Matematika Sekolah Dasar dan Menengah · Grades 1–9

67Fungsi Linear dan Fungsi Afin

“Tiga kilogram berharga tiga kali harga satu kilogram”: itulah perbandingan senilai, cara paling sederhana dua besaran dapat berhubungan. Fungsi linear adalah perbandingan senilai dalam bahasa fungsi; fungsi afin menambahkan sejumlah tetap sebagai awalannya. Grafiknya berupa garis lurus, dan membaca garis itulah keterampilan yang dibangun bab ini.

67.1 Perbandingan senilai dan fungsi linear

Definisi 67.1 (Fungsi linear)

Fungsi linear mengalikan setiap bilangan dengan sebuah bilangan tetap $a$ :

f(x) = a x .

Bilangan $a$ adalah koefisien $f$ . Dua besaran bersifat sebanding persis ketika yang satu merupakan fungsi linear dari yang lain.

Contoh 67.2

Kalau apel berharga $3$ tiap kilogram, harga $x$ kilogram adalah $f(x) = 3x$ : membeli dua kali lipat berharga dua kali lipat, dan harga $2.5$ kg adalah $f(2.5) = 7.5$ .

Sebaliknya, kalau sebuah fungsi linear memenuhi $f(4) = 10$ , maka $a = \frac{10}{4} = 2.5$ dan $f(x) = 2.5x$ : satu nilai menentukan sebuah fungsi linear sepenuhnya.

Proposisi 67.3 (Grafik fungsi linear)

Grafik $f(x) = ax$ adalah garis lurus yang melalui titik asal. Sebaliknya, setiap garis tidak tegak yang melalui titik asal adalah grafik sebuah fungsi linear.

Bukti. Diterima tanpa bukti pada tingkat ini. ∎

Dua fungsi linear: kedua grafiknya melalui titik asal; koefisien a adalah tinggi yang tercapai di x = 1. — Dua fungsi linear: kedua grafiknya melalui titik asal; koefisien $a$ adalah tinggi yang tercapai di $x = 1$ .

67.2 Fungsi afin

Definisi 67.4 (Fungsi afin)

Fungsi afin berbentuk

f(x) = a x + b ,

dengan $a$ dan $b$ bilangan tetap. Fungsi linear adalah keadaan khususnya ketika $b = 0$ ; fungsi tetap adalah keadaan $a = 0$ .

Contoh 67.5

Sebuah sanggar senam menarik biaya pendaftaran $20$ , lalu $5$ tiap kunjungan: biaya seluruhnya untuk $x$ kunjungan adalah $f(x) = 5x + 20$ . Biayanya tidak sebanding dengan banyaknya kunjungan (10 kunjungan tidak berharga dua kali lipat harga 5 kunjungan), tetapi tiap kunjungan tambahannya menambah jumlah yang sama, yaitu $5$ .

Proposisi 67.6 (Grafik fungsi afin)

Grafik $f(x) = ax + b$ adalah garis lurus:

$b = f(0)$ adalah titik potong sumbu- $y$ : garisnya memotong sumbu tegaknya di $(0, b)$ ;
$a$ adalah gradiennya: bergerak satu satuan ke kanan menggeser $a$ satuan ke atas (ke bawah kalau $a < 0$ ); fungsinya naik ketika $a > 0$ , turun ketika $a < 0$ ;
untuk dua masukan mana pun $u \neq v$ , $a = \dfrac{f(v) - f(u)}{v - u}$ .

Bukti bagian terakhirnya. $f(v) - f(u) = (av + b) - (au + b) = a(v - u)$ ; bagilah dengan $v - u$ . Sisanya diterima tanpa bukti pada tingkat ini (buku Sekolah Menengah memberi pembahasan lengkap tentang garis dan persamaannya). ∎

Membaca y = ax + b pada grafiknya: garisnya memotong sumbu-y di ketinggian b, lalu menanjak a untuk tiap langkah satu satuan ke kanan (di sini a = 1, b = 1). — Membaca $y = ax + b$ pada grafiknya: garisnya memotong sumbu- $y$ di ketinggian $b$ , lalu menanjak $a$ untuk tiap langkah satu satuan ke kanan (di sini $a = 1$ , $b = 1$ ).

