Matematika Sekolah Dasar dan Menengah · Grades 1–9

52Simetri Pusat dan Jajargenjang

Putarlah sebuah bangun setengah putaran mengelilingi sebuah titik: inilah simetri pusat, transformasi kedua dalam buku ini sesudah pencerminan pada Bab 42. Bangun bintangnya adalah jajargenjang — segi empat yang simetris terhadap titik potong diagonalnya sendiri.

52.1 Simetri pusat

Definisi 52.1 (Simetris terhadap sebuah titik)

Titik simetris dari titik $M$ terhadap titik $O$ adalah titik $M'$ sehingga $O$ menjadi titik tengah $[MM']$ . Bangun yang simetris adalah bangun asalnya sesudah setengah putaran ( $180^\circ$ ) mengelilingi $O$ .

Simetri terhadap O: setiap titik dan bayangannya segaris dengan O, berjarak sama di kedua sisinya (tanda garis). — Simetri terhadap $O$ : setiap titik dan bayangannya segaris dengan $O$ , berjarak sama di kedua sisinya (tanda garis).

Metode 52.2 (Melukis titik simetris)

Untuk melukis titik simetris $M'$ dari $M$ terhadap $O$ :

gambarlah garis $(MO)$ lalu perpanjanglah melewati $O$ ;
ukurlah $MO$ (dengan penggaris atau jangka);
letakkan $M'$ pada perpanjangannya dengan $OM' = OM$ .

Pada kertas berpetak: hitunglah langkah mendatar dan tegak dari $M$ ke $O$ , lalu ulangi langkah yang sama dari $O$ untuk mencapai $M'$ .

Contoh 52.3 (Pada petak)

Kalau $M$ berada $3$ petak ke kiri dan $1$ petak ke atas dari $O$ , titik simetrisnya $M'$ berada $3$ petak ke kanan dan $1$ petak ke bawah dari $O$ : simetri pusat membalikkan kedua arahnya sekaligus (pencerminan hanya membalikkan satu arah).

Proposisi 52.4 (Apa yang dipertahankan setengah putaran)

Simetri pusat mempertahankan panjang, sudut, keliling dan luas; bayangan sebuah garis adalah garis yang sejajar, bayangan ruas garis adalah ruas garis sejajar yang sama panjangnya, bayangan lingkaran adalah lingkaran yang jari-jarinya sama (berpusat di titik simetris dari pusat lingkarannya).

Bukti. Diterima tanpa bukti pada tingkat ini. ∎

Catatan 52.5

Bandingkan dengan pencerminan (Proposisi 42.4): keduanya mempertahankan panjang dan sudut; tetapi pencerminan membalikkan bangunnya (huruf “b” menjadi “d”), sedangkan setengah putaran menjaganya tetap terbaca — terbalik ke bawah (huruf “b” menjadi “q”). Dan tidak seperti pencerminan, setengah putaran mengirim setiap garis ke garis yang sejajar dengannya.

Definisi 52.6 (Pusat simetri)

Sebuah titik $O$ disebut pusat simetri sebuah bangun jika setengah putaran mengelilingi $O$ mengirim bangunnya tepat ke dirinya sendiri. Misalnya, huruf S, N, Z punya pusat simetri; lingkaran punya satu (yaitu pusatnya); segitiga tidak pernah punya.

52.2 Jajargenjang

Definisi 52.7 (Jajargenjang)

Jajargenjang adalah segi empat yang diagonalnya berpotongan di titik tengah bersamanya. Titik potong itu lalu menjadi pusat simetri bangunnya: setiap titik sudutnya adalah bayangan setengah putaran dari titik sudut yang berseberangan.

Teorema 52.8 (Sifat jajargenjang)

Pada jajargenjang $ABCD$ dengan pusat $O$ :

sisi yang berhadapan sejajar: $(AB) \parallel (CD)$ dan $(BC) \parallel (AD)$ ;
sisi yang berhadapan sama panjang: $AB = CD$ dan $BC = AD$ ;
sudut yang berhadapan sama besar: $\widehat A = \widehat C$ dan $\widehat B = \widehat D$ .

