Matematika Sekolah Dasar dan Menengah · Grades 1–9

57Perhitungan Aljabar dan Persamaan

Kelas 7 memperkenalkan huruf lalu menyederhanakan bentuk yang sederhana (Bab 48). Bab ini menambahkan dua keterampilan yang membuat aljabar menjadi kuat: menjabarkan hasil kali tanda kurung, dan menyelesaikan persamaan — mencari bilangan yang bersembunyi di balik hurufnya.

57.1 Menjabarkan

Teorema 57.1 (Sifat distributif tunggal dan ganda)

Untuk semua bilangan:

k(a + b) = ka + kb, \qquad (a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd .

Bukti. Aturan yang pertama adalah Teorema 45.6 (termasuk tandanya: $k$ dan sukunya boleh negatif, Bab 54). Untuk yang kedua, terapkan aturan pertamanya dua kali, dengan memperlakukan $(c + d)$ sebagai satu bilangan:

(a + b)(c + d) = a(c + d) + b(c + d) = ac + ad + bc + bd . \qedhere

∎

Contoh 57.2

Perhatikan tandanya pada tiap sukunya:

\begin{align*} 3(2x - 5) &= 6x - 15, \\ -2(4x - 7) &= -8x + 14 && \text{(minus membalik kedua tandanya)}, \\ (x + 3)(x + 5) &= x^2 + 5x + 3x + 15 = x^2 + 8x + 15, \\ (2x - 1)(x - 4) &= 2x^2 - 8x - x + 4 = 2x^2 - 9x + 4 . \end{align*}

Sifat distributif ganda sebagai luas: persegi panjang (a+b) × (c+d) terbelah menjadi empat persegi panjang yang lebih kecil — satu untuk tiap suku penjabarannya. — Sifat distributif ganda sebagai luas: persegi panjang $(a+b) \times (c+d)$ terbelah menjadi empat persegi panjang yang lebih kecil — satu untuk tiap suku penjabarannya.

Metode 57.3 (Menjabarkan dan menyederhanakan)

Jabarkan setiap hasil kalinya, dengan menulis tiap suku beserta tandanya;
kumpulkan suku sejenisnya ( $x^2$ dengan $x^2$ , $x$ dengan $x$ , bilangan dengan bilangan);
periksalah dengan sebuah nilai: sulihkan misalnya $x = 2$ pada bentuk aslinya dan pada hasilnya — hasil yang sama menangkap sebagian besar kekeliruan.

57.2 Menyelesaikan persamaan

Definisi 57.4 (Persamaan)

Persamaan adalah kesamaan yang memuat sebuah bilangan yang belum diketahui, yang ditulis $x$ (atau huruf apa pun). Menyelesaikannya berarti mencari semua nilai $x$ yang membuat kesamaannya benar — yaitu penyelesaiannya.

Teorema 57.5 (Aturan keseimbangan)

Sebuah persamaan tetap punya penyelesaian yang persis sama ketika:

bilangan yang sama ditambahkan pada (atau dikurangkan dari) kedua ruasnya;
kedua ruasnya dikalikan (atau dibagi) dengan bilangan yang sama dan bukan nol.

Bukti. Diterima tanpa bukti pada tingkat ini. ∎

Persamaan adalah neraca yang seimbang: apa pun yang dilakukan pada satu piringnya harus dilakukan pada piring yang lain, dan keseimbangannya — yaitu kesamaannya — tetap bertahan.

Metode 57.6 (Menyelesaikan persamaan berderajat satu)

Jabarkan lalu sederhanakan tiap ruasnya kalau perlu;
tambahkan atau kurangkan pada kedua ruasnya untuk mengumpulkan suku $x$ pada satu ruas dan bilangan biasanya pada ruas yang lain;
sederhanakan, lalu bagilah kedua ruasnya dengan koefisien $x$ ;
periksalah dengan menyulihkan nilai yang ditemukan ke dalam persamaan aslinya.

Contoh 57.7

Selesaikan $7x - 5 = 4x + 16$ :

\begin{align*} 7x - 5 &= 4x + 16 \\ 7x - 4x &= 16 + 5 && \text{(tambahkan $5$, kurangkan $4x$, pada kedua ruasnya)} \\ 3x &= 21 \\ x &= 7 && \text{(bagilah kedua ruasnya dengan 3).} \end{align*}

Periksa: ruas kirinya $7 \times 7 - 5 = 44$ ; ruas kanannya $4 \times 7 + 16 = 44$ . Penyelesaiannya adalah $7$ .

