Matematika Sekolah Dasar dan Menengah · Grades 1–9

26Garis dan Segi Banyak

Dengan penggaris, penggaris siku dan jangka, geometri menjadi sebuah keterampilan. Bab ini mengajarkan dua kedudukan istimewa garis — tegak lurus dan sejajar — pada tataran alat, lalu berkeliling mengenal keluarga segi banyak. (Teorinya menyusul pada Bab 40.)

26.1 Tegak lurus dan sejajar

Definisi 26.1 (Tegak lurus, sejajar)

Dua garis disebut tegak lurus jika keduanya berpotongan membentuk sudut siku-siku (diperiksa dengan penggaris siku, ditandai dengan persegi kecil). Dua garis disebut sejajar jika keduanya menuju arah yang sama dan tidak pernah berpotongan — seperti dua rel kereta yang jaraknya selalu tetap.

Metode 26.2 (Menggambar dengan penggaris siku)

Garis tegak lurus terhadap $d$ yang melalui titik $P$ : letakkan satu tepi sudut siku-siku itu sepanjang $d$ , lalu geser sampai tepi yang lain mencapai $P$ , dan gambar.

Garis sejajar dengan $d$ yang melalui $P$ : letakkan tepi penggaris siku sepanjang $d$ , tekan penggaris biasa pada tepi yang lain sebagai rel, geser penggaris siku sepanjang rel itu sampai ke $P$ , lalu gambar.

Kedua lukisan itu. Garis sejajar menjaga jarak yang tetap: mengukur jaraknya di dua tempat adalah pemeriksaan yang baik.

Contoh 26.3 (Mengenalinya dalam gambar)

Pada persegi panjang, setiap sisi tegak lurus terhadap dua sisi tetangganya dan sejajar dengan sisi yang berhadapan. Kertas berpetak adalah jaringan garis sejajar dan tegak lurus yang sudah jadi — itulah yang membuatnya begitu nyaman untuk menggambar.

26.2 Segi banyak

Definisi 26.4 (Segi banyak)

Segi banyak adalah bangun tertutup yang tepinya tersusun dari ruas garis lurus, yaitu sisi-sisinya; titik pojoknya disebut titik sudut. Segi banyak dinamai menurut banyaknya sisi: segitiga ( $3$ ), segi empat ( $4$ ), segi lima ( $5$ ), segi enam ( $6$ ), segi delapan ( $8$ ).

Keluarga segi banyak (segi lima dan segi enam yang digambar di sini beraturan: sisinya sama panjang dan sudutnya sama besar). Lingkaran bukan segi banyak: tepinya tidak tersusun dari ruas garis. — Keluarga segi banyak (segi lima dan segi enam yang digambar di sini *beraturan*: sisinya sama panjang dan sudutnya sama besar). Lingkaran bukan segi banyak: tepinya tidak tersusun dari ruas garis.

Contoh 26.5 (Menjelaskan sebuah segi banyak)

Permainan yang berguna: jelaskan sebuah gambar setepat mungkin sehingga teman sekelasmu dapat menggambarnya ulang tanpa melihatnya. “Sebuah segi empat $ABCD$ dengan $AB = 5$ cm, sudut di $A$ siku-siku, $AD = 3$ cm …” — kosakatalah yang membuat pesan itu sampai.

26.3 Lingkaran dan jangka

Definisi 26.6 (Lingkaran)

Lingkaran berpusat $O$ dengan jari-jari $3$ cm adalah himpunan semua titik yang berjarak tepat $3$ cm dari $O$ . Jangka menggambarnya: jarum di $O$ , bukaan $3$ cm, lalu putar. Diameter adalah ruas garis melalui pusat yang menghubungkan dua titik pada lingkaran; panjangnya dua kali jari-jari.

Contoh 26.7 (Jangka sebagai penjaga jarak)

Jangka bukan hanya menggambar lingkaran: ia memindahkan jarak. Untuk menandai semua titik yang berjarak $4$ cm dari titik $A$ , gambarlah lingkaran berpusat $A$ dengan jari-jari $4$ cm; untuk membandingkan dua ruas garis tanpa penggaris, bukalah jangka pada yang satu lalu ujilah pada yang lain.

Metode 26.8 (Menggambar ulang sebuah gambar di kertas berpetak)

Pilihlah satu titik sudut awal beserta letaknya di petak yang masih kosong;
telusurilah gambar itu titik sudut demi titik sudut sambil membilang langkah petaknya (“ $3$ ke kanan, $2$ ke atas”);
hubungkan titik sudutnya berurutan, lalu bandingkan dengan modelnya: panjangnya sama, arahnya sama.

26.4 Latihan

Latihan 26.1 ★

Gambarlah sebuah garis $d$ dan titik $P$ yang tidak terletak padanya. Lukislah garis tegak lurus terhadap $d$ yang melalui $P$ , lalu garis sejajar dengan $d$ yang melalui $P$ (dengan cara rel penggaris). Tandailah sudut siku-sikunya.

Solusi

Solusi Latihan 26.1.

Lukisan mengikuti Metode 26.2; persegi kecil menandai sudut siku-siku antara $d$ dan garis tegak lurusnya.

Latihan 26.2 ★

Perhatikan huruf kapital E, H, N, T, Z. Pada masing-masing, carilah sepasang goresan yang sejajar dan sepasang goresan yang tegak lurus bila memang ada.

Solusi

Solusi Latihan 26.2.

E: ketiga goresan mendatarnya sejajar; masing-masing tegak lurus terhadap goresan tegaknya. H: kedua goresan tegaknya sejajar, palang melintangnya tegak lurus terhadap keduanya. N: kedua goresan tegaknya sejajar; goresan miringnya bukan keduanya. T: kedua goresannya tegak lurus. Z: goresan atas dan bawahnya sejajar; goresan miringnya bukan keduanya.