Bukti. Setengah putaran mengelilingi $O$ mengirim $A$ ke $C$ dan $B$ ke $D$ (menurut definisinya: $O$ adalah titik tengah kedua diagonalnya). Jadi ia mengirim ruas garis $[AB]$ ke ruas garis $[CD]$ ; menurut Proposisi 52.4 bayangannya sejajar dengan $[AB]$ dan sama panjang: itulah bagian 1 dan 2. Ia juga mengirim sudut di $A$ ke sudut di $C$ , dan sudut dipertahankan: itulah bagian 3. ∎

Sebuah jajargenjang dan pusatnya O: diagonalnya (merah) saling memotong di titik tengahnya, sisi yang berhadapan sejajar dan sama panjang (tanda garis). — Sebuah jajargenjang dan pusatnya $O$ : diagonalnya (merah) saling memotong di titik tengahnya, sisi yang berhadapan sejajar dan sama panjang (tanda garis).

Teorema 52.9 (Mengenali jajargenjang)

Sebuah segi empat (yang sisinya tidak saling memotong) adalah jajargenjang begitu salah satu keadaan berikut berlaku:

diagonalnya punya titik tengah yang sama (definisinya);
sisi yang berhadapan sejajar dua-dua;
dua sisi yang berhadapan sejajar dan sama panjang.

Bukti. Diterima tanpa bukti pada tingkat ini. ∎

Contoh 52.10

$ABCD$ punya $(AB) \parallel (CD)$ dan $AB = CD = 5$ cm. Kriteria 3 berlaku: $ABCD$ adalah jajargenjang — jadi tanpa pengukuran lain kita juga tahu bahwa $AD = BC$ , $(AD) \parallel (BC)$ , dan bahwa diagonalnya saling memotong di tengahnya.

Catatan 52.11 (Jajargenjang istimewa)

Persegi panjang, belah ketupat dan persegi pada Bab 41 persis jajargenjang dengan satu sifat tambahan: diagonal yang sama panjang (persegi panjang), diagonal yang tegak lurus (belah ketupat), keduanya (persegi). Alasan sudut yang dijanjikan pada Contoh 41.6 kini berjalan: pada jajargenjang, sudut yang berurutan berpelurus (sudut berseberangan atau sehadap dengan garis sejajarnya, Teorema 51.2), jadi satu sudut siku-siku memaksa keempatnya.

52.3 Latihan

Latihan 52.1 ★

Pada kertas berpetak, letakkan $O$ , lalu $M$ empat petak ke kanan dari $O$ dan satu petak ke atas. Lukislah titik simetris $M'$ dari $M$ terhadap $O$ , dan titik simetris $M$ terhadap garis petak tegak yang melalui $O$ . Bandingkan kedua bayangannya.

Solusi

Solusi Latihan 52.1.

Bayangan setengah putaran: $M'$ berada empat petak ke kiri dari $O$ dan satu petak ke bawah (kedua arahnya terbalik). Bayangan pencerminan terhadap garis tegaknya: empat petak ke kiri tetapi tetap satu petak ke atas. Kedua bayangannya berbeda: keduanya bayangan cermin tegak satu sama lain.

Latihan 52.2 ★

Gambarlah segitiga $ABC$ dan sebuah titik $O$ di luarnya. Lukislah bayangannya $A'B'C'$ oleh setengah putaran mengelilingi $O$ . Apa yang dapat kamu katakan tentang panjang $A'B'$ dan $AB$ ? Tentang garis $(A'B')$ dan $(AB)$ ?

Solusi

Solusi Latihan 52.2.

$A'B' = AB$ (setengah putaran mempertahankan panjang) dan $(A'B') \parallel (AB)$ (bayangan sebuah garis adalah garis yang sejajar, Proposisi 52.4).

