Matematika Sekolah Dasar dan Menengah · Grades 1–9

55Pecahan: Keempat Operasinya

Bab ini melengkapi aritmetika pecahan: penjumlahan dan pengurangan dengan penyebut apa pun, perkalian, dan — pendatang barunya — pembagian, yang ternyata perkalian dalam samaran. Tanda dari Bab 54 ikut serta di dalamnya.

55.1 Menjumlahkan dengan penyebut apa pun

Metode 55.1 (Penyebut yang sama)

Untuk menjumlahkan atau mengurangkan $\frac ab$ dan $\frac cd$ :

carilah kelipatan bersama dari $b$ dan $d$ (hasil kali $b \times d$ selalu berhasil; yang lebih kecil menghemat tenaga);
tulislah ulang kedua pecahannya dengan penyebut itu;
jumlahkan atau kurangkan pembilangnya; lalu sederhanakan.

Contoh 55.2

Hitunglah $\dfrac{5}{6} + \dfrac{3}{4}$ . Kelipatan bersama dari $6$ dan $4$ adalah $12$ :

\frac{5}{6} = \frac{10}{12}, \qquad \frac{3}{4} = \frac{9}{12}, \qquad \frac{5}{6} + \frac{3}{4} = \frac{10 + 9}{12} = \frac{19}{12}.

Dengan tanda: $\dfrac{2}{3} - \dfrac{7}{5} = \dfrac{10}{15} - \dfrac{21}{15} = -\dfrac{11}{15}$ .

55.2 Mengalikan pecahan

Teorema 55.3 (Hasil kali pecahan)

\frac{a}{b} \times \frac{c}{d} = \frac{a \times c}{b \times d} .

Mengapa, lewat sebuah gambar. Ambillah $\frac34$ dari $\frac25$ sebuah persegi: potonglah perseginya menjadi $5$ jalur tegak lalu simpan $2$ ; potonglah mendatar menjadi $4$ lalu simpan $3$ baris dari yang tersisa. Bagian yang disimpan adalah kisi $3 \times 2$ sel kecil dari $4 \times 5$ : pecahannya $\frac{6}{20}$ . ∎

3/4 × 2/5: daerah yang terarsir ganda adalah 3 × 2 = 6 sel dari 4 × 5 = 20, yaitu 6/20 = 3/10 — pembilangnya dikalikan, penyebutnya dikalikan. — $\frac34 \times \frac25$ : daerah yang terarsir ganda adalah $3 \times 2 = 6$ sel dari $4 \times 5 = 20$ , yaitu $\frac{6}{20} = \frac{3}{10}$ — pembilangnya dikalikan, penyebutnya dikalikan.

Contoh 55.4

Sederhanakan sebelum mengalikan, dengan mencoret faktor bersamanya:

\frac{7}{12} \times \frac{9}{14} = \frac{7 \times 9}{12 \times 14} = \frac{7 \times 3 \times 3}{3 \times 4 \times 2 \times 7} = \frac{3}{8}

(faktor $7$ dan satu faktor $3$ saling meniadakan antara atas dan bawah). Dengan tanda, aturan Teorema 54.1 berlaku lebih dahulu: $\left(-\frac23\right) \times \left(-\frac{5}{4}\right) = +\frac{10}{12} = \frac56$ .

55.3 Membagi pecahan

Definisi 55.5 (Kebalikan)

Kebalikan sebuah bilangan $x$ yang bukan nol adalah bilangan yang kalau dikalikan dengan $x$ memberi $1$ . Kebalikan $\frac ab$ adalah $\frac ba$ , karena $\frac ab \times \frac ba = \frac{ab}{ab} = 1$ ; kebalikan bilangan bulat $n$ adalah $\frac1n$ .

Teorema 55.6 (Membagi berarti mengalikan dengan kebalikannya)

Untuk $c \neq 0$ :

\frac{a}{b} \div \frac{c}{d} = \frac{a}{b} \times \frac{d}{c} .

Bukti. Menurut definisinya, hasil bagi $q$ dari $\frac ab$ oleh $\frac cd$ adalah bilangan dengan $q \times \frac cd = \frac ab$ . Periksalah calonnya $q = \frac ab \times \frac dc$ :

\left(\frac ab \times \frac dc\right) \times \frac cd = \frac ab \times \left(\frac dc \times \frac cd\right) = \frac ab \times 1 = \frac ab . \qedhere

∎

Contoh 55.7

\frac{3}{5} \div \frac{7}{10} = \frac{3}{5} \times \frac{10}{7} = \frac{3 \times 10}{5 \times 7} = \frac{30}{35} = \frac{6}{7}.

