Matematika Sekolah Dasar dan Menengah · Grades 1–9

68Teorema Thales

Bagaimana kamu mengukur tinggi sebuah piramida tanpa memanjatnya? Thales dari Miletus membandingkan bayangannya dengan bayangan sebuah tongkat. Teoremanya — garis sejajar memotong ruas garis menjadi bagian yang sebanding — adalah jantung matematika model berskala, peta, dan perbesaran, sekaligus salah satu teorema bernama yang tertua.

68.1 Teoremanya

Teorema 68.1 (Thales)

Misalkan dua garis bertemu di sebuah titik $A$ . Ambillah $M$ pada garis pertama dan $N$ pada garis kedua, dengan $B$ lebih jauh sepanjang garis pertama dan $C$ lebih jauh sepanjang garis kedua. Kalau garis $(MN)$ dan $(BC)$ sejajar, maka segitiga $AMN$ dan $ABC$ punya sisi yang sebanding:

\frac{AM}{AB} = \frac{AN}{AC} = \frac{MN}{BC}.

Bukti. Diterima tanpa bukti pada tingkat ini. ∎

Kedua susunan Thales: segitiga bersarang (kiri) dan susunan “kupu-kupu”, tempat M dan N duduk di sisi lain A (kanan). Pada keduanya, (MN) (BC) dan ketiga perbandingannya sama. — Kedua susunan Thales: segitiga bersarang (kiri) dan susunan “kupu-kupu”, tempat $M$ dan $N$ duduk di sisi lain $A$ (kanan). Pada keduanya, $(MN) \parallel (BC)$ dan ketiga perbandingannya sama.

Metode 68.2 (Menghitung sebuah panjang dengan Thales)

Kenalilah titik $A$ tempat kedua garisnya berpotongan dan kedua garis sejajarnya; namailah kedua segitiganya;
tulislah ketiga perbandingan yang sama, selalu “segitiga kecil dibagi segitiga besar”;
tahanlah kesamaan kedua perbandingan yang memuat ketiga panjang yang diketahui dan panjang yang belum diketahui;
selesaikan perbandingan yang dihasilkannya dengan perkalian silang.

Contoh 68.3

Pada susunan kiri di atas, andaikan $AM = 3$ , $AB = 5$ , $AN = 2.4$ dan $MN = 3.3$ , lalu marilah kita hitung $AC$ dan $BC$ . Thales memberi

\frac{AM}{AB} = \frac{AN}{AC} = \frac{MN}{BC}, \qquad\text{yaitu}\qquad \frac35 = \frac{2.4}{AC} = \frac{3.3}{BC}.

Dari $\frac35 = \frac{2.4}{AC}$ , dengan mengalikan silang: $3 \times AC = 5 \times 2.4 = 12$ , jadi $AC = 4$ . Dari $\frac35 = \frac{3.3}{BC}$ : $3 \times BC = 16.5$ , jadi $BC = 5.5$ .

Contoh 68.4 (Thales dalam kehidupan nyata)

Sebuah tongkat tegak setinggi $1$ m melemparkan bayangan $1.5$ m, sedangkan sebuah pohon melemparkan bayangan $12$ m pada saat yang sama. Sinar matahari sejajar, jadi segitiga tongkat-bayangan dan segitiga pohon-bayangan berada pada susunan Thales:

\frac{\text{tinggi pohonnya}}{1} = \frac{12}{1.5}, \qquad\text{jadi pohonnya setinggi } 8 \text{ m.}

68.2 Konversnya

Teorema 68.5 (Konvers Thales)

Dengan titiknya diletakkan seperti pada Teorema 68.1 ( $M$ pada $(AB)$ , $N$ pada $(AC)$ , dengan urutan yang sama pada kedua garisnya): kalau

\frac{AM}{AB} = \frac{AN}{AC},

maka garis $(MN)$ dan $(BC)$ sejajar.