Metode 67.7 (Mencari fungsi afin dari dua nilai)

Diberikan $f(u)$ dan $f(v)$ dengan $u \neq v$ :

hitunglah gradiennya $a = \dfrac{f(v) - f(u)}{v - u}$ ;
sulihkan salah satu dari kedua nilai yang diketahui ke dalam $f(x) = ax + b$ untuk mencari $b$ ;
periksalah dengan nilai yang satunya.

Contoh 67.8

Carilah fungsi afin dengan $f(2) = 7$ dan $f(5) = 16$ .

a = \frac{16 - 7}{5 - 2} = \frac93 = 3 ,

lalu $f(2) = 3 \times 2 + b = 7$ memberi $b = 1$ : jadi $f(x) = 3x + 1$ . Periksa: $f(5) = 15 + 1 = 16$ .

67.3 Persen

Proposisi 67.9 (Perubahan persen)

Menaikkan sebuah besaran sebesar $t\,\%$ mengalikannya dengan $1 + \dfrac{t}{100}$ ; menurunkannya sebesar $t\,\%$ mengalikannya dengan $1 - \dfrac{t}{100}$ . Perubahan persen adalah fungsi linear.

Bukti. Menaikkan $x$ sebesar $t\,\%$ berarti menambahkan $\frac{t}{100}\,x$ :

x + \frac{t}{100}\,x = \left(1 + \frac{t}{100}\right) x .

Perhitungan yang sama dengan tanda minus untuk penurunan. ∎

Contoh 67.10

Harga $80$ naik $15\%$ : harga barunya $80 \times 1.15 = 92$ . Harga $60$ turun $30\%$ : $60 \times 0.7 = 42$ .

Merangkai perubahan berarti mengalikan faktornya. Kenaikan $20\%$ yang disusul penurunan $20\%$ memberi $1.2 \times 0.8 = 0.96$ : yaitu penurunan $4\%$ secara keseluruhan, bukan kembali ke awalnya!

67.4 Latihan

Latihan 67.1 ★

Di antara fungsi ini, mana yang linear? mana yang afin? mana yang bukan keduanya?

f(x) = 4x, \qquad g(x) = 3x - 5, \qquad h(x) = x^2, \qquad k(x) = -\tfrac x2, \qquad m(x) = 7 .

Solusi

Solusi Latihan 67.1.

Linear: $f$ dan $k$ (berbentuk $ax$ ). Afin tetapi bukan linear: $g$ (gradiennya $3$ , titik potongnya $-5$ ) dan $m$ (tetap, gradiennya $0$ ). Bukan keduanya: $h$ , karena kuadratnya.

Latihan 67.2 ★

Misalkan $f(x) = 2x - 3$ . Hitunglah $f(0)$ , $f(4)$ , $f(-1)$ , lalu carilah bilangan $x$ yang membuat $f(x) = 9$ .

Solusi

Solusi Latihan 67.2.

$f(0) = -3$ ; $f(4) = 5$ ; $f(-1) = -5$ . Dan $f(x) = 9$ berarti $2x - 3 = 9$ , jadi $2x = 12$ dan $x = 6$ .

Latihan 67.3 ★

Sebuah fungsi linear memenuhi $f(6) = 15$ . Carilah koefisiennya, lalu hitunglah $f(10)$ dan $f(-2)$ .

Solusi

Solusi Latihan 67.3.

$a = \frac{15}{6} = 2.5$ , jadi $f(x) = 2.5x$ . Lalu $f(10) = 25$ dan $f(-2) = -5$ .

Latihan 67.4 ★

Gambarlah pada sistem koordinat yang sama grafik $f(x) = 2x$ , $g(x) = 2x + 3$ dan $h(x) = -x + 4$ . Apa yang dapat dikatakan tentang grafik $f$ dan $g$ ?

Solusi

Solusi Latihan 67.4.

