jaring)

Pada sebuah dadu, sisi yang berhadapan berjumlah $7$ . Pada jaring-jaring, sisi yang berhadapan adalah yang terpisah tepat satu persegi dalam satu baris (atau memutari pojok) — bukan tetangganya! Menandai pasangannya pada jaring-jaring sebelum melipat adalah latihan yang bagus untuk melihat ruang secara datar.

35.3 Volume: membilang kubus

Definisi 35.5 (Volume dengan membilang)

Volume sebuah bangun ruang yang dibangun dari kubus satuan adalah banyaknya kubus yang dimuatnya. Satuannya bisa kubus sentimeter (cm $^3$ ) atau kubus meter (m $^3$ ).

Contoh 35.6 (Membilang balok lapis demi lapis)

Sebuah balok sepanjang $4$ kubus, selebar $3$ , setinggi $2$ : lapisan dasarnya memuat $4 \times 3 = 12$ kubus, dan ada $2$ lapisan:

12 \times 2 = 24 \text{ kubus} .

Membilang per lapisan selalu berhasil — dan diam-diam ia membuktikan rumus $V = L \times w \times h$ pada Bab 43.

Balok 4 × 3 × 2 yang tersusun dari kubus satuan, dibilang lapis demi lapis. — Balok $4 \times 3 \times 2$ yang tersusun dari kubus satuan, dibilang lapis demi lapis.

Contoh 35.7 (Kubus yang sama, bentuk yang berbeda)

Delapan kubus satuan dapat membangun kubus $2 \times 2 \times 2$ , batang $8 \times 1 \times 1$ , atau lempeng $4 \times 2 \times 1$ : tiga bangun ruang yang berbeda, satu volume ( $8$ kubus). Volume membilang bahannya, bukan bentuknya.

35.4 Latihan

Latihan 35.1 ★

Sebutkan benda nyata yang berbentuk: kubus; balok; tabung; bola; limas.

Solusi

Solusi Latihan 35.1.

Misalnya: sebuah dadu (kubus); kotak sereal (balok); sebuah kaleng (tabung); bola sepak (bola); atap tertentu atau monumen di Mesir (limas).

Latihan 35.2 ★

Berapa sisi, rusuk dan titik sudut sebuah balok? Periksalah polanya: sisi $+$ titik sudut $=$ rusuk $+ 2$ .

Solusi

Solusi Latihan 35.2.

Sebuah balok punya $6$ sisi, $12$ rusuk, $8$ titik sudut — dan $6 + 8 = 12 + 2$ . ✓

Latihan 35.3 ★

Sisi mana saja dari sebuah balok yang identik? (Kelompokkan keenam sisinya berpasangan.) Apa yang istimewa dari sisi sebuah kubus?

Solusi

Solusi Latihan 35.3.

Keenam sisinya terdiri atas tiga pasang sisi berhadapan yang identik (atas–bawah, depan–belakang, kiri–kanan). Pada kubus, keenam sisinya adalah persegi yang identik.

Latihan 35.4 ★

Gambarlah jaring-jaring kubus dengan sisi $2$ cm (pakailah model berbentuk salib pada bab ini), guntinglah, lalu lipatlah.

Solusi

Solusi Latihan 35.4.

Jaring-jaring berbentuk salib: empat persegi $2$ cm dalam satu baris, satu di atas dan satu di bawah persegi yang kedua. Melipat cincin berisi empat itu membuat sisi tegaknya; dua persegi tambahan menutup atas dan bawahnya.

Latihan 35.5 ★

Pada jaring-jaring dadu yang berbentuk salib, letakkan bilangan $1$ sampai $6$ sehingga sisi yang berhadapan berjumlah $7$ . (Pakailah Contoh 35.4 untuk mencari pasangan yang berhadapan dulu.)

Solusi

Solusi Latihan 35.5.