Latihan 26.3 ★

Sebutkan nama setiap segi banyak: $6$ sisi; $4$ sisi; $3$ sisi; $8$ sisi; $5$ sisi. Berapa titik sudut yang dipunyai masing-masing?

Solusi

Solusi Latihan 26.3.

Segi enam; segi empat; segitiga; segi delapan; segi lima. Segi banyak punya titik sudut sebanyak sisinya: $6$ , $4$ , $3$ , $8$ , $5$ .

Latihan 26.4 ★

Gambarlah sebuah segi lima (tidak harus beraturan) lalu berilah nama titik sudutnya $A$ , $B$ , $C$ , $D$ , $E$ . Berapa sisinya? Gambarlah diagonalnya dari $A$ (ruas garis yang menghubungkan $A$ ke titik sudut yang bukan tetangganya): ada berapa?

Solusi

Solusi Latihan 26.4.

Segi lima punya $5$ sisi. Dari $A$ , yang bukan tetangganya adalah $C$ dan $D$ : dua diagonal, yaitu $[AC]$ dan $[AD]$ .

Latihan 26.5 ★

Gambarlah lingkaran berpusat $O$ dengan jari-jari $4$ cm; sebuah diameter $[AB]$ ; dan sebuah titik $M$ pada lingkaran yang tidak terletak pada $[AB]$ . Sebutkan panjang $OA$ , $OM$ dan $AB$ tanpa mengukur.

Solusi

Solusi Latihan 26.5.

$OA = 4$ cm (jari-jari); $OM = 4$ cm (setiap titik pada lingkaran); $AB = 8$ cm (diameter dua kali jari-jari).

Latihan 26.6 ★

Dengan jangka sebagai penjaga jarak (Contoh 26.7), bandingkan sisi sebuah segitiga yang digambar teman sekelasmu lalu putuskan apakah segitiga itu punya dua sisi yang sama panjang.

Solusi

Solusi Latihan 26.6.

Bukalah jangka sepanjang satu sisi, lalu bawalah bukaan itu ke dua sisi yang lain: kalau rentang jarum dan pensilnya pas dengan sisi kedua, kedua sisi itu sama panjang.

Latihan 26.7 ★

Di kertas berpetak, gambarlah ulang jalur ini lalu tutuplah menjadi segi banyak: mulailah dari titik $A$ ; $4$ ke kanan; $2$ ke atas; $3$ ke kiri; $2$ ke atas; lalu kembali ke $A$ dengan garis lurus. Apa nama segi banyak yang kamu peroleh (bilanglah sisinya)?

Solusi

Solusi Latihan 26.7.

Jalur itu menutup menjadi segi banyak dengan $5$ sisi — sebuah segi lima (yang tidak beraturan!).

Latihan 26.8 ★

Benar atau salah? Jelaskan dengan gambar. “Dua garis yang tegak lurus selalu berpotongan.” “Dua garis yang sejajar tidak pernah berpotongan.” “Sebuah garis dapat sejajar dengan satu garis dan tegak lurus terhadap garis yang lain.”

Solusi

Solusi Latihan 26.8.

“Dua garis tegak lurus selalu berpotongan”: benar — keduanya berpotongan tepat di sudut siku-sikunya.

“Dua garis sejajar tidak pernah berpotongan”: benar — itulah definisinya.

“Sebuah garis dapat sejajar dengan satu garis dan tegak lurus terhadap garis yang lain”: benar — di kertas berpetak, garis mendatar sejajar dengan setiap garis mendatar dan tegak lurus terhadap setiap garis tegak.

Latihan 26.9 ★★

Gambarlah sebuah garis $d$ , lalu garis $e$ yang tegak lurus terhadap $d$ , lalu garis $f$ yang tegak lurus terhadap $e$ . Perhatikan $d$ dan $f$ : apa yang kamu lihat? (Pengamatan ini menjadi teorema pada Bab 40.)

Solusi

Solusi Latihan 26.9.

Garis $d$ dan $f$ tampak sejajar — dan memang selalu sejajar: dua garis yang tegak lurus terhadap garis yang sama pasti sejajar (Proposisi 40.3 meresmikannya).

Latihan 26.10 ★★

Jelaskan gambar berikut dengan kata-kata kepada teman sekelasmu, tanpa menunjukkannya: sebuah persegi dengan sisi $4$ cm, dengan lingkaran berjari-jari $2$ cm yang berpusat di tengah persegi itu (menyentuh keempat sisinya). Tulislah penjelasanmu sebagai langkah bernomor.

Solusi

Solusi Latihan 26.10.

Satu program yang benar: “1. Gambarlah persegi $ABCD$ dengan sisi $4$ cm. 2. Tandailah titik $O$ tempat kedua diagonalnya berpotongan. 3. Gambarlah lingkaran berpusat $O$ dengan jari-jari $2$ cm.” Lingkaran itu menyentuh setiap sisi di tengahnya.

Latihan 26.11 ★★

Berapa diagonal yang dipunyai segi empat? Segi lima? Segi enam? Gambarlah ketiganya, bilanglah dengan teliti, lalu jelaskan pola yang kamu lihat.

Solusi

Solusi Latihan 26.11.

Segi empat: $2$ diagonal. Segi lima: $5$ . Segi enam: $9$ . Setiap titik sudut baru menambah diagonal makin banyak — hitungannya tumbuh makin cepat ( $+3$ , lalu $+4$ , …).

Istilah yang didefinisikan dalam bab ini

Lihat semua 395 istilah di glosarium