Bukti. Diterima tanpa bukti pada tingkat ini. ∎

Metode 68.6 (Membuktikan atau menyangkal kesejajaran)

Hitunglah secara terpisah kedua perbandingannya $\dfrac{AM}{AB}$ dan $\dfrac{AN}{AC}$ (sebagai pecahan, bukan sebagai pembulatan);
kalau keduanya sama dan titiknya berurutan sama pada kedua garisnya, maka garisnya sejajar (menurut konvers Thales);
kalau keduanya berbeda, garisnya tidak sejajar — karena kalau sejajar, teorema Thales akan memaksa perbandingannya sama.

Contoh 68.7

Pada garis 1, $AM = 4$ dan $AB = 10$ ; pada garis 2, $AN = 6$ dan $AC = 15$ . Maka

\frac{AM}{AB} = \frac{4}{10} = \frac25, \qquad \frac{AN}{AC} = \frac{6}{15} = \frac25 :

perbandingannya sama, urutannya sama: jadi $(MN) \parallel (BC)$ .

Dengan $AC = 14$ sebagai gantinya: $\frac{6}{14} = \frac37 \neq \frac25$ , jadi garisnya tidak sejajar.

68.3 Perbesaran dan pengecilan

Definisi 68.8 (Menskalakan sebuah bangun)

Memperbesar atau mengecilkan sebuah bangun dengan faktor skala $k > 0$ berarti mengalikan semua panjangnya dengan $k$ : disebut perbesaran ketika $k > 1$ , dan pengecilan ketika $k < 1$ . Pada susunan Thales, segitiga $AMN$ adalah pengecilan $ABC$ dengan faktor $k = \frac{AM}{AB}$ .

Proposisi 68.9 (Pengaruhnya pada sudut dan luas)

Menskalakan dengan faktor $k$ mempertahankan sudut dan bentuk bangunnya, mengalikan setiap panjang dengan $k$ , dan mengalikan setiap luas dengan $k^2$ .

Bukti. Diterima tanpa bukti pada tingkat ini. ∎

Melipatduakan panjangnya (k = 2) mengalikan luasnya dengan k2 = 4: empat salinan persegi panjang kecilnya mengubin yang besar. — Melipatduakan panjangnya ( $k = 2$ ) mengalikan luasnya dengan $k^2 = 4$ : empat salinan persegi panjang kecilnya mengubin yang besar.

Contoh 68.10

Sebuah foto $10 \times 15$ cm diperbesar dengan faktor skala $k = 3$ : cetakannya berukuran $30 \times 45$ cm. Luasnya berubah dari $150$ cm $^2$ menjadi $150 \times 9 = 1350$ cm $^2$ — yaitu $9$ kali lebih besar, bukan $3$ .

68.4 Latihan

Latihan 68.1 ★

Garis $(MN)$ dan $(BC)$ sejajar, dengan $M$ pada $[AB]$ dan $N$ pada $[AC]$ ; $AM = 2$ , $AB = 6$ , $AN = 3$ , $BC = 9$ . Hitunglah $AC$ dan $MN$ .

Solusi

Solusi Latihan 68.1.

Thales: $\dfrac{AM}{AB} = \dfrac{AN}{AC} = \dfrac{MN}{BC}$ , yaitu $\dfrac26 = \dfrac13$ . Jadi $\dfrac{3}{AC} = \dfrac13$ memberi $AC = 9$ , dan $\dfrac{MN}{9} = \dfrac13$ memberi $MN = 3$ .

Latihan 68.2 ★

Susunan yang sama: $AM = 5$ , $MB = 3$ (hati-hati: $MB$ , bukan $AB$ !), $AN = 4$ . Hitunglah $AC$ .

Solusi

Solusi Latihan 68.2.

Carilah lebih dahulu $AB = AM + MB = 5 + 3 = 8$ . Lalu $\dfrac{AM}{AB} = \dfrac{AN}{AC}$ memberi $\dfrac58 = \dfrac{4}{AC}$ , jadi $5 \times AC = 32$ dan $AC = 6.4$ .