Pada jaring-jaring salib (empat persegi dalam satu baris, satu di atas, satu di bawah persegi kedua), pasangan yang berhadapan adalah: persegi $1$ dan $3$ pada baris itu; persegi $2$ dan $4$ pada baris itu; serta persegi atas dan bawah. Satu penamaan yang benar: baris $= 1, 2, 6, 5$ ; atas $= 3$ ; bawah $= 4$ — lalu $1{+}6$ , $2{+}5$ , $3{+}4$ semuanya menjadi $7$ .

Latihan 35.6 ★

Bilanglah kubus satuannya: balok sepanjang $5$ , selebar $2$ , setinggi $3$ ; kubus dengan sisi $3$ ; tumpukan berbentuk L yang tersusun dari lempeng $3 \times 2 \times 1$ dengan lempeng $1 \times 2 \times 1$ di atasnya.

Solusi

Solusi Latihan 35.6.

Balok: $5 \times 2 = 10$ per lapisan, $3$ lapisan: $30$ kubus. Kubus: $3 \times 3 \times 3 = 27$ . Tumpukan L: $3 \times 2 \times 1 = 6$ ditambah $1 \times 2 \times 1 = 2$ : $8$ kubus.

Latihan 35.7 ★

Sebuah balok memuat tepat $12$ kubus satuan dalam satu lapisan. Berikan dua bentuk lapisan yang mungkin ( $L \times w$ ), dan untuk masing-masing, volume baloknya jika ia punya $3$ lapisan seperti itu.

Solusi

Solusi Latihan 35.7.

Lapisan berisi $12$ : misalnya $4 \times 3$ atau $6 \times 2$ (atau $12 \times 1$ ). Dengan $3$ lapisan, volumenya $12 \times 3 = 36$ kubus dalam setiap keadaan.

Latihan 35.8 ★

Dengan $27$ kubus satuan, kubus apa yang dapat kamu bangun? Dengan $64$ ? (Pikirkan pembilangan lapisannya secara terbalik.)

Solusi

Solusi Latihan 35.8.

$27 = 3 \times 3 \times 3$ : kubus dengan sisi $3$ . $64 = 4 \times 4 \times 4$ : kubus dengan sisi $4$ .

Latihan 35.9 ★★

Gula batu dengan sisi $1$ cm dikemas dalam kotak sepanjang $10$ cm, selebar $5$ cm, setinggi $4$ cm (ukuran bagian dalam). Berapa gula batu yang muat? Kalau sebuah keluarga memakai $6$ butir sehari, untuk berapa hari satu kotak bertahan (bulatkan dengan masuk akal)?

Solusi

Solusi Latihan 35.9.

Kotaknya memuat $10 \times 5 \times 4 = 200$ butir gula batu. Dengan $6$ butir sehari: $200 = 6 \times 33 + 2$ , jadi kotaknya bertahan $33$ hari penuh (dan $2$ butir tersisa untuk pagi hari ke- $34$ ).

Latihan 35.10 ★★

Sebuah kubus $3 \times 3 \times 3$ dicat merah di bagian luarnya, lalu dipotong menjadi $27$ kubus satuan. Berapa kubus kecil yang terkena cat tepat pada $3$ sisi? Pada $2$ ? Pada $1$ ? Tidak sama sekali? (Periksa: keempat bilangannya harus berjumlah $27$ .)

Solusi

Solusi Latihan 35.10.

Terkena cat pada $3$ sisi: $8$ kubus di pojoknya. Pada $2$ sisi: bagian tengah $12$ rusuknya, yaitu $12$ kubus. Pada $1$ sisi: pusat dari $6$ sisinya, yaitu $6$ kubus. Tidak sama sekali: satu kubus pusat yang tersembunyi, yaitu $1$ . Periksa: $8 + 12 + 6 + 1 = 27$ . ✓

Istilah yang didefinisikan dalam bab ini

Lihat semua 395 istilah di glosarium