Matematika Sekolah Dasar dan Menengah · Grades 1–9

31Pecahan sebagai Bilangan

Pecahan bukan sekadar gambar sepotong pai: ia benar-benar sebuah bilangan, yang punya tempat pada garis bilangan — kadang tempat yang persis sama dengan bilangan desimal. Bab ini menghubungkan kedua dunia itu. (Aturan lengkap hitung pecahan menyusul pada Bab 39 dan seterusnya.)

31.1 Pecahan pada garis, sekali lagi

Contoh 31.1 (Meletakkan dan membaca)

Pada garis yang dipotong menjadi perlimaan, $\frac{7}{5}$ berjarak $7$ langkah dari $0$ : melewati $1$ (yang sama dengan $\frac55$ ), tepatnya di $1 + \frac25$ . Setiap pecahan tinggal di suatu tempat pada garis; pembilang yang lebih besar (dengan penyebut yang sama) berarti letaknya lebih ke kanan.

Proposisi 31.2 (Satu titik, banyak nama)

Memotong setiap bagian menjadi dua (atau tiga …) tidak memindahkan titiknya:

\frac{1}{2} = \frac{2}{4} = \frac{3}{6} = \frac{5}{10}, \qquad \frac{2}{3} = \frac{4}{6} = \frac{20}{30}.

Mengalikan (atau membagi) pembilang dan penyebut dengan bilangan yang sama memberi nama lain untuk pecahan yang sama.

Bukti. Diterima tanpa bukti pada tingkat ini. ∎

Tiga batang, tiga nama, satu takaran: 1/2 = 2/4 = 5/10. — Tiga batang, tiga nama, satu takaran: $\frac12 = \frac24 = \frac{5}{10}$ .

31.2 Pecahan dan bilangan desimal

Proposisi 31.3 (Pecahan yang punya nama desimal)

Pecahan persepuluhan, perseratusan dan perseribuan adalah bilangan desimal:

\frac{3}{10} = 0.3, \qquad \frac{27}{100} = 0.27 .

Beberapa pecahan lain juga punya nama desimal, yang ditemukan dengan beralih ke persepuluhan atau perseratusan:

\frac{1}{2} = \frac{5}{10} = 0.5, \qquad \frac{1}{4} = \frac{25}{100} = 0.25, \qquad \frac{3}{4} = 0.75, \qquad \frac{1}{5} = \frac{2}{10} = 0.2 .

Tetapi tidak semuanya: $\frac13 = 0.333\dots$ tidak pernah berakhir — pecahan itulah satu-satunya nama yang tepat baginya.

Bukti. Diterima tanpa bukti pada tingkat ini. ∎

Satu garis, dua bahasa: setiap titik dapat membawa nama pecahan dan nama desimal.

Contoh 31.4 (Memilih nama yang lebih praktis)

Untuk membayar tiga perempat dari $12$ : nama pecahan lebih praktis, $\frac34$ dari $12$ adalah $9$ . Untuk membandingkan $\frac34$ dan $0.8$ : nama desimal lebih praktis, $0.75 < 0.8$ . Menguasai dua bahasa itu menguntungkan.

31.3 Membandingkan pecahan

Metode 31.5 (Tiga alat pembanding)

Penyebut sama: yang bagiannya lebih banyak menang, $\frac57 > \frac37$ ;
pembilang sama: bagian yang lebih besar menang, jadi penyebut yang lebih kecil menang: $\frac35 > \frac38$ (perlimaan lebih besar daripada perdelapanan);
patokan: bandingkan masing-masing dengan $\frac12$ atau dengan $1$ : $\frac38 < \frac12 < \frac59$ , jadi $\frac38 < \frac59$ .

Contoh 31.6

Siapa makan pizza lebih banyak: Ali dengan $\frac58$ atau Bela dengan $\frac54$ ? Pecahan Bela lebih besar daripada $1$ (lima seperempat lebih dari satu pizza utuh), pecahan Ali lebih kecil daripada $1$ : Bela makan lebih banyak — bahkan lebih dari satu pizza utuh.

31.4 Latihan

Latihan 31.1 ★

Gambarlah garis bilangan yang dipotong menjadi perlimaan dari $0$ sampai $2$ , lalu letakkan: $\frac25$ ; $\frac55$ ; $\frac85$ ; $\frac{10}{5}$ .

Solusi

Solusi Latihan 31.1.

$\frac25$ : dua langkah dari $0$ ; $\frac55$ : tepat di $1$ ; $\frac85$ : tiga langkah melewati $1$ ; $\frac{10}{5}$ : tepat di $2$ .

Latihan 31.2 ★

Lengkapilah nama yang sama nilainya: $\frac12 = \frac{?}{8}$ ; $\frac34 = \frac{?}{8}$ ; $\frac{2}{5} = \frac{4}{?}$ ; $\frac{6}{9} = \frac{2}{?}$ .

Solusi

Solusi Latihan 31.2.