Latihan 68.3 ★

Pada susunan kupu-kupu, $A$ terletak antara $M$ dan $B$ dan antara $N$ dan $C$ , dengan $(MN) \parallel (BC)$ ; $AM = 3$ , $AB = 7.5$ , $AN = 2$ , $MN = 2.6$ . Hitunglah $AC$ dan $BC$ .

Solusi

Solusi Latihan 68.3.

Susunan kupu-kupunya bekerja persis seperti susunan bersarangnya: $\dfrac{AM}{AB} = \dfrac{AN}{AC} = \dfrac{MN}{BC}$ , yaitu $\dfrac{3}{7.5} = \dfrac25$ . Jadi $\dfrac{2}{AC} = \dfrac25$ memberi $AC = 5$ , dan $\dfrac{2.6}{BC} = \dfrac25$ memberi $BC = \dfrac{2.6 \times 5}{2} = 6.5$ .

Latihan 68.4 ★

$M$ berada pada $[AB]$ dengan $AM = 6$ , $AB = 8$ ; $N$ berada pada $[AC]$ dengan $AN = 9$ , $AC = 12$ . Apakah garis $(MN)$ dan $(BC)$ sejajar?

Solusi

Solusi Latihan 68.4.

$\dfrac{AM}{AB} = \dfrac68 = \dfrac34$ dan $\dfrac{AN}{AC} = \dfrac{9}{12} = \dfrac34$ : perbandingannya sama, titiknya berurutan sama, jadi $(MN) \parallel (BC)$ menurut konvers Thales.

Latihan 68.5 ★★

Sama seperti di atas dengan $AM = 4$ , $AB = 6$ , $AN = 5$ , $AC = 8$ . Apakah $(MN)$ dan $(BC)$ sejajar? Berilah alasan dengan hati-hati.

Solusi

Solusi Latihan 68.5.

$\dfrac{AM}{AB} = \dfrac46 = \dfrac23$ dan $\dfrac{AN}{AC} = \dfrac58$ . Pemeriksaan silangnya: $\dfrac23 = \dfrac{16}{24}$ dan $\dfrac58 = \dfrac{15}{24}$ : perbandingannya berbeda. Kalau garisnya sejajar, teorema Thales akan memaksa keduanya sama — jadi $(MN)$ dan $(BC)$ tidak sejajar.

Latihan 68.6 ★★

Seseorang setinggi $1.8$ m berdiri $2$ m dari kaki sebuah lampu jalan; bayangannya berukuran $3$ m. Gambarlah susunan Thales yang dibentuk lampunya, orangnya, dan ujung bayangannya, lalu hitunglah tinggi lampunya.

Solusi

Solusi Latihan 68.6.

Misalkan $S$ ujung bayangannya, $P$ puncak kepala orangnya, $L$ puncak lampunya. Orangnya ( $1.8$ m pada jarak $3$ m dari $S$ ) dan lampunya (tinggi $h$ pada jarak $3 + 2 = 5$ m dari $S$ ) adalah dua ruas garis tegak yang sejajar yang dipotong sinar cahaya $(SL)$ : Thales dari titik $S$ memberi

\frac{1.8}{h} = \frac{3}{5}, \qquad\text{jadi}\quad h = \frac{1.8 \times 5}{3} = 3 \text{ m}.

Latihan 68.7 ★★

Sebuah peta punya skala $1 : 25\,000$ (panjang pada petanya adalah panjang yang sebenarnya dikalikan $k = \frac{1}{25000}$ ).

Dua desa berjarak $6.8$ cm pada petanya. Berapa jaraknya yang sebenarnya, dalam km?
Sebuah hutan berluas $8$ cm $^2$ pada petanya. Berapa luasnya yang sebenarnya, dalam km $^2$ ?

Solusi

Solusi Latihan 68.7.

1. Jarak yang sebenarnya: $6.8 \times 25\,000 = 170\,000$ cm $= 1.7$ km.

2. Luas menskala dengan $k^2$ : luas yang sebenarnya $= 8 \times 25\,000^2$ cm $^2$ $= 8 \times 6.25 \times 10^8$ cm $^2$ $= 5 \times 10^9$ cm $^2$ . Karena $1$ km $^2 = 10^{10}$ cm $^2$ , itu berarti $0.5$ km $^2$ .

