Matematika Sekolah Dasar dan Menengah · Grades 1–9

37Bilangan Cacah

Semua hal dalam matematika bermula dari membilang. Bab ini meninjau kembali cara bilangan cacah ditulis, dibandingkan dan digabungkan — serta memeriksa dengan teliti pembagian, operasi yang memberikan hasil bagi dan sisa sekaligus.

37.1 Menulis dan membandingkan bilangan cacah

Definisi 37.1 (Nilai tempat)

Cara kita menulis bilangan memakai sepuluh angka ( $0$ sampai $9$ ), dan nilai sebuah angka bergantung pada tempatnya: pada $5\,208$ , angka $5$ membilang ribuan, angka $2$ membilang ratusan, angka $0$ membilang puluhan (tidak ada) dan angka $8$ membilang satuan:

5\,208 = 5 \times 1000 + 2 \times 100 + 0 \times 10 + 8 .

Tabel nilai tempat dari 5\,208. Angka 0 itu penting: tanpa dia, angka 5 dan 2 akan tergelincir ke kolom yang salah dan bilangannya terbaca 528. — Tabel nilai tempat dari $5\,208$ . Angka $0$ itu penting: tanpa dia, angka $5$ dan $2$ akan tergelincir ke kolom yang salah dan bilangannya terbaca $528$ .

Metode 37.2 (Membandingkan dua bilangan cacah)

Bilangan yang angkanya lebih banyak adalah yang lebih besar ( $1\,203 > 989$ ).
Jika banyak angkanya sama, bandingkan angka demi angka dari kiri; perbedaan pertama yang menentukan: $6\,742 > 6\,715$ karena pada tempat puluhan, $4 > 1$ .

Lambangnya adalah $<$ (“lebih kecil daripada”) dan $>$ (“lebih besar daripada”); ujung yang kecil menunjuk ke bilangan yang kecil.

Contoh 37.3

Urutkan dari yang terkecil ke yang terbesar: $908$ ; $89$ ; $1\,001$ ; $980$ . Mulailah dari banyaknya angka: $89$ (dua angka) di depan, $1\,001$ (empat angka) di belakang. Antara $908$ dan $980$ : angka ratusannya sama, $9$ , lalu puluhannya $0 < 8$ , jadi $908 < 980$ . Jawaban akhirnya:

89 < 908 < 980 < 1\,001 .

Bilangan tinggal pada sebuah garis: makin kecil berarti makin ke kiri. Setiap tanda di sini bernilai 100. — Bilangan tinggal pada sebuah garis: makin kecil berarti makin ke kiri. Setiap tanda di sini bernilai $100$ .

37.2 Penjumlahan, pengurangan, perkalian

Contoh 37.4 (Perhitungan bersusun)

Untuk menjumlahkan atau mengurangkan, luruskan satuan di bawah satuan, puluhan di bawah puluhan, lalu kerjakan dari kanan ke kiri sambil menyimpan bila perlu:

\begin{array}{r} 4\,5\,7 \\ +\ 2\,8\,6 \\ \hline 7\,4\,3 \end{array} \qquad\qquad \begin{array}{r} 6\,0\,3 \\ -\ 1\,4\,7 \\ \hline 4\,5\,6 \end{array}

Pada penjumlahannya: $7 + 6 = 13$ , tulis $3$ , simpan $1$ ; lalu $5 + 8 + 1 = 14$ , tulis $4$ , simpan $1$ ; lalu $4 + 2 + 1 = 7$ . Periksa pengurangannya dengan menjumlahkan kembali: $456 + 147 = 603$ .

Catatan 37.5 (Kosakata)

Hasil sebuah penjumlahan disebut jumlah; hasil pengurangan, selisih; hasil perkalian, hasil kali; hasil pembagian, hasil bagi. Bilangan yang digabungkan disebut suku (untuk $+$ , $-$ ) atau faktor (untuk $\times$ ).

Contoh 37.6 (Menghitung dengan cerdik)

Menukar urutan suku atau faktor sering menghemat pekerjaan:

17 + 58 + 3 = (17 + 3) + 58 = 20 + 58 = 78 ,

25 \times 17 \times 4 = (25 \times 4) \times 17 = 100 \times 17 = 1700 .