Contoh 57.8 (Dengan tanda kurung dan bilangan negatif)

Selesaikan $3(x - 4) = 5 - 2(x + 1)$ :

\begin{align*} 3x - 12 &= 5 - 2x - 2 && \text{(jabarkan kedua ruasnya)} \\ 3x - 12 &= 3 - 2x && \text{(sederhanakan)} \\ 5x &= 15 && \text{(tambahkan $2x + 12$ pada kedua ruasnya)} \\ x &= 3 . \end{align*}

Periksa: $3(3 - 4) = -3$ dan $5 - 2(3+1) = 5 - 8 = -3$ . Penyelesaiannya: $3$ .

Metode 57.9 (Menyelesaikan soal dengan persamaan)

Pilihlah bilangan yang belum diketahuinya: “misalkan $x$ adalah …” (besaran yang ditanyakan, atau besaran lain yang lebih sederhana yang berkaitan dengannya);
terjemahkan ceritanya menjadi sebuah persamaan;
selesaikan persamaannya;
tafsirkan: jawablah pertanyaan aslinya dalam satu kalimat, beserta satuannya, lalu periksalah jawabannya terhadap ceritanya.

Contoh 57.10

Lukas $4$ tahun lebih tua daripada adik perempuannya; bersama-sama umur mereka berjumlah $26$ . Misalkan $x$ umur adiknya; maka umur Lukas adalah $x + 4$ , dan

x + (x + 4) = 26 \ \Longrightarrow\ 2x + 4 = 26 \ \Longrightarrow\ 2x = 22 \ \Longrightarrow\ x = 11 .

Adiknya berumur $11$ , Lukas berumur $15$ . Periksa: $11 + 15 = 26$ dan $15 - 11 = 4$ .

57.3 Urutan dan pertidaksamaan

Proposisi 57.11 (Operasi dan urutan)

Menambahkan bilangan yang sama pada kedua ruas sebuah pertidaksamaan mempertahankannya; mengalikan kedua ruasnya dengan bilangan positif mempertahankannya; mengalikan dengan bilangan negatif membalikkannya:

2 < 5 \ \text{ tetapi }\ (-1) \times 2 > (-1) \times 5 .

Bukti. Diterima tanpa bukti pada tingkat ini. ∎

Contoh 57.12

Selesaikan $5 - 2x \leq 11$ : kurangkan $5$ pada kedua ruasnya, $-2x \leq 6$ ; bagilah dengan $-2$ lalu balikkan: $x \geq -3$ . Semua bilangan yang lebih besar daripada atau sama dengan $-3$ adalah penyelesaiannya — persamaan biasanya punya satu penyelesaian, sedangkan pertidaksamaan punya setengah garis penuh penyelesaian.

57.4 Latihan

Latihan 57.1 ★

Jabarkan lalu sederhanakan:

5(2x + 3), \qquad -3(4x - 1), \qquad 2(3x - 2) + 4(x + 5).

Solusi

Solusi Latihan 57.1.

$5(2x + 3) = 10x + 15$ .

$-3(4x - 1) = -12x + 3$ .

$2(3x - 2) + 4(x + 5) = 6x - 4 + 4x + 20 = 10x + 16$ .

Latihan 57.2 ★

Jabarkan lalu sederhanakan:

(x + 2)(x + 7), \qquad (3x + 1)(2x - 5), \qquad (x - 4)(x - 6).

Solusi

Solusi Latihan 57.2.

$(x+2)(x+7) = x^2 + 7x + 2x + 14 = x^2 + 9x + 14$ .

$(3x+1)(2x-5) = 6x^2 - 15x + 2x - 5 = 6x^2 - 13x - 5$ .

$(x-4)(x-6) = x^2 - 6x - 4x + 24 = x^2 - 10x + 24$ .

Latihan 57.3 ★

Apakah $x = 3$ penyelesaian $4x - 5 = 7$ ? Penyelesaian $2x + 1 = x + 4$ ? Penyelesaian $x^2 = 6x - 9$ ? (Sulihkan lalu bandingkan kedua ruasnya.)

Solusi

Solusi Latihan 57.3.

$4 \times 3 - 5 = 7$ : ya. $2 \times 3 + 1 = 7$ dan $3 + 4 = 7$ : ya. $3^2 = 9$ dan $6 \times 3 - 9 = 9$ : ya — $x = 3$ menyelesaikan ketiganya.