Latihan 68.8 ★★

Segitiga $ABC$ punya $AB = 12$ , $AC = 15$ , $BC = 18$ . Titik $M$ pada $[AB]$ memenuhi $AM = 8$ , dan garis melalui $M$ yang sejajar dengan $(BC)$ memotong $[AC]$ di $N$ .

Hitunglah $AN$ dan $MN$ .
Berapa faktor skala dari $ABC$ ke $AMN$ ? Bandingkan keliling kedua segitiganya.

Solusi

Solusi Latihan 68.8.

1. Perbandingannya adalah $\dfrac{AM}{AB} = \dfrac{8}{12} = \dfrac23$ . Thales: $AN = \frac23 \times 15 = 10$ dan $MN = \frac23 \times 18 = 12$ .

2. Faktor skalanya $k = \frac23$ . Kelilingnya: $ABC$ punya $12 + 15 + 18 = 45$ , dan $AMN$ punya $8 + 10 + 12 = 30 = \frac23 \times 45$ : jadi kelilingnya pun menskala dengan $k$ , seperti setiap panjang.

Latihan 68.9 ★★★

Misalkan $ABCD$ sebuah trapesium dengan $(AB) \parallel (CD)$ , $AB = 4$ dan $CD = 6$ , yang diagonalnya $[AC]$ dan $[BD]$ bertemu di $O$ . Dengan memakai Thales pada susunan kupu-kupu di sekitar $O$ , hitunglah perbandingan $\dfrac{OA}{OC}$ , lalu tunjukkan bahwa $O$ memotong kedua diagonalnya dengan perbandingan yang sama.

Solusi

Solusi Latihan 68.9.

Di sekitar $O$ , garis $(AC)$ dan $(BD)$ berpotongan, dan $(AB) \parallel (CD)$ : yaitu susunan kupu-kupu dengan segitiga $OAB$ dan $OCD$ . Thales memberi

\frac{OA}{OC} = \frac{OB}{OD} = \frac{AB}{CD} = \frac46 = \frac23 .

Jadi $\dfrac{OA}{OC} = \dfrac23$ , dan kesamaan $\dfrac{OA}{OC} = \dfrac{OB}{OD}$ mengatakan persis bahwa $O$ memotong kedua diagonalnya dengan perbandingan yang sama.

68.5 Soal: Penggaris tanpa ukuran, kamera lubang jarum, dan ketiga rata-rata sebuah trapesium

Soal 68.1

Soal akhir pekan — Thales yang bekerja: membagi ruas garis mana pun menjadi bagian yang sama, mengukur Matahari dengan kotak sepatu, dan trapesium tempat ketiga rata-rata terkenalnya bertemu

Teorema Thales adalah matematika sinar: sinar matahari, sinar cahaya lewat lubang jarum, sinar pensil dari sebuah titik sudut. Soal ini memakainya dengan tiga cara — sebagai alat pelukisan (membagi ruas garis sepanjang apa pun, bahkan $\sqrt2$ , menjadi bagian yang benar-benar sama), sebagai alat ukur (yaitu diameter Matahari, dengan kotak sepatu dan sekeping uang logam), dan sebagai kaca pembesar pada trapesium Latihan 68.9, tempat rata-rata aritmetika, geometri dan harmonik pada seri ini semuanya muncul dalam satu gambar.

Bagian I — Membagi dengan penggaris tanpa ukuran.