$f$ melalui titik asal dengan gradien $2$ ; $g$ punya gradien yang sama tetapi memotong sumbu- $y$ di $3$ ; $h$ turun dari $(0, 4)$ dengan gradien $-1$ . Grafik $f$ dan $g$ berupa garis yang sejajar (gradiennya sama, titik potongnya berbeda).

Latihan 67.5 ★

Carilah fungsi afin yang memenuhi $f(1) = 5$ dan $f(3) = 11$ ; lalu fungsi yang memenuhi $g(0) = 4$ dan $g(2) = 0$ .

Solusi

Solusi Latihan 67.5.

Untuk $f$ : gradiennya $\frac{11 - 5}{3 - 1} = 3$ , lalu $5 = 3 \times 1 + b$ memberi $b = 2$ : jadi $f(x) = 3x + 2$ .

Untuk $g$ : gradiennya $\frac{0 - 4}{2 - 0} = -2$ , dan $g(0) = 4$ sudah menjadi titik potongnya: jadi $g(x) = -2x + 4$ .

Latihan 67.6 ★★

Hitunglah: harga sesudah kenaikan $25\%$ atas $120$ ; harga sesudah potongan $40\%$ atas $65$ ; harga aslinya kalau sebuah barang berharga $69$ sesudah potongan $25\%$ .

Solusi

Solusi Latihan 67.6.

Kenaikan $25\%$ : $120 \times 1.25 = 150$ .

Potongan $40\%$ : $65 \times 0.6 = 39$ .

Harga aslinya $p$ dengan $p \times 0.75 = 69$ : $p = \frac{69}{0.75} = 92$ .

Latihan 67.7 ★★

Paket telepon A berharga $10$ tiap bulan ditambah $0.05$ tiap menit percakapan; paket B berharga $25$ tiap bulan dengan percakapan tanpa batas.

Nyatakan biaya bulanan paket A sebagai fungsi banyaknya menit $x$ .
Mulai dari berapa menit tiap bulannya paket B lebih murah?

Solusi

Solusi Latihan 67.7.

1. $f(x) = 0.05x + 10$ .

2. Paket B lebih murah ketika $25 < 0.05x + 10$ , yaitu $15 < 0.05x$ , yaitu $x > 300$ . Mulai dari $301$ menit ( $5$ jam) tiap bulannya, paket B menang.

Latihan 67.8 ★★

Populasi $2000$ bakteri bertambah $10\%$ tiap jam.

Berapa bakterinya sesudah satu jam? Sesudah dua jam?
Jelaskan mengapa jawabannya sesudah dua jam bukan $2400$ .

Solusi

Solusi Latihan 67.8.

1. Sesudah satu jam: $2000 \times 1.1 = 2200$ . Sesudah dua jam: $2200 \times 1.1 = 2420$ .

2. Kenaikan yang kedua berlaku atas $2200$ , bukan atas $2000$ : tumbuh $10\%$ dua kali mengalikan dengan $1.1^2 = 1.21$ , yaitu kenaikan $21\%$ , bukan $20\%$ .

Latihan 67.9 ★★

Grafik sebuah fungsi afin melalui titik $(2, 3)$ dan $(6, 1)$ .

Hitunglah gradiennya. Apakah fungsinya naik atau turun?
Berikan bentuknya, lalu hitunglah masukan yang keluarannya $0$ .

Solusi

Solusi Latihan 67.9.

1. Gradiennya: $\frac{1 - 3}{6 - 2} = \frac{-2}{4} = -0.5$ : jadi fungsinya turun.

2. $f(x) = -0.5x + b$ dengan $f(2) = 3$ : $-1 + b = 3$ , jadi $b = 4$ dan $f(x) = -0.5x + 4$ . Keluaran $0$ : $-0.5x + 4 = 0$ memberi $x = 8$ .

Latihan 67.10 ★★★

Sebuah toko mula-mula menaikkan sebuah harga sebesar $t\,\%$ , lalu menurunkan harga barunya sebesar $t\,\%$ .