Latihan 57.4 ★

Selesaikan, disertai pemeriksaan:

x + 9 = 4, \qquad 5x = -35, \qquad \frac{x}{3} = 8, \qquad 2x - 7 = 13 .

Solusi

Solusi Latihan 57.4.

$x + 9 = 4$ : $x = -5$ (periksa: $-5 + 9 = 4$ ).

$5x = -35$ : $x = -7$ .

$\frac x3 = 8$ : $x = 24$ .

$2x - 7 = 13$ : $2x = 20$ , $x = 10$ (periksa: $20 - 7 = 13$ ).

Latihan 57.5 ★

Selesaikan:

6x + 5 = 2x + 25, \qquad 9 - 4x = x - 11, \qquad 3(x + 2) = 2x + 11 .

Solusi

Solusi Latihan 57.5.

$6x + 5 = 2x + 25$ : $4x = 20$ , jadi $x = 5$ .

$9 - 4x = x - 11$ : $20 = 5x$ , jadi $x = 4$ .

$3(x + 2) = 2x + 11$ : $3x + 6 = 2x + 11$ , jadi $x = 5$ .

Latihan 57.6 ★

Selesaikan $4(2x - 3) = 5(x + 6)$ , dengan menjabarkannya lebih dahulu, lalu periksalah penyelesaianmu.

Solusi

Solusi Latihan 57.6.

$8x - 12 = 5x + 30$ , jadi $3x = 42$ dan $x = 14$ . Periksa: $4(28 - 3) = 100$ dan $5(14 + 6) = 100$ .

Latihan 57.7 ★

Terjemahkan lalu selesaikan: “tiga kali sebuah bilangan, dikurangi $8$ , sama dengan $19$ ”; “dua kali sebuah bilangan yang ditambah $5$ sama dengan bilangan itu yang ditambah $12$ ”.

Solusi

Solusi Latihan 57.7.

“ $3x - 8 = 19$ ”: $3x = 27$ , $x = 9$ .

“ $2x + 5 = x + 12$ ”: $x = 7$ .

Latihan 57.8 ★★

Panjang sebuah persegi panjang $5$ cm lebih besar daripada lebarnya, dan kelilingnya $58$ cm. Misalkan $x$ lebarnya: tulislah sebuah persamaan, selesaikan, lalu sebutkan kedua ukurannya.

Solusi

Solusi Latihan 57.8.

Lebarnya $x$ , panjangnya $x + 5$ ; kelilingnya $2\bigl(x + (x + 5)\bigr) = 4x + 10 = 58$ , jadi $4x = 48$ dan $x = 12$ : lebarnya $12$ cm, panjangnya $17$ cm (periksa: $2 \times (12 + 17) = 58$ ).

Latihan 57.9 ★★

Tiga bilangan bulat berurutan berjumlah $141$ . Sebutlah yang di tengah $n$ lalu carilah ketiganya.

Solusi

Solusi Latihan 57.9.

Bilangannya adalah $n - 1$ , $n$ , $n + 1$ dengan jumlah $3n = 141$ , jadi $n = 47$ : bilangannya adalah $46$ , $47$ , $48$ .

Latihan 57.10 ★★

Selesaikan pertidaksamaannya lalu uraikan penyelesaiannya:

3x + 4 > 19, \qquad 7 - 2x \geq 1, \qquad 5(x - 1) < 2x + 7 .

Solusi

Solusi Latihan 57.10.

$3x + 4 > 19$ : $3x > 15$ , jadi $x > 5$ .

$7 - 2x \geq 1$ : $-2x \geq -6$ , membaginya dengan $-2$ membalikkannya: $x \leq 3$ .

$5(x-1) < 2x + 7$ : $5x - 5 < 2x + 7$ , jadi $3x < 12$ dan $x < 4$ .

Latihan 57.11 ★★

Mia punya tabungan $140$ euro dan menambah $15$ euro tiap bulan; Tono punya $200$ euro dan menambah $10$ euro tiap bulan. Sesudah berapa bulan tabungan Mia benar-benar lebih banyak daripada tabungan Tono? (Susunlah sebuah pertidaksamaan.)

Solusi

Solusi Latihan 57.11.