Gambarlah ruas garis $[AB]$ sepanjang $7$ cm. Untuk memotongnya menjadi tiga bagian yang sama dengan jangka dan penggaris tanpa ukuran: gambarlah sinar apa saja dari $A$ (yang tidak melalui $B$ ); langkahkan tiga panjang jangka yang sama padanya, yang memberi titik $P_1$ , $P_2$ , $P_3$ ; hubungkan $P_3$ ke $B$ ; lalu gambarlah garis sejajar $(P_3 B)$ yang melalui $P_1$ dan $P_2$ . Lakukan pelukisannya lalu tandai tempat garis sejajarnya memotong $[AB]$ .
Berilah alasan dengan Teorema 68.1 bahwa kedua titik yang ditandai itu memotong $[AB]$ tepat di titik sepertiganya.
Sesuaikan caranya untuk membagi sebuah ruas garis menjadi $5$ bagian yang sama, lalu untuk melukis $\frac35$ ruas garis yang diberikan.
Lukislah titik $M$ pada $[AB]$ dengan $\frac{AM}{MB} = \frac23$ (yaitu $M$ pada $\frac25$ jalan dari $A$ ). Berapa langkah yang sama pada sinarnya, dan titik yang mana yang dihubungkan ke $B$ ?
Mengapa pelukisan ini lebih baik daripada mengukur dengan penggaris berskala? Tinjaulah ruas garis sepanjang $\sqrt2$ (yaitu diagonal persegi satuan, yang irasional menurut Soal 65.1): apa yang akan diberikan pengukuran, dan apa yang diberikan Thales?

Bagian II — Kamera lubang jarum. Tusuklah sebuah jarum menembus satu sisi kotak yang tertutup: pada sisi yang di seberangnya, muncul bayangan dunia yang terbalik. Sebuah titik benda, lubang jarumnya, dan titik bayangannya segaris — karena cahaya merambat lurus — jadi bendanya (tinggi $H$ , pada jarak $D$ di depan lubangnya) dan bayangannya (tinggi $h$ , pada dinding belakang sedalam $d$ di belakang lubangnya) duduk pada susunan kupu-kupu milik Thales.

Turunkan rumus lubang jarumnya $h = H \times \frac dD$ dari Thales pada susunan kupu-kupu di sekitar lubangnya.
Sebuah pohon $12$ m berdiri $30$ m dari kotak sepatu sedalam $20$ cm. Berapa tinggi bayangannya, dan menghadap ke mana?
Arahkan kotaknya ke Matahari: pada $d = 1$ m di belakang lubang jarumnya, bayangan Mataharinya adalah cakram berdiameter kira-kira $9$ mm. Diberikan jarak Mataharinya $D = 1.5 \times 10^{11}$ m, hitunglah diameternya dalam notasi ilmiah (yaitu notasi pada Soal 63.1 yang sedang bekerja). Bandingkan dengan nilai sebenarnya, $1.39 \times 10^9$ m.
Bulan: diameternya $3.5 \times 10^6$ m, jaraknya $3.8 \times 10^8$ m. Hitunglah perbandingan $\frac{\text{diameter}}{\text{jarak}}$ untuk Bulan dan untuk Matahari. Kebetulan beruntung apa yang disingkap kedua bilangannya — dan peristiwa menakjubkan apa yang dimungkinkannya?
Dalam satu atau dua kalimat: mengapa bayangan lubang jarumnya terbalik, dan mengapa memperbesar lubang jarumnya membuat bayangannya lebih terang tetapi lebih kabur?

Bagian III — Trapesium ketiga rata-ratanya. $ABCD$ adalah trapesium pada Latihan 68.9: $(AB) \parallel (CD)$ , $AB = 4$ , $CD = 6$ , dengan diagonal yang berpotongan di $O$ dan $\frac{OA}{OC} = \frac{OB}{OD} = \frac{4}{6} = \frac23$ .