37.3 Pembagian

Teorema 37.7 (Pembagian Euklides)

Diberikan dua bilangan cacah $a$ (bilangan yang dibagi) dan $b \neq 0$ (pembagi), ada tepat satu cara untuk menulis

a = b \times q + r \qquad\text{dengan}\qquad 0 \leq r < b .

Bilangan $q$ disebut hasil bagi dan $r$ disebut sisa pembagian $a$ oleh $b$ .

Bukti. Diterima tanpa bukti pada tingkat ini. ∎

Contoh 37.8

Bagilah $137$ dengan $4$ , selangkah demi selangkah.

Berapa kali $4$ masuk ke dalam $13$ ? Tiga kali ( $4 \times 3 = 12$ ), sisanya $13 - 12 = 1$ .
Turunkan angka $7$ : berapa kali $4$ masuk ke dalam $17$ ? Empat kali ( $4 \times 4 = 16$ ), sisanya $1$ .

Jadi $q = 34$ dan $r = 1$ :

137 = 4 \times 34 + 1, \qquad\text{dan memang } 0 \leq 1 < 4 .

Periksa: $4 \times 34 = 136$ , dan $136 + 1 = 137$ .

Membagi 137 dengan 4: kamu dapat memuat 34 kelompok penuh berisi 4 (mencapai 136), dan 1 tersisa — sisanya selalu lebih kecil daripada pembaginya. — Membagi $137$ dengan $4$ : kamu dapat memuat $34$ kelompok penuh berisi $4$ (mencapai $136$ ), dan $1$ tersisa — sisanya selalu lebih kecil daripada pembaginya.

Definisi 37.9 (Habis dibagi)

Ketika sisanya $0$ , kita mengatakan bahwa $a$ habis dibagi oleh $b$ : misalnya $135$ habis dibagi $5$ karena $135 = 5 \times 27 + 0$ .

Metode 37.10 (Soal cerita dengan pembagian)

Setelah menghitung $a = bq + r$ , kembalilah selalu ke pertanyaannya:

“Berapa kotak/regu/halaman yang penuh?” — jawabannya adalah hasil bagi $q$ ;
“Berapa yang tersisa?” — jawabannya adalah sisa $r$ ;
“Berapa kotak yang diperlukan untuk semuanya?” — kalau $r > 0$ , satu lebih daripada hasil baginya: $q + 1$ .

Contoh 37.11

$137$ murid pergi bertamasya dengan bus berisi $40$ tempat duduk. Pembagiannya: $137 = 40 \times 3 + 17$ . Tiga bus mengangkut $120$ murid, dan $17$ murid tersisa — mereka juga perlu bus! Jadi $4$ bus diperlukan, walaupun hasil baginya $3$ .

37.4 Latihan

Latihan 37.1 ★

Tulislah dengan angka: “tiga ribu empat puluh tujuh”; “dua puluh ribu lima ratus”; “seratus empat”. Lalu tulislah $60\,013$ dengan kata.

Solusi

Solusi Latihan 37.1.

$3\,047$ ; $20\,500$ ; $104$ . $60\,013$ : “enam puluh ribu tiga belas”.

Latihan 37.2 ★

Pada bilangan $47\,209$ : berapa angka ratusannya? Angka satuannya? Apa yang dibilang angka $4$ ? Tulislah bilangan itu sebagai jumlah kelipatan $1$ , $10$ , $100$ , … seperti pada Definisi 37.1.

Solusi

Solusi Latihan 37.2.

Angka ratusan: $2$ ; angka satuan: $9$ ; angka $4$ membilang puluhan ribu. Uraiannya:

47\,209 = 4 \times 10\,000 + 7 \times 1000 + 2 \times 100 + 0 \times 10 + 9 .

Latihan 37.3 ★

Salin dan lengkapi dengan $<$ atau $>$ :

507 \;?\; 570, \qquad 1\,099 \;?\; 989, \qquad 23\,456 \;?\; 23\,465, \qquad 9\,999 \;?\; 10\,000 .