Pemeriksaan yang masuk akal: membagi dengan $\frac{7}{10}$ , bilangan yang lebih kecil daripada $1$ , harus memberi hasil yang lebih besar daripada $\frac35$ — dan memang $\frac67 > \frac35$ ( $\frac{30}{35} > \frac{21}{35}$ ).

Contoh 55.8 (Garis pecahan di dalam garis pecahan)

Sebuah “pecahan bertingkat” hanyalah pembagian yang ditulis tegak:

\frac{\ \frac{2}{3}\ }{\ \frac{5}{6}\ } = \frac{2}{3} \div \frac{5}{6} = \frac{2}{3} \times \frac{6}{5} = \frac{12}{15} = \frac{4}{5}.

Carilah garis utamanya lebih dahulu (yang paling panjang), lalu terapkan Teorema 55.6.

Metode 55.9 (Perhitungan campuran)

Pada bentuk yang mencampur pecahan dan keempat operasinya:

terapkan prioritas yang biasa (Bab 45);
ubahlah setiap pembagian menjadi perkalian dengan kebalikannya;
tentukan tandanya lebih dahulu (Metode 54.6), lalu kalikan atau carilah penyebut yang sama;
sederhanakan pada kesempatan yang paling awal.

Contoh 55.10

\begin{align*} \frac12 + \frac{2}{3} \times \frac{9}{4} &= \frac12 + \frac{2 \times 9}{3 \times 4} && \text{(hasil kalinya dahulu!)} \\ &= \frac12 + \frac{18}{12} = \frac12 + \frac32 = \frac{4}{2} = 2 . \end{align*}

55.4 Latihan

Latihan 55.1 ★

Hitunglah lalu sederhanakan:

\frac{3}{4} + \frac{2}{5}, \qquad \frac{5}{6} - \frac{3}{8}, \qquad \frac{7}{10} + \frac{8}{15} .

Solusi

Solusi Latihan 55.1.

$\dfrac34 + \dfrac25 = \dfrac{15}{20} + \dfrac{8}{20} = \dfrac{23}{20}$ .

$\dfrac56 - \dfrac38 = \dfrac{20}{24} - \dfrac{9}{24} = \dfrac{11}{24}$ .

$\dfrac{7}{10} + \dfrac{8}{15} = \dfrac{21}{30} + \dfrac{16}{30} = \dfrac{37}{30}$ .

Latihan 55.2 ★

Hitunglah (tandanya lebih dahulu):

-\frac{2}{7} + \frac{3}{14}, \qquad \frac{1}{6} - \frac{5}{4}, \qquad -\frac{3}{5} - \frac{1}{2} .

Solusi

Solusi Latihan 55.2.

$-\dfrac27 + \dfrac{3}{14} = -\dfrac{4}{14} + \dfrac{3}{14} = -\dfrac{1}{14}$ .

$\dfrac16 - \dfrac54 = \dfrac{2}{12} - \dfrac{15}{12} = -\dfrac{13}{12}$ .

$-\dfrac35 - \dfrac12 = -\dfrac{6}{10} - \dfrac{5}{10} = -\dfrac{11}{10}$ .

Latihan 55.3 ★

Hitunglah, dengan menyederhanakan sebelum mengalikan:

\frac{5}{8} \times \frac{4}{15}, \qquad \frac{9}{14} \times \frac{7}{3}, \qquad \left(-\frac{6}{5}\right) \times \frac{10}{9} .

Solusi

Solusi Latihan 55.3.

$\dfrac58 \times \dfrac{4}{15} = \dfrac{5 \times 4}{8 \times 15} = \dfrac{1}{2 \times 3} = \dfrac16$ (sederhanakan dengan $5$ dan dengan $4$ ).

$\dfrac{9}{14} \times \dfrac73 = \dfrac{9 \times 7}{14 \times 3} = \dfrac{3}{2}$ (sederhanakan dengan $7$ dan dengan $3$ ).

$\left(-\dfrac65\right) \times \dfrac{10}{9} = -\dfrac{60}{45} = -\dfrac43$ (tandanya berlawanan: negatif).