Latihan kupu-kupu: dua garis berpotongan di $O$ dengan $(MN) \parallel (PQ)$ pada kedudukan kupu-kupu; $OM = 3$ , $OP = 7.5$ , $MN = 4$ dan $OQ = 6$ . Hitunglah $PQ$ dan $ON$ .
Jelaskan bagaimana Thales, yang dipakai dengan perbandingan $\frac12$ , memuat teorema titik tengah pada Teorema 59.1 sebagai keadaan khususnya.
Gambarlah garis sejajar alasnya yang melalui $O$ ; garis itu memotong $[AD]$ di $E$ . Dengan bekerja pada segitiga $ACD$ (perhatikan $\frac{AO}{AC} = \frac25$ ), hitunglah $EO$ .
Menurut perhitungan cerminnya pada segitiga $BDC$ , potongan $OF$ (dengan $F$ pada $[BC]$ ) punya panjang yang sama. Simpulkan bahwa

$EF = 2 \times \frac{4 \times 6}{4 + 6} = 4.8 :$

garis sejajar yang melalui potongan diagonalnya berukuran rata-rata harmonik kedua alasnya — yaitu rata-rata perjalanan pulang pergi pada Soal 61.1, yang muncul kembali dalam geometri murni.
Penutup akbarnya: hitunglah ketiga rata-rata klasik kedua alasnya $4$ dan $6$ — aritmetika $\frac{4+6}{2}$ , geometri $\sqrt{4 \times 6}$ , harmonik $\frac{2 \times 4 \times 6}{4 + 6}$ — lalu urutkan. Masing-masingnya hidup dalam trapesiumnya: rata-rata aritmetikanya adalah garis tengah yang menghubungkan titik tengah kedua kakinya (Soal 53.1), rata-rata harmoniknya adalah ruas garis $EF$ milikmu, dan rata-rata geometrinya adalah garis sejajar yang memotong trapesiumnya menjadi dua trapesium yang sebangun (periksalah nilainya dengan kalkulator; buktinya tantangan tambahan yang manis). Di mana ketaksamaan antara ketiganya sudah dibuktikan dalam buku ini (Soal 60.1, Soal 61.1)?

Solusi

Solusi Soal 68.1.

1. Pelukisannya menghasilkan dua titik pada $[AB]$ ; sebutlah keduanya $M_1$ (dari $P_1$ ) dan $M_2$ (dari $P_2$ ).

2. Pada segitiga $A P_3 B$ , garis sejajar $(P_3 B)$ yang melalui $P_1$ dan $P_2$ memotong sisinya secara sebanding (Teorema 68.1):

\frac{A M_1}{AB} = \frac{A P_1}{A P_3} = \frac13, \qquad \frac{A M_2}{AB} = \frac{A P_2}{A P_3} = \frac23 .

Jangkanya membuat $A P_1$ , $P_1 P_2$ , $P_2 P_3$ sama, jadi perbandingannya persis sepertiga — berapa pun sudut sinarnya dan bukaan jangka yang dipilih.

3. Untuk seperlima: langkahkan lima panjang yang sama, hubungkan titik kelimanya ke $B$ , lalu gambarlah empat garis sejajar. Untuk $\frac35$ sebuah ruas garis: gambar yang sama, lalu ambillah titik yang dipotong garis sejajar yang melalui $P_3$ : titik itu duduk pada $\frac{3}{5}$ dari $[AB]$ dari $A$ .

4. $\frac{AM}{MB} = \frac23$ berarti $AM = \frac25 AB$ : lima langkah yang sama pada sinarnya, hubungkan $P_5$ ke $B$ , lalu garis sejajar yang melalui $P_2$ menandai $M$ .

5. Mengukur $\sqrt2 = 1.41421\ldots$ cm selalu hanya memakai desimal yang berhingga banyaknya: setiap “sepertiga” yang terukur adalah hampiran. Pelukisan Thales tidak pernah membaca sebuah bilangan: ia menyerahkan titik yang persis pada $\frac{\sqrt2}{3}$ — yaitu bagian yang sama dari ruas garis yang bahkan tidak dapat dinyatakan penggaris mana pun (Soal 65.1).

6. Puncak bendanya, lubangnya dan dasar bayangannya segaris, dan begitu pula dasar bendanya dan puncak bayangannya: yaitu dua garis yang berpotongan di lubangnya, dengan bendanya dan dinding bayangannya sejajar. Thales pada kupu-kupunya:

\frac{h}{H} = \frac{d}{D}, \qquad\text{jadi}\qquad h = H \times \frac dD .