Sesudah $n$ bulan, Mia punya $140 + 15n$ dan Tono punya $200 + 10n$ . Mia unggul ketika

140 + 15n > 200 + 10n \ \Longleftrightarrow\ 5n > 60 \ \Longleftrightarrow\ n > 12 :

mulai dari bulan yang ke- $13$ .

Latihan 57.12 ★★★

Selesaikan persamaan $\dfrac{x + 3}{4} = \dfrac{2x - 1}{5}$ . (Kalikan kedua ruasnya dengan $20$ , yaitu penyebut bersamanya, lalu lanjutkan seperti biasa; periksalah penyelesaianmu pada persamaan aslinya.)

Solusi

Solusi Latihan 57.12.

Kalikan kedua ruasnya dengan $20$ :

5(x + 3) = 4(2x - 1) \ \Longrightarrow\ 5x + 15 = 8x - 4 \ \Longrightarrow\ 19 = 3x \ \Longrightarrow\ x = \frac{19}{3}.

Periksa: $\frac{19/3 + 3}{4} = \frac{28/3}{4} = \frac{28}{12} = \frac73$ , dan $\frac{2 \times 19/3 - 1}{5} = \frac{35/3}{5} = \frac{35}{15} = \frac73$ . Sama: penyelesaiannya $\frac{19}{3}$ .

57.5 Soal: Kesamaan istimewa dan tangga bilangan ganjil

Soal 57.1

Soal akhir pekan — $(a+b)^2$ , $(a-b)^2$ , $(a+b)(a-b)$ , dan jumlah $1 + 3 + 5 + \dots + (2n-1) = n^2$

Tiga penjabaran muncul begitu sering sehingga aljabar hafal di luar kepala: ketiganya disebut kesamaan istimewa. Soal ini menurunkannya dari sifat distributif ganda (Teorema 57.1), mengubahnya menjadi kekuatan super untuk berhitung di kepala, memakainya untuk membuktikan kenyataan yang indah tentang bilangan ganjil, lalu berakhir dengan menyelesaikan persamaan jenis yang sama sekali baru: persamaan yang memuat kuadrat.

Bagian I — Ketiga kesamaannya.

Jabarkan $(a + b)^2 = (a + b)(a + b)$ lalu sederhanakan, untuk membuktikan

$(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 .$
Buktikan dengan cara yang sama kedua saudaranya:

$(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2, \qquad (a + b)(a - b) = a^2 - b^2 .$
Gambarlah persegi bersisi $a + b$ , belahlah tiap sisinya menjadi $a$ dan $b$ , lalu potonglah perseginya menjadi empat keping. Keping yang mana pada kesamaan pertamanya yang diwakili tiap bagian gambarnya?
Berhitung di kepala: pakailah kesamaannya untuk menghitung, tanpa menyusun perkalian apa pun,

$101^2, \qquad 99^2, \qquad 49 \times 51 .$
Sebuah jebakan klasik: Zahra menulis “ $(a + b)^2 = a^2 + b^2$ ”. Ujilah rumusnya dengan $a = 3$ , $b = 4$ , lalu jelaskan pada gambar pertanyaan 3 keping yang mana persisnya yang dilupakan rumusnya.

Bagian II — Tangga bilangan ganjil.

Hitunglah $1$ , lalu $1 + 3$ , lalu $1 + 3 + 5$ , lalu $1 + 3 + 5 + 7$ , lalu $1 + 3 + 5 + 7 + 9$ . Apa yang kamu perhatikan pada hasilnya?
Jelaskan mengapa bilangan ganjil yang ke- $n$ adalah $2n - 1$ (periksa: $n = 1, 2, 3$ memberi $1, 3, 5$ ).
Pakailah salah satu kesamaan Bagian I untuk menjabarkan lalu menyederhanakan $(n + 1)^2 - n^2$ . Apa hubungan hasilnya dengan pertanyaan 7?
Pertanyaan 8 berkata: untuk berpindah dari persegi bersisi $n$ ke persegi bersisi $n + 1$ , kita menambahkan tepat bilangan ganjil berikutnya berupa sel satuan — yaitu tepi berbentuk L sepanjang dua sisinya beserta pojoknya. Bermula dari $1 = 1^2$ lalu menumbuhkan perseginya selapis demi selapis, jelaskan mengapa

$1 + 3 + 5 + \dots + (2n - 1) = n^2 :$

jumlah $n$ bilangan ganjil pertamanya adalah persegi yang ke- $n$ .
Simpulkan, tanpa menjumlahkannya satu demi satu: nilai $1 + 3 + 5 + \dots + 99$ ; dan berapa bilangan ganjil, mulai dari $1$ , yang berjumlah tepat $400$ .