$\frac12 = \frac48$ ; $\frac34 = \frac68$ ; $\frac25 = \frac{4}{10}$ ; $\frac69 = \frac23$ .

Latihan 31.3 ★

Pecahan mana yang menamai bilangan bulat? Sebutkan bilangan bulatnya jika memang demikian: $\frac82$ ; $\frac{9}{4}$ ; $\frac{15}{3}$ ; $\frac{20}{5}$ .

Solusi

Solusi Latihan 31.3.

$\frac82 = 4$ ; $\frac94$ bukan bilangan bulat ( $9$ bukan kelipatan $4$ ); $\frac{15}{3} = 5$ ; $\frac{20}{5} = 4$ .

Latihan 31.4 ★

Tulislah sebagai bilangan desimal: $\frac{7}{10}$ ; $\frac{41}{100}$ ; $\frac12$ ; $\frac34$ ; $\frac15$ .

Solusi

Solusi Latihan 31.4.

$0.7$ ; $0.41$ ; $0.5$ ; $0.75$ ; $0.2$ .

Latihan 31.5 ★

Tulislah sebagai pecahan (persepuluhan atau perseratusan): $0.9$ ; $0.13$ ; $2.5$ ; $0.75$ (lalu berikan nama seperempatnya).

Solusi

Solusi Latihan 31.5.

$0.9 = \frac{9}{10}$ ; $0.13 = \frac{13}{100}$ ; $2.5 = \frac{25}{10}$ ; $0.75 = \frac{75}{100} = \frac34$ .

Latihan 31.6 ★

Bandingkanlah, sambil menyebut alat yang dipakai (Metode 31.5):

\frac47 \;?\; \frac67, \qquad \frac35 \;?\; \frac37, \qquad \frac25 \;?\; \frac{7}{12}, \qquad \frac98 \;?\; \frac{11}{12} .

Solusi

Solusi Latihan 31.6.

$\frac47 < \frac67$ (penyebutnya sama). $\frac35 > \frac37$ (pembilangnya sama: perlimaan lebih besar). $\frac25 < \frac12 < \frac{7}{12}$ , jadi $\frac25 < \frac{7}{12}$ (patokan $\frac12$ ). $\frac98 > 1 > \frac{11}{12}$ (patokan $1$ ).

Latihan 31.7 ★

Urutkan dengan nama desimalnya: $\frac12$ ; $0.4$ ; $\frac34$ ; $0.6$ ; $\frac15$ .

Solusi

Solusi Latihan 31.7.

Nama desimalnya: $0.5$ ; $0.4$ ; $0.75$ ; $0.6$ ; $0.2$ . Urutannya:

\frac15 < 0.4 < \frac12 < 0.6 < \frac34 .

Latihan 31.8 ★

Seperempat murid di kelas yang berisi $28$ orang bermain alat musik, dan setengahnya berolahraga. Berapa murid masing-masing? Kelompok mana yang lebih besar?

Solusi

Solusi Latihan 31.8.

Alat musik: $\frac14$ dari $28 = 7$ . Olahraga: $\frac12$ dari $28 = 14$ . Kelompok olahraganya lebih besar.

Latihan 31.9 ★

Pasangkan setiap pecahan dengan waktunya: $\frac14$ jam, $\frac12$ jam, $\frac34$ jam, $\frac{1}{60}$ jam — dengan $30$ menit, $45$ menit, $1$ menit, $15$ menit.

Solusi

Solusi Latihan 31.9.

$\frac14$ jam $= 15$ menit; $\frac12$ jam $= 30$ menit; $\frac34$ jam $= 45$ menit; $\frac{1}{60}$ jam $= 1$ menit.

Latihan 31.10 ★★

Tono meminum $\frac35$ isi botolnya yang $50$ cL; Ani meminum $\frac12$ isi botolnya yang $60$ cL. Siapa yang minum lebih banyak? (Hitunglah kedua takaran dalam cL — membandingkan pecahannya saja tidak cukup di sini, dan katakan mengapa.)

Solusi

Solusi Latihan 31.10.

Tono: $\frac35$ dari $50 = 30$ cL. Ani: $\frac12$ dari $60 = 30$ cL. Keduanya minum sama banyak! Pecahannya sendiri ( $\frac35 > \frac12$ ) membandingkan bagian dari botol yang berbeda — hanya takaran sesungguhnya yang dapat dibandingkan.

Latihan 31.11 ★★

Berikan sebuah pecahan yang terletak tepat di antara $\frac12$ dan $1$ ; lalu satu lagi yang tepat di antara $\frac12$ dan $\frac34$ . (Nama desimalnya mungkin membantu.)

Solusi

Solusi Latihan 31.11.

Antara $\frac12$ dan $1$ : misalnya $\frac34$ (yaitu $0.75$ ). Antara $\frac12 = 0.5$ dan $\frac34 = 0.75$ : misalnya $0.6 = \frac35$ .