Solusi

Solusi Latihan 37.3.

$507 < 570$ (puluhan: $0 < 7$ ); $1\,099 > 989$ (empat angka mengalahkan tiga); $23\,456 < 23\,465$ (puluhan: $5 < 6$ ); $9\,999 < 10\,000$ (empat angka melawan lima).

Latihan 37.4 ★

Urutkan dari yang terkecil ke yang terbesar: $2\,043$ ; $978$ ; $2\,304$ ; $2\,034$ ; $1\,001$ .

Solusi

Solusi Latihan 37.4.

Menurut banyaknya angka, $978$ dan $1\,001$ berada di depan ketiga bilangan empat angka yang diawali $2$ ; di antara ketiganya, bandingkan puluhan dan satuannya: $2\,034 < 2\,043 < 2\,304$ . Urutan akhirnya:

978 < 1\,001 < 2\,034 < 2\,043 < 2\,304 .

Latihan 37.5 ★

Hitunglah secara bersusun: $348 + 576$ ; $805 - 268$ ; $307 \times 26$ . Periksalah pengurangannya dengan penjumlahan.

Solusi

Solusi Latihan 37.5.

$348 + 576 = 924$ ; $805 - 268 = 537$ (periksa: $537 + 268 = 805$ ); $307 \times 26 = 307 \times 20 + 307 \times 6 = 6\,140 + 1\,842 = 7\,982$ .

Latihan 37.6 ★

Hitunglah dengan cerdik, dengan mengelompokkan suku atau faktornya:

38 + 45 + 12 + 5, \qquad 2 \times 83 \times 50, \qquad 4 \times 78 \times 25 .

Solusi

Solusi Latihan 37.6.

$38 + 45 + 12 + 5 = (38 + 12) + (45 + 5) = 50 + 50 = 100$ .

$2 \times 83 \times 50 = (2 \times 50) \times 83 = 100 \times 83 = 8\,300$ .

$4 \times 78 \times 25 = (4 \times 25) \times 78 = 100 \times 78 = 7\,800$ .

Latihan 37.7 ★

Untuk setiap pembagian, sebutkan hasil bagi dan sisanya, lalu tulislah kesamaan $a = b \times q + r$ :

95 \div 7, \qquad 230 \div 6, \qquad 504 \div 8 .

Solusi

Solusi Latihan 37.7.

$95 = 7 \times 13 + 4$ (hasil bagi $13$ , sisa $4$ ).

$230 = 6 \times 38 + 2$ (hasil bagi $38$ , sisa $2$ ).

$504 = 8 \times 63 + 0$ (hasil bagi $63$ , sisa $0$ : $504$ habis dibagi $8$ ).

Latihan 37.8 ★

Tanpa membagi, jelaskan mengapa kesamaan $173 = 8 \times 20 + 13$ bukan pembagian Euklides $173$ oleh $8$ , lalu carilah hasil bagi dan sisa yang benar.

Solusi

Solusi Latihan 37.8.

Kesamaannya benar, tetapi sisa $13$ tidak lebih kecil daripada pembagi $8$ , jadi itu bukan pembagian Euklides. Keluarkan satu $8$ lagi dari sisanya: $173 = 8 \times 21 + 5$ , dengan $0 \leq 5 < 8$ : hasil bagi $21$ , sisa $5$ .

Latihan 37.9 ★★

Telur dikemas dalam kotak berisi $12$ .

Sebuah peternakan punya $2\,000$ telur. Berapa kotak penuh yang dapat diisinya, dan berapa telur yang tersisa?
Sebuah toko roti memerlukan $150$ telur. Berapa kotak yang harus dibelinya?

Solusi

Solusi Latihan 37.9.

1. $2\,000 = 12 \times 166 + 8$ : peternakan itu mengisi $166$ kotak penuh dan $8$ telur tersisa.

2. $150 = 12 \times 12 + 6$ : dua belas kotak hanya memuat $144$ telur, belum cukup. Toko roti itu harus membeli $13$ kotak.

Latihan 37.10 ★★

Hari ini hari Selasa. Hari apa nanti dalam $100$ hari? (Satu minggu ada $7$ hari: bagilah lalu pikirkan sisanya.)

