Matematika Sekolah Dasar dan Menengah · Grades 1–9

32Pembagian dan Kelipatan

Pembagian bersusun yang dipelajari pada Bab 23 mendapat dua peningkatan: pembagi dua angka, dan hasil bagi yang berlanjut melewati titik — $3 \div 4$ akhirnya punya jawaban, $0.75$ . Bab ini ditutup dengan kelipatan, pembagi dan jalan pintas keterbagian yang pertama.

32.1 Membagi dengan bilangan dua angka

Metode 32.1 (Pembagi dua angka)

Caranya sama seperti sebelumnya, dengan satu keterampilan tambahan: menerka berapa kali pembaginya muat. Tulislah dulu tabel kecil kelipatan pembaginya. Untuk $986 \div 23$ (kelipatan 23: 23, 46, 69, 92, 115, 138, 161, 184, 207):

$98$ puluhan: $23 \times 4 = 92$ muat, $23 \times 5 = 115$ tidak: angkanya $4$ , sisanya $6$ ;
turunkan angka $6$ : menjadi $66$ : $23 \times 2 = 46$ muat: angkanya $2$ , sisanya $20$ ;
hasil baginya $42$ , sisanya $20$ . Periksa: $23 \times 42 + 20 = 966 + 20 = 986$ .

32.2 Hasil bagi desimal

Contoh 32.2 (Pembagian yang menolak berhenti pada sisa)

Bagilah $3$ pizza kepada $4$ anak: $3 \div 4$ punya hasil bagi $0$ dan sisa $3$ — tidak berguna! Lanjutkan pembagiannya melewati titik:

$3$ satuan $= 30$ persepuluhan; $30 \div 4$ : $7$ persepuluhan, sisanya $2$ persepuluhan;
$2$ persepuluhan $= 20$ perseratusan; $20 \div 4 = 5$ perseratusan, sisanya $0$ .

Jadi $3 \div 4 = 0.75$ : setiap anak mendapat $0.75$ pizza — tiga perempat, seperti yang sudah diketahui oleh bahasa pecahan (Proposisi 31.3).

Metode 32.3 (Melanjutkan pembagian melewati titik)

Ketika satuannya habis dan masih ada sisa:

tulislah titik desimal pada hasil baginya;
tambahkan sebuah nol pada sisanya (satuan menjadi persepuluhan, persepuluhan menjadi perseratusan …) lalu teruskan membagi;
berhentilah ketika sisanya $0$ — atau ketika angkanya mulai berulang selamanya, seperti $1 \div 3 = 0.333\dots$ : lalu berikan nilai yang dibulatkan.

Contoh 32.4

$27 \div 6$ : hasil bagi $4$ , sisa $3$ ; pasang titiknya; $30$ persepuluhan $\div\ 6 = 5$ : jadi $27 \div 6 = 4.5$ . $22 \div 8$ : $2$ , sisa $6$ ; lalu $60 \div 8 = 7$ sisa $4$ ; lalu $40 \div 8 = 5$ : jadi $22 \div 8 = 2.75$ .

32.3 Kelipatan dan pembagi

Definisi 32.5 (Kelipatan, pembagi)

Kelipatan $6$ adalah tabelnya yang dilanjutkan selamanya: $0, 6, 12, 18, 24, \dots$ Ketika $24$ merupakan kelipatan $6$ , kita juga mengatakan bahwa $6$ adalah pembagi dari $24$ , atau bahwa $24$ habis dibagi $6$ : pembagian $24 \div 6$ tidak menyisakan apa-apa.

Proposisi 32.6 (Jalan pintas keterbagian)

Tanpa membagi, sebuah bilangan habis dibagi:

oleh $2$ jika angka terakhirnya $0$ , $2$ , $4$ , $6$ atau $8$ (yaitu bilangan genap);
oleh $5$ jika angka terakhirnya $0$ atau $5$ ;
oleh $10$ jika angka terakhirnya $0$ ;
oleh $3$ jika jumlah angka-angkanya habis dibagi $3$ (misalnya $741$ : $7 + 4 + 1 = 12$ , habis dibagi — dan memang $741 = 3 \times 247$ ).

Bukti. Diterima tanpa bukti pada tingkat ini. ∎

Bilangan 1 sampai 30: kelipatan 2 dan kelipatan 3 membentuk pola — dan bilangan yang memakai kedua tanda (6, 12, 18, 24, 30) tepatnya adalah kelipatan 6. — Bilangan $1$ sampai $30$ : kelipatan $2$ dan kelipatan $3$ membentuk pola — dan bilangan yang memakai kedua tanda ( $6$ , $12$ , $18$ , $24$ , $30$ ) tepatnya adalah kelipatan $6$ .

Contoh 32.7

Apakah $534$ habis dibagi $2$ ? Berakhir dengan $4$ : ya. Oleh $5$ ? Tidak. Oleh $3$ ? $5 + 3 + 4 = 12$ : ya. Jadi $534$ juga habis dibagi $6$ (oleh $2$ dan oleh $3$ ) — periksa: $534 = 6 \times 89$ .

32.4 Latihan

Latihan 32.1 ★

Hitunglah pembagian bersusunnya (tulis tabel kelipatannya dulu): $851 \div 23$ ; $704 \div 32$ .

Solusi

Solusi Latihan 32.1.

$851 \div 23$ : kelipatan $23$ : $23, 46, 69, 92, 115, 138, 161, 184, 207$ . Lalu $85 \div 23$ : $3$ kali ( $69$ ), sisa $16$ ; turunkan angka $1$ : $161 \div 23 = 7$ tepat. Hasil bagi $37$ , sisa $0$ ( $23 \times 37 = 851$ ).