Tunjukkan bahwa harga akhirnya sama dengan harga aslinya dikalikan $1 - \dfrac{t^2}{10000}$ .
Simpulkan bahwa harga akhirnya selalu lebih rendah daripada harga aslinya (untuk $0 < t \leq 100$ ), lalu carilah perubahan persen keseluruhannya untuk $t = 10$ .

Solusi

Solusi Latihan 67.10.

1. Kedua perubahannya mengalikan harganya dengan

\left(1 + \frac{t}{100}\right)\left(1 - \frac{t}{100}\right) = 1 - \frac{t^2}{10000}

(kesamaan ketiga dengan $a = 1$ , $b = \frac{t}{100}$ ).

2. Untuk $0 < t \leq 100$ , berlaku $\frac{t^2}{10000} > 0$ , jadi faktornya kurang dari $1$ : harga akhirnya lebih rendah daripada harga aslinya. Untuk $t = 10$ : faktornya $1 - \frac{100}{10000} = 0.99$ , yaitu penurunan keseluruhan $1\%$ .

67.5 Soal: Dua termometer

Soal 67.1

Soal akhir pekan — Celsius, Fahrenheit dan fungsi afin dalam kehidupan sehari-hari: satu suhu terbaca sama pada kedua skalanya, dan gradien yang tetap adalah tanda tangan kelurusan

Orang Amerika mendengar “ $68$ derajat” lalu berpakaian tipis; orang Eropa mendengarnya lalu menyambar mantel. Kedua termometer dunia dihubungkan sebuah fungsi afin — dan membangunnya dari dua kenyataan persis keterampilan pada Metode 67.7. Soal ini melukis pengubahannya, mencari suhu yang mengerikan tempat kedua skalanya sepakat, lalu membaca taksi, jangkrik dan lilin dengan sepasang kacamata yang sama, dan berakhir dengan ujian yang mengenali kelurusan itu sendiri.

Bagian I — Membangun pengubahannya. Dua kenyataan memancang skala Fahrenheit: air membeku pada $32\,^\circ$ F dan mendidih pada $212\,^\circ$ F (yaitu pada $0\,^\circ$ C dan $100\,^\circ$ C).

Carilah fungsi afin $F = f(C)$ yang mengubah Celsius menjadi Fahrenheit (Metode 67.7 dengan nilai $f(0) = 32$ dan $f(100) = 212$ ).
Ubahlah menjadi Fahrenheit: hari yang sejuk $20\,^\circ$ C; suhu tubuh $37\,^\circ$ C; dinginnya $-10\,^\circ$ C.
Selesaikan untuk $C$ guna membangun pengubahan baliknya, lalu pakailah pada $50\,^\circ$ F dan pada $98.6\,^\circ$ F.
Apakah $f$ fungsi linear (Definisi 67.1)? Ujilah tanda-tandanya: berapa $f(0)$ , dan apakah melipatduakan bacaan Celsiusnya melipatduakan bacaan Fahrenheitnya? Simpulkan dengan kata yang tepat (Definisi 67.4).
Teka-teki klasiknya: adakah suhu yang terbaca bilangan yang sama pada kedua skalanya? Selesaikan $f(x) = x$ , lalu uraikan arti penyelesaianmu pada grafik $f$ (garis yang mana yang dipotong grafiknya di situ?).

Bagian II — Fungsi afin di alam liar.