Solusi

Solusi Latihan 37.10.

$100 = 7 \times 14 + 2$ : seratus hari adalah $14$ minggu penuh ditambah $2$ hari. Empat belas minggu kemudian hari Selasa lagi; dua hari sesudah Selasa adalah hari Kamis.

Latihan 37.11 ★★

Pada sebuah pembagian oleh $9$ , hasil baginya $56$ dan sisanya sebesar mungkin. Berapa bilangan yang dibagi itu?

Solusi

Solusi Latihan 37.11.

Sisa terbesar yang mungkin pada pembagian oleh $9$ adalah $8$ (sisanya harus lebih kecil daripada pembaginya). Jadi bilangan yang dibagi itu

9 \times 56 + 8 = 504 + 8 = 512 .

Latihan 37.12 ★★★

Aku bilangan tiga angka. Angka ratusanku dua kali angka satuanku, angka puluhanku $0$ , dan jumlah angkaku $9$ . Siapakah aku? (Bernalarlah selangkah demi selangkah, lalu periksa.)

Solusi

Solusi Latihan 37.12.

Misalkan angkanya $h$ (ratusan), $0$ (puluhan), $u$ (satuan). Kita tahu $h = 2 \times u$ dan $h + 0 + u = 9$ , jadi $2u + u = 9$ , yang memberi $3u = 9$ , $u = 3$ , dan $h = 6$ . Bilangannya $603$ . Periksa: $6$ adalah dua kali $3$ , angka puluhannya $0$ , dan $6 + 0 + 3 = 9$ .

37.5 Soal: Gauss kecil dan jumlah seratus bilangan yang pertama

Soal 37.1

Soal akhir pekan — menjumlahkan $1 + 2 + 3 + \dots + 100$ dalam sepuluh detik, dan bilangan segitiga

Sebuah cerita yang terkenal: untuk menyibukkan kelasnya, seorang guru meminta murid-muridnya menjumlahkan semua bilangan dari $1$ sampai $100$ . Seorang anak laki-laki menulis $5\,050$ di batu tulisnya hampir seketika — Carl Friedrich Gauss, umur sembilan tahun, yang kelak tumbuh menjadi salah satu di antara matematikawan terbesar sepanjang masa. Rahasianya tidak lain adalah menghitung dengan cerdik (Contoh 37.6): mengelompokkan sukunya sehingga setiap kelompok menjadi mudah. Soal ini menemukan kembali triknya, membuatnya berhasil dalam segala keadaan, dan memperlihatkan betapa sering jumlah semacam itu muncul dalam kehidupan sehari-hari.

Bagian I — Pasangan Gauss.

Hitunglah $1 + 2 + 3 + 4 + 5$ dengan mengelompokkan sukunya secara cerdik.
Untuk $1 + 2 + 3 + \dots + 10$ : pasangkan suku pertama dengan suku terakhir ( $1 + 10$ ), suku kedua dengan suku kedua dari belakang ( $2 + 9$ ), dan seterusnya. Berapa nilai setiap pasangan? Ada berapa pasangan? Selesaikan perhitungannya.
Cara yang sama untuk $1 + 2 + \dots + 20$ : berapa nilai setiap pasangan, ada berapa pasangan, berapa jumlahnya?
Sekarang jumlah sang guru, $1 + 2 + \dots + 100$ : jelaskan mengapa pasangan $1 + 100$ , $2 + 99$ , $3 + 98, \dots$ semuanya bernilai sama, dan mengapa banyaknya tepat $50$ , dengan pasangan terakhir $50 + 51$ .
Tulislah jawaban Gauss sebagai satu perkalian saja, lalu hitunglah.

Bagian II — Trik yang tidak pernah gagal.