Latihan 52.3 ★

Angka mana, yang ditulis seperti pada layar kalkulator ( $0$ sampai $9$ ), yang punya pusat simetri? Huruf besar mana di antara H, A, N, S, T, Z, O?

Solusi

Solusi Latihan 52.3.

Angka kalkulator yang punya pusat simetri: $0$ , $2$ , $5$ , $8$ (dan $1$ kalau digambar sebagai batang polos). Hurufnya: H, N, S, Z, O punya; A dan T tidak (keduanya punya sumbu, bukan pusat).

Latihan 52.4 ★

$KLMN$ adalah jajargenjang berpusat $O$ dengan $KL = 7$ cm, $LM = 4$ cm dan $\widehat K = 115^\circ$ . Sebutkan, dengan alasannya: $MN$ , $NK$ , $\widehat M$ , dan titik tengah $[LN]$ .

Solusi

Solusi Latihan 52.4.

Sisi yang berhadapan sama panjang: $MN = KL = 7$ cm dan $NK = LM = 4$ cm. Sudut yang berhadapan sama besar: $\widehat M = \widehat K = 115^\circ$ . Diagonalnya saling memotong di titik tengah bersamanya, dan titik itu adalah $O$ : jadi titik tengah $[LN]$ adalah $O$ .

Latihan 52.5 ★

Lukislah jajargenjang $ABCD$ dari diagonalnya: $AC = 8$ cm dan $BD = 5$ cm, yang berpotongan di titik tengahnya dengan sudut $60^\circ$ di antaranya. (Gambarlah diagonalnya lebih dahulu!)

Solusi

Solusi Latihan 52.5.

Gambarlah ruas garis $[AC]$ sepanjang $8$ cm, tandai titik tengahnya $O$ , gambarlah lewat $O$ sebuah garis yang membentuk sudut $60^\circ$ dengan $(AC)$ , lalu letakkan $B$ dan $D$ padanya berjarak $2.5$ cm dari $O$ di kedua sisinya. Hubungkan $A$ , $B$ , $C$ , $D$ : diagonalnya berpotongan di titik tengahnya, jadi $ABCD$ adalah jajargenjang menurut definisinya.

Latihan 52.6 ★

Pada sebuah jajargenjang, satu sudutnya berukuran $115^\circ$ . Dengan memakai catatan tentang sudut berurutan yang berpelurus, sebutkan ketiga sudut lainnya.

Solusi

Solusi Latihan 52.6.

Sudut yang berurutan berpelurus: di sebelah $115^\circ$ duduk $180 - 115 = 65^\circ$ . Sudut yang berhadapan sama besar, jadi keempat sudutnya adalah $115^\circ$ , $65^\circ$ , $115^\circ$ , $65^\circ$ (jumlahnya $360^\circ$ ).

Latihan 52.7 ★★

Gambarlah $A(1, 1)$ , $B(4, 2)$ dan titik $O(2.5, 2.5)$ . Hitunglah koordinat bayangan $A'$ dan $B'$ oleh setengah putaran mengelilingi $O$ (pakailah cara menghitung petak pada Contoh 52.3).

Solusi

Solusi Latihan 52.7.

Dari $A(1,1)$ ke $O(2.5, 2.5)$ : $1.5$ ke kanan dan $1.5$ ke atas; dengan melanjutkan langkah yang sama: $A'(4, 4)$ . Dari $B(4,2)$ ke $O$ : $1.5$ ke kiri dan $0.5$ ke atas; dengan melanjutkan: $B'(1, 3)$ .

Latihan 52.8 ★★

$ABCD$ adalah segi empat dengan $AB = CD$ . Apakah itu sudah cukup untuk menjadikannya jajargenjang? Kalau tidak, sketsalah contoh penyangkalnya (trapesium sama kaki membantu), lalu nyatakan apa yang harus ditambahkan pada hipotesisnya.

Solusi

Solusi Latihan 52.8.