Bagian III — Persamaan yang memuat kuadrat.

Kenalilah sebuah kesamaan istimewa pada $x^2 + 6x + 9$ , lalu selesaikan persamaan $x^2 + 6x + 9 = 0$ .
Jelaskan, dengan memakai aturan tanda dan jarak pada Teorema 54.1, mengapa hasil kali dua bilangan dapat bernilai nol hanya kalau salah satu faktornya nol. Pakailah ini untuk menyelesaikan $(x - 2)(x + 5) = 0$ .
Selesaikan $x^2 = 49$ dengan memindahkan semuanya ke satu ruas lalu memfaktorkan $x^2 - 49$ dengan kesamaan yang ketiga. Berapa penyelesaian yang dipunyai persamaan ini — dan apa bedanya dengan setiap persamaan yang sudah diselesaikan pada bab ini sejauh ini?
Pada Latihan 57.3 kamu memeriksa bahwa $x = 3$ adalah penyelesaian $x^2 = 6x - 9$ . Tunjukkan bahwa itulah satu-satunya: bawalah semuanya ke satu ruas, kenalilah sebuah kesamaan, lalu simpulkan.
Penutupnya: hitunglah $2026^2 - 2025^2$ di kepalamu, lalu jelaskan dengan sebuah kesamaan mengapa selisih dua kuadrat yang berurutan selalu sama dengan jumlah kedua bilangannya — yang tidak lain adalah pertanyaan 8 sekali lagi.

Solusi

Solusi Soal 57.1.

1. Sifat distributif ganda (Teorema 57.1) dengan $c = a$ , $d = b$ :

(a + b)(a + b) = a^2 + ab + ba + b^2 = a^2 + 2ab + b^2 ,

karena $ab$ dan $ba$ adalah hasil kali yang sama.

2. Penjabaran yang sama, dengan memperhatikan tandanya:

(a - b)(a - b) = a^2 - ab - ba + b^2 = a^2 - 2ab + b^2 ,

(a + b)(a - b) = a^2 - ab + ba - b^2 = a^2 - b^2 :

kali ini suku silangnya $-ab$ dan $+ba$ saling meniadakan, bukan berlipat dua.

3. Persegi bersisi $a + b$ terpotong menjadi empat keping: persegi $a \times a$ (yaitu $a^2$ ), persegi $b \times b$ (yaitu $b^2$ ), dan dua persegi panjang $a \times b$ (bersama-sama menjadi $2ab$ ). Kesamaan $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$ menyatakan bahwa keempat luasnya memenuhi persegi besarnya — itulah gambar sifat distributif ganda dengan kedua sisinya dibelah dengan cara yang sama.

4. Dengan kesamaannya:

\begin{align*} 101^2 &= (100 + 1)^2 = 10\,000 + 2 \times 100 + 1 = 10\,201, \\ 99^2 &= (100 - 1)^2 = 10\,000 - 200 + 1 = 9\,801, \\ 49 \times 51 &= (50 - 1)(50 + 1) = 50^2 - 1^2 = 2\,499 . \end{align*}

5. Untuk $a = 3$ , $b = 4$ : $(3 + 4)^2 = 49$ tetapi $3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25$ . Rumus Zahra melupakan kedua persegi panjang $a \times b$ pada gambarnya — yaitu $2ab = 24$ yang hilang, dan memang $25 + 24 = 49$ .

6. $1$ ; $1 + 3 = 4$ ; $1 + 3 + 5 = 9$ ; $1 + 3 + 5 + 7 = 16$ ; $1 + 3 + 5 + 7 + 9 = 25$ . Hasilnya adalah kuadrat sempurna $1^2, 2^2, 3^2, 4^2, 5^2$ .

7. Bilangan ganjilnya bermula di $1$ lalu naik dengan langkah $2$ : yang ke- $n$ tercapai sesudah $n - 1$ langkah sebesar $2$ dari $1$ , jadi nilainya $1 + 2(n - 1) = 2n - 1$ . Periksa: $n = 1, 2, 3$ memberi $1, 3, 5$ .