Taksi A menarik $3$ euro ditambah $1.50$ tiap km; taksi B menarik $2$ euro tiap km secara rata. Tulislah kedua fungsi harganya lalu bandingkan keduanya untuk perjalanan $4$ km dan perjalanan $8$ km.
Carilah jarak titik impas yang membuat kedua taksinya berbiaya sama, lalu uraikan keadaannya pada sebuah grafik (dua garis — apa yang terjadi pada titik potongnya, sebelum titik itu, dan sesudahnya?).
Patokan kasar para naturalis: seekor jangkrik mengerik kira-kira $N = 7T - 30$ kali tiap menit pada suhu $T\,^\circ$ C. Berapa kerikan pada malam $20\,^\circ$ C? Kamu membilang $82$ kerikan dalam semenit: suhu berapa yang diumumkan jangkriknya?
Sebuah telepon yang dibeli $600$ euro kehilangan nilai $15$ euro tiap bulan: tulislah fungsi nilainya $v(t)$ , carilah kapan teleponnya bernilai $240$ euro, dan kapan modelnya mengatakan teleponnya tidak bernilai apa-apa. Apakah rumusnya masih berarti sesudah tanggal itu?
Perpindahan persen adalah fungsi linear: $+25\,\%$ adalah perkalian dengan $1.25$ , dan $-20\,\%$ dengan $0.8$ (Proposisi 67.9). Susunlah keduanya: apa yang dilakukan kenaikan $+25\,\%$ yang disusul potongan $-20\,\%$ terhadap sebuah harga? Jelaskan keajaiban kecilnya, lalu bandingkan dengan Latihan 67.10.

Bagian III — Gradiennya adalah segalanya.

Sebuah lilin berukuran $20$ cm ketika dinyalakan dan $17$ cm setengah jam kemudian. Dengan mengandaikan pelelehan yang afin, carilah $h(t)$ (tinggi dalam cm, $t$ dalam menit), lalu ramalkan kapan lilinnya mati.
Dua pesepeda menempuh jalan yang sama: jarak yang pertama adalah $d_1(t) = 24t$ (km sesudah $t$ jam), yang kedua $d_2(t) = 10 + 18t$ . Siapa yang memulai dengan keunggulan awal, siapa yang mengayuh lebih cepat, dan pada waktu serta kilometer berapa yang pertama menyusul yang kedua?
Misalkan $f(x) = 2x + 3$ dan $g(x) = -0.5x + 7$ . Hitunglah $f(x) + g(x)$ lalu periksalah bahwa hasilnya afin lagi. Berapa gradien dan titik potong sebuah jumlah, secara umum?
Bahaslah selengkapnya persamaan $mx + p = 0$ : berapa penyelesaiannya ketika $m \neq 0$ (dan yang mana)? Ketika $m = 0$ dan $p \neq 0$ ? Ketika $m = 0$ dan $p = 0$ ? (Tiap keadaannya punya kisah grafiknya: di mana garis bergradien $m$ memotong sumbu mendatarnya?)
Ujian kesegarisannya: apakah titik $(1, 5)$ , $(3, 9)$ , $(7, 17)$ terletak pada satu garis lurus? Bagaimana dengan $(1, 5)$ , $(3, 9)$ , $(6, 16)$ ? Hitunglah laju perubahannya antara tiap pasangnya lalu putuskan. Nyatakan pesan moralnya: laju perubahan yang tetap adalah tanda tangan fungsi afin — grafik yang melengkung mengubah lajunya, dan mengukur itu adalah kisah untuk buku Sekolah Menengah.

Solusi

Solusi Soal 67.1.

1. Gradiennya: $\frac{f(100) - f(0)}{100 - 0} = \frac{212 - 32}{100} = 1.8$ ; titik potongnya $f(0) = 32$ . Karena itu

f(C) = 1.8\,C + 32 .

2. $f(20) = 68\,^\circ$ F (yaitu hari sejuk yang terkenal); $f(37) = 98.6\,^\circ$ F; $f(-10) = 14\,^\circ$ F.

3. Dari $F = 1.8C + 32$ : $C = \frac{F - 32}{1.8}$ . Lalu $50\,^\circ$ F $\to \frac{18}{1.8} = 10\,^\circ$ C, dan $98.6\,^\circ$ F $\to \frac{66.6}{1.8} = 37\,^\circ$ C.

4. $f(0) = 32 \neq 0$ , dan $f(20) = 68$ bukan dua kali $f(10) = 50$ : jadi bukan linear. Grafiknya berupa garis lurus yang melewatkan titik asalnya: $f$ bersifat afin, bukan linear.

5. $1.8x + 32 = x$ memberi $0.8x = -32$ , jadi $x = -40$ : pada empat puluh di bawah nol, kedua termometernya membaca $-40$ . Pada grafiknya, garis $f$ memotong garis diagonal $y = x$ tepat di situ.