7. $h = 12 \times \frac{0.20}{30} = 0.08$ m $= 8$ cm — dan terbalik (sinarnya berpotongan di lubangnya).

8. $H = h \times \frac Dd = 9 \times 10^{-3} \times \frac{1.5 \times 10^{11}}{1} = 1.35 \times 10^{9}$ m. Nilai sebenarnya $1.39 \times 10^9$ m: sebuah kotak sepatu mengukur Matahari sampai selisih beberapa persen saja.

9. Bulan: $\frac{3.5 \times 10^6}{3.8 \times 10^8} \approx 0.0092$ . Matahari: $\frac{1.39 \times 10^9}{1.5 \times 10^{11}} \approx 0.0093$ . Kedua perbandingannya — yaitu besar tampaknya di langit — hampir sama: jadi Bulan dapat menutupi Matahari dengan tepat, tepi bertemu tepi. Kebetulan kosmis itu adalah gerhana matahari total.

10. Setiap sinar harus melewati lubang yang satu itu, jadi sinar dari puncak bendanya berlanjut ke bawah dan sinar dari dasarnya berlanjut ke atas: jadi bayangannya terbalik. Memperbesar lubangnya meloloskan seberkas penuh salinan bayangannya yang sedikit bergeser, yang saling tumpang tindih: lebih terang, tetapi mengabur.

11. $\frac{PQ}{MN} = \frac{OP}{OM} = \frac{7.5}{3} = 2.5$ , jadi $PQ = 10$ ; dan $\frac{ON}{OQ} = \frac{OM}{OP} = \frac{1}{2.5}$ , jadi $ON = \frac{6}{2.5} = 2.4$ .

12. Kalau garis sejajar itu melalui titik tengah salah satu sisinya, perbandingan Thalesnya $\frac12$ , jadi garis itu memotong sisi keduanya di titik tengah sisi itu, dan ruas garis sejajarnya berukuran setengah alasnya: yaitu persis Teorema 59.1. Thales adalah teorema titik tengah yang dibebaskan dari perbandingan $\frac12$ .

13. Pada segitiga $ACD$ , garis $(EO)$ sejajar dengan alasnya $(CD)$ , dengan $\frac{AO}{AC} = \frac{OA}{OA + OC} = \frac{4}{4 + 6} = \frac25$ . Thales: $\frac{EO}{DC} = \frac{AO}{AC} = \frac25$ , jadi $EO = \frac25 \times 6 = 2.4$ .

14. Pada segitiga $BDC$ , dengan cara yang sama $\frac{BO}{BD} = \frac25$ dan $OF = \frac25 \times 6 = 2.4$ . Karena itu

EF = EO + OF = 4.8 = \frac{2 \times 4 \times 6}{4 + 6} :

yaitu rata-rata harmonik kedua alasnya — rata-rata perjalanan pulang pergi (Soal 61.1), yang tergambar dalam sebuah trapesium.

15. Aritmetika: $5$ ; geometri: $\sqrt{24} \approx 4.90$ ; harmonik: $4.8$ . Urutannya: $4.8 < 4.90\ldots < 5$ , yaitu harmonik $<$ geometri $<$ aritmetika — dengan kesamaannya hanya untuk alas yang sama. Pada gambarnya: garis tengahnya berukuran $5$ , garis sejajar yang melalui potongan diagonalnya $4.8$ , dan potongan kesebangunannya $\sqrt{24}$ , semuanya bertumpuk di antara alasnya dengan urutan itu. Ketaksamaannya sudah dibuktikan pada Soal 60.1 (geometri $\leq$ aritmetika, lewat lingkaran dan lewat kesamaan) dan Soal 61.1 (harmonik $\leq$ aritmetika); harmonik $\leq$ geometri menyusul dengan menggabungkan keduanya ( $H \times A = G^2$ , yang dibuktikan di sana juga).

Istilah yang didefinisikan dalam bab ini

Menskalakan sebuah bangun

Lihat semua 395 istilah di glosarium