8. Menurut kesamaan yang pertama,

(n + 1)^2 - n^2 = n^2 + 2n + 1 - n^2 = 2n + 1 :

selisih antara dua kuadrat yang berurutan persis bilangan ganjil yang ke- $(n+1)$ (pertanyaan 7 dengan $n + 1$ menggantikan $n$ : $2(n+1) - 1 = 2n + 1$ ).

9. Bangunlah perseginya satu demi satu. Mulailah dengan satu sel: $1 = 1^2$ . Untuk berpindah dari persegi bersisi $1$ ke persegi bersisi $2$ , tambahkan $2 \times 1 + 1 = 3$ sel (pertanyaan 8): $1 + 3 = 2^2$ . Untuk berpindah ke sisi $3$ , tambahkan $2 \times 2 + 1 = 5$ sel: $1 + 3 + 5 = 3^2$ . Tiap bilangan ganjil yang baru persis lapisan berbentuk L yang melengkapi persegi berikutnya, jadi sesudah menambahkan $n$ bilangan ganjil pertamanya persegi bersisi $n$ menjadi lengkap: $1 + 3 + \dots + (2n - 1) = n^2$ .

10. Bilangan ganjil dari $1$ sampai $99$ adalah $50$ yang pertama ( $2n - 1 = 99$ memberi $n = 50$ ), jadi

1 + 3 + 5 + \dots + 99 = 50^2 = 2\,500 .

Dan $1 + 3 + \dots + (2n - 1) = 400 = 20^2$ menuntut $n = 20$ : dua puluh bilangan ganjil pertamanya ( $1$ sampai $39$ ) berjumlah $400$ .

11. $x^2 + 6x + 9 = x^2 + 2 \times 3 \times x + 3^2 = (x + 3)^2$ : kesamaan pertama dengan $a = x$ , $b = 3$ . Jadi persamaannya berbunyi $(x + 3)^2 = 0$ . Kuadrat bernilai nol hanya ketika bilangannya sendiri nol (Teorema 54.1: bilangan yang bukan nol punya jarak yang bukan nol, jadi kuadratnya pun punya jarak yang bukan nol). Karena itu $x + 3 = 0$ : satu-satunya penyelesaiannya adalah $x = -3$ .

12. Menurut Teorema 54.1, jarak sebuah hasil kali adalah hasil kali kedua jaraknya. Kalau kedua faktornya bukan nol, kedua jaraknya bukan nol, jadi jarak hasil kalinya pun bukan nol: hasil kalinya tidak dapat bernilai $0$ . Karena itu hasil kali yang nol memaksa sedikitnya satu faktornya nol. Untuk $(x - 2)(x + 5) = 0$ : entah $x - 2 = 0$ entah $x + 5 = 0$ , yang memberi dua penyelesaian $x = 2$ dan $x = -5$ .

13. $x^2 = 49$ menjadi $x^2 - 49 = 0$ , dan kesamaan yang ketiga memfaktorkannya:

x^2 - 49 = x^2 - 7^2 = (x - 7)(x + 7) = 0 .

Menurut pertanyaan 12, $x = 7$ atau $x = -7$ : dua penyelesaian. Setiap persamaan yang diselesaikan sejauh ini pada bab ini berderajat satu dan punya tepat satu penyelesaian; kuadrat di dalam persamaan dapat menghasilkan dua.

14. Bawalah semuanya ke ruas kiri: $x^2 - 6x + 9 = 0$ , lalu kenalilah kesamaan yang kedua: $x^2 - 2 \times 3 \times x + 3^2 = (x - 3)^2$ . Jadi persamaannya adalah $(x - 3)^2 = 0$ , yang memaksa $x - 3 = 0$ (seperti pada pertanyaan 11): $x = 3$ adalah satu-satunya penyelesaiannya — pemeriksaan Latihan 57.3 menemukannya, dan pemfaktorannya membuktikan bahwa tidak ada yang lain.

15. Menurut kesamaan yang ketiga,

2026^2 - 2025^2 = (2026 - 2025)(2026 + 2025) = 1 \times 4051 = 4\,051 .

Secara umum $(n+1)^2 - n^2 = (n + 1 - n)(n + 1 + n) = 2n + 1$ : selisih dua kuadrat yang berurutan adalah jumlah kedua bilangannya — yaitu $2n + 1$ yang sama seperti pada pertanyaan 8, yang kini diperoleh dari kesamaan ketiganya, bukan dari yang pertama.

Istilah yang didefinisikan dalam bab ini

Persamaan

Lihat semua 395 istilah di glosarium