Tidak. Trapesium sama kaki punya dua sisi miring yang sama panjang tanpa menjadi jajargenjang (kedua sisi yang sejajar berbeda panjang). Yang mencukupi adalah kriteria 3 pada Teorema 52.9: dua sisi yang berhadapan sama panjang dan sejajar.

Latihan 52.9 ★★

Misalkan $ABC$ sebuah segitiga dan $O$ titik tengah $[BC]$ . Lukislah titik simetris $A'$ dari $A$ terhadap $O$ . Tunjukkan bahwa $ABA'C$ adalah jajargenjang. (Kriteria mana pada Teorema 52.9 yang gratis di sini?)

Solusi

Solusi Latihan 52.9.

$O$ adalah titik tengah $[BC]$ menurut pilihan kita, dan ia titik tengah $[AA']$ menurut pelukisan titik simetrisnya. Segi empat $ABA'C$ punya diagonal $[AA']$ dan $[BC]$ yang berbagi titik tengah $O$ : kriteria 1 (definisinya) menjadikannya jajargenjang tanpa biaya tambahan.

Latihan 52.10 ★★

Benar atau salah, dengan alasan: “segi empat yang sudut berhadapannya sama besar dua-dua adalah jajargenjang”; “jajargenjang yang diagonalnya tegak lurus adalah belah ketupat”; “jajargenjang dengan satu sudut siku-siku adalah persegi panjang”.

Solusi

Solusi Latihan 52.10.

“Sudut berhadapan sama besar $\Rightarrow$ jajargenjang”: benar (ini kriteria pengenalan yang lain; dengan jumlah sudut $360^\circ$ , pasangan berhadapan yang sama besar memaksa sudut berurutan menjadi berpelurus, jadi sisinya sejajar menurut Teorema 51.2).

“Diagonal yang tegak lurus $\Rightarrow$ belah ketupat”: benar untuk jajargenjang (diagonalnya memang sudah berpotongan di titik tengahnya).

“Satu sudut siku-siku $\Rightarrow$ persegi panjang”: benar — sudut yang berurutan berpelurus, jadi keempatnya menjadi siku-siku.

Latihan 52.11 ★★★

Misalkan $ABCD$ segi empat mana pun dan $I$ , $J$ , $K$ , $L$ titik tengah sisinya $[AB]$ , $[BC]$ , $[CD]$ , $[DA]$ . Gambarlah beberapa contoh. Bangun apa yang selalu tampaknya menjadi $IJKL$ ? (Buktinya, dengan teorema titik tengah, menyusul pada Bab 59 — dan sekali lagi dengan vektor, di buku Sekolah Menengah.)

Solusi

Solusi Latihan 52.11.

Apa pun segi empatnya — bahkan yang sangat tak beraturan — titik tengah $I$ , $J$ , $K$ , $L$ selalu membentuk jajargenjang. Buktinya dengan teorema titik tengah ada pada Bab 59 (Latihan 59.9).

52.4 Soal: Kue, garis berat, dan pusat kedua yang mustahil

Soal 52.1

Soal akhir pekan — setengah putaran yang bekerja: potongan kue yang adil, batas untuk garis berat, dan mengapa tidak ada bangun yang punya dua pusat simetri

Setengah putaran tampak seperti transformasi yang paling sederhana — namun ia memotong kue menjadi dua bagian yang terbukti adil, mengukur garis berat sebuah segitiga, dan menyembunyikan mutiara kecil matematika murni: bangun yang terbatas dapat punya satu pusat simetri, tetapi tidak pernah dua. Buktinya memakai penemuan yang akan kamu buat pada Bagian I: dua setengah putaran, yang dilakukan berturut-turut, berjumlah menjadi satu geseran.

Bagian I — Senam setengah putaran.