Cobalah pemasangan itu pada $1 + 2 + \dots + 9$ : kali ini satu bilangan tertinggal tanpa pasangan. Yang mana? Pasangkan di sekelilingnya lalu hitunglah jumlahnya.
Inilah bentuk trik yang berhasil baik ketika banyaknya suku genap maupun ganjil: tulislah jumlahnya dua kali, sekali maju dan sekali mundur, satu baris di bawah yang lain,

$\begin{array}{ccccccc} 1 & + & 2 & + & \dots & + & 9 \\ 9 & + & 8 & + & \dots & + & 1 \end{array}$

lalu jumlahkan kolom demi kolom. Berapa nilai setiap kolom? Ada berapa kolom? Jelaskan mengapa jumlah kedua baris itu $9 \times 10 = 90$ , lalu simpulkan bahwa $1 + 2 + \dots + 9 = 45$ — jawaban yang sama seperti pada pertanyaan 6.
Pakailah trik dua baris itu untuk menghitung $1 + 2 + \dots + 50$ , lalu $1 + 2 + \dots + 200$ .
Hitunglah jumlah seratus bilangan genap yang pertama, $2 + 4 + 6 + \dots + 200$ . (Bandingkan setiap sukunya dengan suku pada jumlah Gauss: tidak perlu pemasangan yang baru.)
Hitunglah $101 + 102 + \dots + 200$ , dengan memakai dua jumlah yang sudah kamu ketahui dan satu pengurangan.

Bagian III — Bilangan segitiga di mana-mana. Jumlah $1$ , $3$ , $6$ , $10$ , $15, \dots$ dari deret $1 + 2 + \dots + n$ disebut bilangan segitiga, karena bilangan itu membilang benda yang ditumpuk membentuk segitiga.

Delapan orang teman bertemu, dan masing-masing berjabat tangan tepat sekali dengan setiap temannya yang lain. Jelaskan mengapa banyaknya jabat tangan adalah $7 + 6 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1$ , lalu hitunglah.
Seorang pedagang menyusun limas segitiga dari kaleng: $12$ kaleng di baris paling bawah, $11$ di baris berikutnya, dan seterusnya sampai satu kaleng di puncaknya. Berapa kaleng yang ia perlukan? (Pakailah trik pada pertanyaan 7.)
Gambarlah jumlah $1 + 2 + 3 + 4$ sebagai tangga persegi: satu persegi di kolom pertama, dua di kolom kedua, tiga di kolom ketiga, empat di kolom keempat. Tunjukkan pada gambarmu bahwa dua tangga semacam itu, salah satunya dibalik ke bawah, cocok tepat menjadi satu persegi panjang dengan $4$ baris berisi $5$ persegi — lalu jelaskan mengapa ini adalah trik dua baris pada pertanyaan 7, yang digambar alih-alih ditulis.
Sebuah jam berdentang $1$ kali pada pukul satu, $2$ kali pada pukul dua, …, $12$ kali pada pukul dua belas. Berapa dentang seluruhnya selama dua belas jam itu? Dan selama satu hari penuh?
Satu lagi untuk Gauss: $5\,050$ detik — apakah itu lebih atau kurang daripada satu setengah jam? Ubahlah menjadi jam, menit dan detik, dengan memakai pembagian Euklides (Teorema 37.7) dua kali.

Solusi

Solusi Soal 37.1.

1. Misalnya $(1 + 4) + (2 + 3) + 5 = 5 + 5 + 5 = 15$ .

2. Setiap pasangan bernilai $11$ : $1 + 10$ , $2 + 9$ , $3 + 8$ , $4 + 7$ , $5 + 6$ . Itu $5$ pasangan (sepuluh bilangan, dua per pasangan), jadi jumlahnya $5 \times 11 = 55$ .

3. Pasangannya bernilai $21$ ( $1 + 20$ , $2 + 19, \dots$ ), dan banyaknya $10$ : $10 \times 21 = 210$ .

4. Pada setiap pasangan, ketika bilangan pertama bertambah $1$ bilangan kedua berkurang $1$ , jadi jumlahnya tidak pernah berubah: $1 + 100 = 2 + 99 = 3 + 98 = \dots = 101$ . Seratus bilangan itu membentuk $50$ pasangan (masing-masing dua bilangan), dengan pasangan paling dalam $50 + 51 = 101$ .

5. $50$ pasangan bernilai $101$ :

1 + 2 + \dots + 100 = 50 \times 101 = 5\,050 .