$704 \div 32$ : $70 \div 32$ : $2$ kali ( $64$ ), sisa $6$ ; turunkan angka $4$ : $64 \div 32 = 2$ . Hasil bagi $22$ , sisa $0$ .

Latihan 32.2 ★

Hitunglah hasil bagi desimal yang tepat: $9 \div 2$ ; $27 \div 4$ ; $33 \div 5$ ; $21 \div 8$ .

Solusi

Solusi Latihan 32.2.

$9 \div 2 = 4.5$ ; $27 \div 4 = 6.75$ ; $33 \div 5 = 6.6$ ; $21 \div 8 = 2.625$ .

Latihan 32.3 ★

Empat orang teman membagi rata tagihan di restoran sebesar $54$ . Berapa yang dibayar masing-masing? (Lanjutkan melewati titik.)

Solusi

Solusi Latihan 32.3.

$54 \div 4 = 13.5$ : masing-masing membayar $13.50$ .

Latihan 32.4 ★

Hitunglah $10 \div 3$ , dilanjutkan tiga angka melewati titik. Apa yang kamu perhatikan? Berikan nilainya yang dibulatkan ke perseratusan.

Solusi

Solusi Latihan 32.4.

$10 \div 3 = 3.333\dots$ : angka $3$ berulang selamanya — pembagiannya tidak pernah berhenti. Dibulatkan ke perseratusan: $3.33$ .

Latihan 32.5 ★

Sebutkan: kelipatan $7$ sampai $70$ ; pembagi dari $18$ ; dan pembagi dari $24$ .

Solusi

Solusi Latihan 32.5.

Kelipatan $7$ sampai $70$ : $7, 14, 21, 28, 35, 42, 49, 56, 63, 70$ . Pembagi dari $18$ : $1, 2, 3, 6, 9, 18$ . Pembagi dari $24$ : $1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24$ .

Latihan 32.6 ★

Habis dibagi $2$ ? oleh $5$ ? oleh $10$ ? oleh $3$ ? Ujilah setiap jalan pintas pada: $470$ ; $735$ ; $8\,001$ ; $1\,314$ .

Solusi

Solusi Latihan 32.6.

$470$ : habis dibagi $2$ (berakhir $0$ ), oleh $5$ , oleh $10$ ; jumlah angkanya $11$ : tidak habis dibagi $3$ .

$735$ : berakhir $5$ : habis dibagi $5$ , tidak oleh $2$ maupun $10$ ; jumlah angkanya $15$ : habis dibagi $3$ .

$8\,001$ : ganjil; jumlah angkanya $9$ : hanya habis dibagi $3$ .

$1\,314$ : genap; jumlah angkanya $9$ : habis dibagi $2$ dan $3$ (karena itu juga oleh $6$ ), tidak oleh $5$ .

Latihan 32.7 ★

Carilah semua bilangan antara $60$ dan $80$ yang habis dibagi $3$ dan oleh $5$ . (Keterbagian tunggal apa yang digabungkan oleh keduanya?)

Solusi

Solusi Latihan 32.7.

Habis dibagi $3$ dan $5$ berarti habis dibagi $15$ : antara $60$ dan $80$ , yaitu bilangan $60$ dan $75$ .

Latihan 32.8 ★

Sehelai pita sepanjang $7.2$ m dipotong menjadi $6$ bagian yang sama panjang. Berapa panjang tiap bagian? (Bagilah bilangan desimal dengan bilangan bulat: bagilah meternya dulu, lalu persepuluhannya.)

Solusi

Solusi Latihan 32.8.

$7.2 \div 6 = 1.2$ : setiap bagian panjangnya $1.2$ m (periksa: $1.2 \times 6 = 7.2$ ).

Latihan 32.9 ★

$1\,000$ kelereng dikemas ke dalam kantong berisi $24$ . Berapa kantong yang penuh, dan berapa kelereng yang tersisa? (Pembagi dua angka.)

Solusi

Solusi Latihan 32.9.

$1\,000 = 24 \times 41 + 16$ : empat puluh satu kantong penuh, dan $16$ kelereng tersisa.

Latihan 32.10 ★★

Dapatkah $5$ orang teman membagi rata $7$ batang cokelat itu tanpa sisa? Berikan bagian masing-masing sebagai bilangan desimal. Pertanyaan yang sama untuk $7$ teman yang membagi $5$ batang — apa yang berbeda?

Solusi

Solusi Latihan 32.10.

$7 \div 5 = 1.4$ : masing-masing dari $5$ teman itu mendapat $1.4$ batang — mungkin dilakukan dengan memotong batang menjadi persepuluhan. Untuk $5 \div 7$ : pembagiannya memberi $0.714285\dots$ , yang tidak pernah berhenti — tidak ada bagian desimal yang tepat; hanya pecahan $\frac57$ yang menamainya dengan tepat.

Latihan 32.11 ★★

Dengan jalan pintas jumlah angka, carilah angka $d$ terkecil yang membuat $52d$ (bilangan tiga angka yang berakhir dengan $d$ ) habis dibagi $3$ . Lalu carilah semua angka $d$ yang demikian.

Solusi

Solusi Latihan 32.11.

Jumlah angkanya: $5 + 2 + d = 7 + d$ . Habis dibagi $3$ ketika $7 + d$ sama dengan $9$ , $12$ atau $15$ : $d = 2$ , $5$ atau $8$ . Yang terkecil adalah $d = 2$ (memberi $522 = 3 \times 174$ ).

Istilah yang didefinisikan dalam bab ini

Kelipatan, pembagi

Lihat semua 395 istilah di glosarium