Pada kertas berpetak, ambillah titik asal $O(0, 0)$ sebagai pusatnya. Dengan cara menghitung petak pada Contoh 52.3, sebutkan bayangan $M(3, 1)$ , $N(-2, 4)$ dan $P(0, -5)$ oleh setengah putaran terhadap $O$ . Apa aturan umum untuk $(x, y)$ ?
Sekarang pusatnya $C(2, 1)$ . Hitunglah bayangan $M(5, 3)$ , lalu periksalah resep umumnya: setiap koordinat bayangannya adalah dua kali koordinat pusatnya dikurangi koordinat titiknya.
Kartu remi dirancang agar terbaca sama ketika dibalik — sebuah simetri pusat, jadi tidak ada pemain yang melihat kartunya “keliru”. Jelaskan mengapa, pada kartu dengan lambang berjumlah ganjil, satu lambang harus terletak tepat di pusat kartunya.
Dua setengah putaran berturut-turut: ambillah pusat $O_1(2, 0)$ dan $O_2(5, 0)$ . Kirimlah titik $A(1, 1)$ lewat setengah putaran terhadap $O_1$ , lalu kirimlah bayangannya lewat setengah putaran terhadap $O_2$ . Bandingkan awal dan akhirnya. Ulangi dengan $B(0, 3)$ . Transformasi tunggal yang sederhana apa yang setara dengan kedua setengah putaran itu?
Ukurlah geseran pertanyaan 4 terhadap jarak $O_1 O_2$ , lalu nyatakan penemuanmu. (Bandingkan dengan dua cermin sejajar pada Soal 42.1: gejala yang sama, pemain yang baru.)

Bagian II — Kue dan garis berat.

Misalkan $O$ pusat sebuah jajargenjang. Jelaskan mengapa setiap garis melalui $O$ memotong tepinya di dua titik yang simetris terhadap $O$ , dan mengapa garis itu memotong jajargenjangnya menjadi dua bagian yang persis merupakan salinan setengah putaran satu sama lain — jadi luasnya sama.
Teorema tukang roti: kue berbentuk persegi panjang terbagi dengan sangat adil oleh potongan lurus apa pun yang melalui pusatnya. Lebih baik lagi: kue persegi panjang itu punya lubang persegi panjang dengan ukuran apa pun, letak apa pun, bahkan miring. Uraikan satu potongan lurus yang memberi dua bagian dengan kue yang sama banyak — lalu berilah alasannya dengan pertanyaan 6.
Tiga titik sudut jajargenjang $ABCD$ adalah $A(0, 0)$ , $B(6, 1)$ dan $C(8, 5)$ . Hitunglah koordinat $D$ dan koordinat pusatnya $O$ .
Latihan 52.9 membangun, dari segitiga $ABC$ dan titik tengah $O$ dari $[BC]$ , jajargenjang $ABA'C$ dengan $A'$ titik simetris $A$ terhadap $O$ . Pakailah itu, bersama ketaksamaan segitiga (Teorema 51.6) pada segitiga $ABA'$ , untuk membuktikan batas garis berat: garis berat $[AO]$ memenuhi

$AO < \frac{AB + AC}{2} .$

(Perhatikan bahwa $AA' = 2\,AO$ dan $BA' = AC$ .)
Pada segitiga dengan $AB = 5$ cm dan $AC = 7$ cm, di antara dua nilai berapa panjang garis berat dari $A$ harus terletak? (Pakailah kedua arah ketaksamaan segitiga pada segitiga $ABA'$ .)

Bagian III — Berapa banyak pusat yang dapat dipunyai sebuah bangun?