Latihan 55.4 ★

Sebutkan kebalikan dari: $\dfrac{3}{7}$ ; $5$ ; $\dfrac{1}{4}$ ; $-\dfrac{2}{9}$ .

Solusi

Solusi Latihan 55.4.

Kebalikannya: $\dfrac73$ ; $\dfrac15$ ; $4$ ; $-\dfrac92$ (kebalikannya mempertahankan tandanya).

Latihan 55.5 ★

Hitunglah:

\frac{4}{9} \div \frac{2}{3}, \qquad \frac{7}{5} \div 14, \qquad 6 \div \frac{3}{4} .

Solusi

Solusi Latihan 55.5.

$\dfrac49 \div \dfrac23 = \dfrac49 \times \dfrac32 = \dfrac{12}{18} = \dfrac23$ .

$\dfrac75 \div 14 = \dfrac75 \times \dfrac{1}{14} = \dfrac{7}{70} = \dfrac{1}{10}$ .

$6 \div \dfrac34 = 6 \times \dfrac43 = 8$ .

Latihan 55.6 ★

Hitunglah pecahan bertingkatnya:

\frac{\ \frac{3}{4}\ }{\ \frac{9}{8}\ }, \qquad \frac{\ \frac{5}{6}\ }{\ 10\ }, \qquad \frac{\ 2\ }{\ \frac{4}{7}\ } .

Solusi

Solusi Latihan 55.6.

$\dfrac{3/4}{9/8} = \dfrac34 \times \dfrac89 = \dfrac{24}{36} = \dfrac23$ .

$\dfrac{5/6}{10} = \dfrac56 \times \dfrac{1}{10} = \dfrac{5}{60} = \dfrac{1}{12}$ .

$\dfrac{2}{4/7} = 2 \times \dfrac74 = \dfrac72$ .

Latihan 55.7 ★

Hitunglah, dengan mematuhi prioritasnya:

\frac{1}{3} + \frac{1}{2} \times \frac{4}{5}, \qquad \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{2}\right) \times \frac{4}{5} .

Solusi

Solusi Latihan 55.7.

Hasil kalinya dahulu: $\dfrac13 + \dfrac12 \times \dfrac45 = \dfrac13 + \dfrac{4}{10} = \dfrac{10}{30} + \dfrac{12}{30} = \dfrac{22}{30} = \dfrac{11}{15}$ .

Tanda kurungnya dahulu: $\left(\dfrac13 + \dfrac12\right) \times \dfrac45 = \dfrac56 \times \dfrac45 = \dfrac{20}{30} = \dfrac23$ .

Latihan 55.8 ★★

Sebuah tangki terisi $\frac{2}{5}$ . Lalu ditambahkan $\frac{1}{3}$ dari daya tampung tangkinya. Berapa bagian tangkinya yang kini terisi? Berapa bagian yang masih kosong?

Solusi

Solusi Latihan 55.8.

Terisi: $\dfrac25 + \dfrac13 = \dfrac{6}{15} + \dfrac{5}{15} = \dfrac{11}{15}$ bagian tangkinya. Kosong: $1 - \dfrac{11}{15} = \dfrac{4}{15}$ .

Latihan 55.9 ★★

Tiga perempat murid sebuah kelas lulus sebuah ujian; di antara mereka, dua pertiganya memperoleh lebih dari $14$ dari $20$ . Berapa bagian kelasnya yang memperoleh lebih dari $14$ ? Kalau itu mewakili $12$ murid, berapa besar kelasnya?

Solusi

Solusi Latihan 55.9.

Bagian yang memperoleh lebih dari $14$ : $\dfrac23 \times \dfrac34 = \dfrac{6}{12} = \dfrac12$ dari kelasnya. Kalau itu $12$ murid, kelasnya berisi $24$ murid.

Latihan 55.10 ★★

Tali sepanjang $\frac{15}{2}$ m harus dipotong menjadi potongan sepanjang $\frac{3}{4}$ m masing-masing. Berapa potongan yang diperoleh? (Pembagian pecahan — periksalah bahwa jawabannya bilangan bulat.)

Solusi

Solusi Latihan 55.10.