6. Dengan sembilan bilangan, bilangan tengahnya, $5$ , tidak punya pasangan. Di sekelilingnya: $1 + 9 = 2 + 8 = 3 + 7 = 4 + 6 = 10$ , empat pasangan. Jumlahnya: $4 \times 10 + 5 = 45$ .

7. Setiap kolom bernilai $1 + 9 = 2 + 8 = \dots = 9 + 1 = 10$ , dan ada $9$ kolom: kedua baris itu bersama-sama bernilai $9 \times 10 = 90$ . Tetapi kedua baris itu adalah jumlah yang sama yang ditulis dua kali, jadi satu salinannya bernilai setengahnya: $1 + 2 + \dots + 9 = 90 \div 2 = 45$ . Tidak ada bilangan yang tertinggal tanpa pasangan — pasangannya persis di bawahnya.

8. Untuk $1$ sampai $50$ : $50$ kolom bernilai $51$ , jumlah gandanya $50 \times 51 = 2\,550$ , jadi jumlahnya $2\,550 \div 2 = 1\,275$ . Untuk $1$ sampai $200$ : $200$ kolom bernilai $201$ , jumlah gandanya $40\,200$ , jumlahnya $20\,100$ .

9. Setiap bilangan genap adalah dua kali sebuah bilangan pada jumlah Gauss: $2 = 2 \times 1$ , $4 = 2 \times 2$ , …, $200 = 2 \times 100$ . Jadi seluruh jumlahnya dua kali jumlah Gauss:

2 + 4 + \dots + 200 = 2 \times 5\,050 = 10\,100 .

10. Bilangan dari $101$ sampai $200$ adalah bilangan dari $1$ sampai $200$ dengan bilangan $1$ sampai $100$ dibuang:

101 + 102 + \dots + 200 = 20\,100 - 5\,050 = 15\,050 .

11. Bariskan teman-teman itu. Yang pertama berjabat $7$ tangan (satu dengan tiap orang lainnya). Yang kedua sudah menyapa yang pertama, jadi ia berjabat $6$ tangan yang baru; yang ketiga, $5$ ; dan seterusnya, yang ketujuh berjabat $1$ dan yang kedelapan tidak ada lagi yang baru. Setiap jabat tangan terhitung tepat sekali:

7 + 6 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1 = 28 \text{ jabat tangan}

(pasangkan di sekeliling tengahnya: $(7+1) + (6+2) + (5+3) + 4 = 8 + 8 + 8 + 4 = 28$ ).

12. $1 + 2 + \dots + 12$ : dua belas kolom bernilai $13$ , jumlah gandanya $12 \times 13 = 156$ , jadi $156 \div 2 = 78$ kaleng.

13. Tangga $1 + 2 + 3 + 4$ persegi, ditambah tangga yang sama yang dibalik ke bawah, mengisi persis persegi panjang $4$ baris dan $5$ kolom: setiap baris persegi panjang itu adalah satu kolom trik dua baris (satu anak tangga yang naik dilengkapi satu anak tangga yang turun, $1 + 4$ , $2 + 3$ , $3 + 2$ , $4 + 1$ — selalu $5$ ). Jadi dua kali jumlahnya adalah $4 \times 5 = 20$ persegi, dan $1 + 2 + 3 + 4 = 10$ : gambarnya adalah pertanyaan 7.

14. $1 + 2 + \dots + 12 = 78$ dentang dalam dua belas jam (pertanyaan 12), jadi $78 \times 2 = 156$ dentang dalam satu hari penuh.

15. Bagilah dengan $60$ : $5\,050 = 60 \times 84 + 10$ , jadi $5\,050$ detik adalah $84$ menit dan $10$ detik. Bagilah menitnya dengan $60$ : $84 = 60 \times 1 + 24$ , jadi $84$ menit adalah $1$ jam $24$ menit. Seluruhnya: $1$ jam $24$ menit $10$ detik — sedikit kurang daripada satu setengah jam ( $1$ jam $30$ menit).

Istilah yang didefinisikan dalam bab ini

Lihat semua 395 istilah di glosarium