Untuk tiap bangun, katakan apakah ia punya pusat simetri, dan di mana: sebuah ruas garis; garis penuh; segitiga sama sisi; persegi; lingkaran; huruf S dan Z.
Buktikan pernyataanmu untuk segitiga sama sisi: setengah putaran yang mengirim segitiga itu ke dirinya sendiri akan memasangkan ketiga titik sudutnya — tetapi tiga itu ganjil, jadi ada titik sudut yang terkirim ke dirinya sendiri. Titik sudut itu terpaksa menjadi apa, dan mengapa itu mustahil?
Perumumlah pertanyaan 12: jelaskan mengapa tidak ada segi banyak dengan titik sudut berjumlah ganjil yang punya pusat simetri.
Mutiaranya: andaikan sebuah bangun punya dua pusat simetri yang berbeda, $O_1$ dan $O_2$ . Lakukan kedua setengah putaran itu berturut-turut lalu pakailah penemuan pada pertanyaan 5: gerak apa yang harus mengirim bangunnya tepat ke dirinya sendiri? Jelaskan mengapa bangun yang muat pada selembar kertas tidak dapat bertahan terhadap itu, lalu simpulkan.
Kesimpulan pertanyaan 14 meninggalkan celah: bangun yang tak terbatas. Periksalah pada pita hias tak berhingga — misalnya, jalur jejak kaki tanpa ujung: kiri, kanan, kiri, kanan … — bahwa ia punya (sedikitnya) dua pusat simetri yang berbeda, lalu kenalilah translasi yang sudah diramalkan pertanyaan 14.

Solusi

Solusi Soal 52.1.

1. $M(3, 1) \to (-3, -1)$ ; $N(-2, 4) \to (2, -4)$ ; $P(0, -5) \to (0, 5)$ . Aturannya: setengah putaran terhadap titik asal mengirim $(x, y)$ ke $(-x, -y)$ — kedua koordinatnya berganti tanda.

2. Dari $M(5, 3)$ : tiga petak ke kanan dari $C$ menjadi tiga petak ke kiri, dua ke atas menjadi dua ke bawah: bayangannya $(-1, -1)$ . Periksa resepnya: dua kali pusatnya dikurangi titiknya, $(2 \times 2 - 5,\ 2 \times 1 - 3) = (-1, -1)$ .

3. Setengah putaran terhadap pusat kartunya menukar lambangnya berpasangan. Dengan lambang berjumlah ganjil, satu lambang tidak punya pasangan: ia harus menjadi bayangannya sendiri, dan satu-satunya titik yang menjadi bayangannya sendiri adalah pusatnya. Karena itu lambang tengah pada kartu 3, kartu 5, kartu 7 … duduk tepat di pusat (lihatlah kartu sungguhan: memang benar).

4. Terhadap $O_1(2,0)$ : $A(1,1) \to (3,-1)$ ; terhadap $O_2(5,0)$ : $(3,-1) \to (7,1)$ . Awalnya $A(1,1)$ , akhirnya $(7,1)$ : bergeser $6$ ke kanan, tidak terbalik. Sama untuk $B(0,3) \to (4,-3) \to (6,3)$ : bergeser $6$ ke kanan. Kedua setengah putaran itu setara dengan sebuah translasi.

5. Geserannya $6$ , dan $O_1 O_2 = 3$ : translasinya menempuh dua kali jarak antara kedua pusatnya (dengan arah dari $O_1$ ke $O_2$ ) — persis seperti dua cermin sejajar yang menggeser sejauh dua kali celahnya pada Soal 42.1.

6. Setengah putaran terhadap $O$ mengirim jajargenjangnya ke dirinya sendiri (itulah arti “pusat simetri” baginya, Teorema 52.8). Garis melalui $O$ juga terkirim ke dirinya sendiri, jadi kedua titik tempat garis itu memotong tepinya saling bertukar: keduanya simetris terhadap $O$ . Kedua potongan jajargenjangnya di sisi mana pun dari garis itu juga bertukar, jadi keduanya salinan yang persis (Proposisi 52.4) — luasnya sama.

7. Potonglah sepanjang garis yang melalui kedua pusatnya: pusat persegi panjang kuenya dan pusat lubangnya. Menurut pertanyaan 6 yang dipakai pada persegi panjang kuenya, potongan itu membelah dua kuenya; dipakai pada persegi panjang lubangnya (garisnya melalui pusatnya juga), ia membelah dua lubangnya. Tiap bagian memperoleh setengah kue dikurangi setengah lubang: adil sempurna.