$\dfrac{15}{2} \div \dfrac34 = \dfrac{15}{2} \times \dfrac43 = \dfrac{60}{6} = 10$ potongan — bilangan bulat, tanpa tali yang terbuang.

Latihan 55.11 ★★

Hitunglah

E = \frac{2}{3} - \frac{5}{6} \div \frac{10}{9}, \qquad F = \left(-\frac{1}{2}\right)^2 \times \frac{8}{3} .

Solusi

Solusi Latihan 55.11.

$E$ : pembagiannya dahulu: $\dfrac56 \div \dfrac{10}{9} = \dfrac56 \times \dfrac{9}{10} = \dfrac{45}{60} = \dfrac34$ ; lalu $E = \dfrac23 - \dfrac34 = \dfrac{8}{12} - \dfrac{9}{12} = -\dfrac{1}{12}$ .

$F = \left(-\dfrac12\right)^2 \times \dfrac83 = \dfrac14 \times \dfrac83 = \dfrac{8}{12} = \dfrac23$ (kuadratnya positif).

Latihan 55.12 ★★★

Sederhanakanlah bentuk

1 + \cfrac{1}{1 + \cfrac{1}{1 + 1}}

(mulailah dari pecahan yang paling dalam lalu bekerjalah ke luar, satu garis pada satu waktu).

Solusi

Solusi Latihan 55.12.

Dari dalam ke luar: $1 + 1 = 2$ ; lalu $1 + \dfrac12 = \dfrac32$ ; lalu

1 + \frac{1}{3/2} = 1 + \frac23 = \frac53 .

55.5 Soal: Pecahan Mesir

Soal 55.1

Soal akhir pekan — setiap pecahan adalah jumlah pecahan satuan yang berbeda-beda

Pecahan satuan adalah pecahan yang pembilangnya $1$ . Juru tulis Mesir kuno — papirus Rhind disalin sekitar tahun $1550$ SM — menulis setiap pecahan sebagai jumlah pecahan satuan yang berbeda-beda: tidak pernah $\frac27 = \frac17 + \frac17$ , melainkan $\frac27 = \frac14 + \frac{1}{28}$ . Jumlah seperti itu disebut tulisan Mesir bagi pecahannya. Soal ini mengembangkan teknik penjumlahan dan pembandingan bab ini (Metode 55.1) menjadi sebuah cara — yang diterbitkan Fibonacci pada tahun $1202$ — yang menghasilkan tulisan Mesir bagi pecahan apa pun antara $0$ dan $1$ , lalu berakhir pada teka-teki warisan yang terkenal.

Bagian I — Pecahan satuan dan kesamaan pemecahannya.

Hitunglah $\frac12 + \frac13$ dan $\frac12 + \frac14$ , lalu simpulkan tulisan Mesir bagi $\frac56$ dan $\frac34$ .
Periksalah catatan juru tulisnya untuk $\frac27$ : tunjukkan bahwa $\frac14 + \frac{1}{28} = \frac27$ .
Periksalah bahwa $\frac13 + \frac16 = \frac12$ dan bahwa $\frac14 + \frac{1}{12} = \frac13$ . Lalu buktikan kesamaan pemecahan: untuk setiap bilangan bulat $n \geq 1$ ,

$\frac{1}{n} = \frac{1}{n+1} + \frac{1}{n(n+1)} .$
Simpulkan sebuah tulisan Mesir bagi $1$ itu sendiri, sebagai jumlah tiga pecahan satuan yang berbeda-beda.
Pecahlah suku terakhir $\frac56 = \frac12 + \frac13$ untuk memperoleh tulisan Mesir yang kedua bagi $\frac56$ , dengan tiga pecahan satuan. Jelaskan mengapa tidak ada pecahan yang tulisan Mesirnya tunggal.

Bagian II — Cara rakus Fibonacci. Caranya adalah: kurangkan dengan pecahan satuan terbesar yang muat, lalu ulangi pada sisanya.