6. $p_A(k) = 1.5k + 3$ dan $p_B(k) = 2k$ . Untuk $4$ km: $9$ euro melawan $8$ : jadi B lebih murah. Untuk $8$ km: $15$ melawan $16$ : jadi A lebih murah.

7. $1.5k + 3 = 2k$ memberi $k = 6$ : pada enam kilometer keduanya berbiaya $12$ euro. Secara grafik, garis B (yang melalui titik asal, lebih curam) bermula di bawah garis A lalu memotongnya di $(6, 12)$ : B menang untuk perjalanan pendek, A untuk yang panjang.

8. $N = 7 \times 20 - 30 = 110$ kerikan tiap menit. Dari $82 = 7T - 30$ : $T = \frac{112}{7} = 16\,^\circ$ C.

9. $v(t) = 600 - 15t$ . Bernilai $240$ : $600 - 15t = 240$ , jadi $t = 24$ bulan. Bernilai $0$ : $t = 40$ bulan. Melewati $40$ bulan rumusnya menjadi negatif — tetapi nilai sebuah telepon berhenti di nol: setiap model afin punya daerah tempat model itu masuk akal.

10. Dengan menyusunnya: $\times 1.25$ lalu $\times 0.8$ mengalikan dengan $1.25 \times 0.8 = 1$ : jadi harganya kembali persis ke awalnya. Bukan keajaiban: persennya bekerja atas acuan yang berbeda (potongannya berlaku atas harga yang sudah dinaikkan), dan di sini pengalinya kebetulan saling meniadakan — dan kisah umumnya, beserta kerugian bawaannya $1 - \frac{t^2}{10\,000}$ , adalah Latihan 67.10.

11. Gradiennya: $\frac{17 - 20}{30} = -0.1$ cm tiap menit; jadi $h(t) = 20 - 0.1t$ . Lilinnya mati pada $h(t) = 0$ : $t = 200$ menit — yaitu tiga jam dua puluh menit cahaya.

12. Yang kedua memulai $10$ km di depan (titik potongnya); yang pertama lebih cepat ( $24 > 18$ km/jam). Penyusulannya: $24t = 10 + 18t$ memberi $6t = 10$ , jadi $t = \frac53$ jam $= 1$ jam $40$ menit, pada kilometer $24 \times \frac53 = 40$ .

13. $f(x) + g(x) = (2 - 0.5)x + (3 + 7) = 1.5x + 10$ : jadi afin, dengan gradien berupa jumlah kedua gradiennya dan titik potong berupa jumlah kedua titik potongnya — yang jelas terlihat dengan mengumpulkan suku sejenis pada $(mx + p) + (m'x + p')$ .

14. Kalau $m \neq 0$ : tepat satu penyelesaian, $x = -\frac pm$ — garis yang tidak mendatar memotong sumbunya sekali. Kalau $m = 0$ , $p \neq 0$ : tidak ada penyelesaiannya — garis mendatar di atas atau di bawah sumbunya tidak pernah menyentuhnya. Kalau $m = 0$ , $p = 0$ : setiap $x$ adalah penyelesaiannya — garisnya adalah sumbunya.

15. Tripel pertamanya: lajunya $\frac{9 - 5}{3 - 1} = 2$ dan $\frac{17 - 9}{7 - 3} = 2$ : sama, jadi titiknya segaris (pada $y = 2x + 3$ ). Tripel keduanya: $\frac{9-5}{2} = 2$ tetapi $\frac{16 - 9}{3} = \frac73 \neq 2$ : jadi tidak segaris. Fungsi afin persis fungsi yang laju perubahannya tetap — satu bilangan, yaitu gradiennya, menceritakan seluruh kisahnya; untuk kurva, lajunya sendiri berubah dari titik ke titik, dan mengejarnya membawa kita ke turunan, di buku Sekolah Menengah.

Istilah yang didefinisikan dalam bab ini

Lihat semua 395 istilah di glosarium