8. $D = (0 + 8 - 6,\ 0 + 5 - 1) = (2, 4)$ (diagonalnya berbagi titik tengah, jadi $D$ adalah bayangan setengah putaran dari $B$ terhadap pusatnya). Pusatnya: titik tengah $[AC]$ , yaitu $O(4,\ 2.5)$ .

9. Pada jajargenjang $ABA'C$ , sisi yang berhadapan sama panjang: $BA' = AC$ . Ketaksamaan segitiga pada $ABA'$ memberi $AA' < AB + BA' = AB + AC$ . Karena $O$ adalah titik tengah $[AA']$ , berlaku $AA' = 2\,AO$ , jadi $2\,AO < AB + AC$ , yaitu $AO < \frac{AB + AC}{2}$ .

10. Batas atasnya: $AO < \frac{5 + 7}{2} = 6$ cm. Batas bawahnya: pada $ABA'$ , $AA' > BA' - AB = 7 - 5 = 2$ , jadi $AO > 1$ cm. Garis berat dari $A$ terletak benar-benar di antara $1$ dan $6$ cm.

11. Ruas garis: ya, titik tengahnya. Garis: ya — setiap titiknya adalah pusat. Segitiga sama sisi: tidak ada. Persegi: ya, titik potong diagonalnya. Lingkaran: ya, pusatnya. S dan Z: ya, titik tengahnya (balikkan halamannya: keduanya terbaca sama).

12. Setengah putaran itu akan memasangkan ketiga titik sudutnya satu sama lain; karena tiga itu ganjil, satu titik sudut $A$ akan menjadi bayangannya sendiri, sehingga $A$ terpaksa menjadi pusat setengah putarannya. Kedua titik sudut lain $B$ dan $C$ lalu akan simetris terhadap $A$ — jadi $A$ akan menjadi titik tengah $[BC]$ , yang menaruh ketiga titik sudutnya pada satu garis. Segitiga tidak punya tiga titik sudut yang segaris: kontradiksi. Pusatnya tidak ada.

13. Alasan keganjilan yang sama: setengah putaran yang mempertahankan segi banyaknya memasangkan titik sudutnya; titik sudut yang berjumlah ganjil memaksa adanya titik sudut tetap, yang harus menjadi pusatnya sekaligus titik tengah ruas garis yang menghubungkan dua titik sudut lain — tiga titik sudut yang segaris, mustahil pada segi banyak … jadi tidak ada segi banyak dengan titik sudut berjumlah ganjil yang punya pusat simetri.

14. Melakukan setengah putaran terhadap $O_1$ , lalu terhadap $O_2$ , mengirim bangunnya ke dirinya sendiri dua kali — jadi gabungan keduanya juga begitu. Menurut pertanyaan 5, gabungan itu adalah translasi sejauh dua kali jarak $O_1 O_2$ , yang bukan nol karena kedua pusatnya berbeda. Bangun yang muat pada selembar kertas tidak dapat sama dengan dirinya yang tergeser sejauh jarak tetap yang bukan nol (geserlah cukup sering dan ia meninggalkan kertasnya sama sekali). Jadi bangun yang terbatas punya paling banyak satu pusat simetri.

15. Pada jalur tanpa ujung itu, setengah putaran terhadap titik yang berada di tengah antara satu jejak kiri dan jejak kanan berikutnya mengirim polanya ke dirinya sendiri; titik yang berjarak satu langkah penuh lebih jauh juga begitu: dua pusat yang berbeda. Menggabungkan kedua setengah putaran itu memberi translasi sejauh dua kali setengah langkahnya — persis geseran satu langkah yang tampak memetakan pita hias tak berhingga itu ke dirinya sendiri, seperti yang diramalkan pertanyaan 14. Pola yang tak terbatas hidup dengan aturan yang berbeda: itulah matematika kertas dinding.

Istilah yang didefinisikan dalam bab ini

Lihat semua 395 istilah di glosarium