Dengan penyebut yang sama, tunjukkan bahwa $\frac14 < \frac27 < \frac13$ . Mengapa itu membuktikan bahwa $\frac14$ adalah pecahan satuan terbesar yang lebih kecil daripada $\frac27$ ?
Hitunglah $\frac27 - \frac14$ . Tulisan $\frac27$ yang mana yang dihasilkan cara rakus itu?
Sekarang ambillah $\frac57$ . Tunjukkan bahwa pecahan satuan terbesar yang lebih kecil daripada $\frac57$ adalah $\frac12$ , lalu hitunglah $\frac57 - \frac12$ .
Tunjukkan bahwa pecahan satuan terbesar yang lebih kecil daripada $\frac{3}{14}$ adalah $\frac15$ (bandingkan $\frac{3}{14}$ dengan $\frac14$ dan dengan $\frac15$ ), hitunglah $\frac{3}{14} - \frac15$ , lalu simpulkan:

$\frac57 = \frac12 + \frac15 + \frac{1}{70} .$

Periksalah tulisan ini secara langsung dengan penyebut yang sama $70$ .
Jalankan cara rakusnya pada $\frac45$ , dengan memeriksa pada tiap langkahnya bahwa pecahan satuanmu adalah yang terbesar yang muat, lalu periksalah tulisan akhirnya.

Bagian III — Mengapa caranya selalu berhenti, dan unta yang kedelapan belas.

Pada pertanyaan 7–10 caranya diterapkan pada $\frac27$ , $\frac57$ dan $\frac45$ . Untuk masing-masing, sebutkan pembilang sisa yang berturut-turut (sebelum penyederhanaan apa pun). Apa yang kamu amati?
Untuk pecahan $\frac ab$ dan bilangan bulat $n$ , tunjukkan bahwa

$\frac{a}{b} - \frac{1}{n} = \frac{a \times n - b}{b \times n} .$
Andaikan cara rakusnya mengurangkan $\frac1n$ dari $\frac ab$ : maka $\frac1n$ muat tetapi $\frac{1}{n-1}$ sudah terlalu besar, $\frac{1}{n-1} > \frac ab$ . Dengan menaruh keduanya pada penyebut yang sama $b \times (n - 1)$ , simpulkan bahwa $b > a \times n - a$ , jadi pembilang yang baru memenuhi

$a \times n - b < a .$

Jelaskan mengapa itu membuktikan bahwa caranya selalu berhenti.
Sebuah kisah lama: seorang ayah meninggal dengan mewariskan $17$ ekor unta, dengan $\frac12$ kawanannya untuk anak sulungnya, $\frac13$ untuk anak keduanya, $\frac19$ untuk anak ketiganya — dan tidak satu pun bagiannya berupa bilangan bulat unta. Seorang tetangga meminjamkan seekor unta kedelapan belas kepada keluarganya; anak-anaknya mengambil $9$ , $6$ dan $2$ ekor unta, lalu unta pinjamannya dikembalikan. Hitunglah $\frac12 + \frac13 + \frac19$ lalu jelaskan triknya: mengapa kawanannya dapat dibagi dalam unta yang utuh, dan mengapa tidak ada anak yang menerima kurang daripada yang dijanjikan wasiatnya?
Perbaikilah wasiatnya: usulkan tiga pecahan satuan yang berbeda-beda yang berjumlah tepat $1$ , lalu sebutkan besar kawanan yang terkecil yang membuat ketiga bagiannya berupa bilangan bulat unta.

Solusi

Solusi Soal 55.1.

1. $\frac12 + \frac13 = \frac36 + \frac26 = \frac56$ dan $\frac12 + \frac14 = \frac24 + \frac14 = \frac34$ . Jadi $\frac56 = \frac12 + \frac13$ dan $\frac34 = \frac12 + \frac14$ adalah tulisan Mesir (pecahan satuannya berbeda pada masing-masing).

2. Dengan penyebut yang sama $28$ :

\frac14 + \frac{1}{28} = \frac{7}{28} + \frac{1}{28} = \frac{8}{28} = \frac{2}{7} .

3. $\frac13 + \frac16 = \frac26 + \frac16 = \frac36 = \frac12$ , dan $\frac14 + \frac{1}{12} = \frac{3}{12} + \frac{1}{12} = \frac{4}{12} = \frac13$ . Secara umum, penyebut bersama $\frac{1}{n+1}$ dan $\frac{1}{n(n+1)}$ adalah $n(n+1)$ :

\frac{1}{n+1} + \frac{1}{n(n+1)} = \frac{n}{n(n+1)} + \frac{1}{n(n+1)} = \frac{n+1}{n(n+1)} = \frac{1}{n} .

4. Mulailah dari $1 = \frac12 + \frac12$ lalu pecahlah setengah yang kedua menurut pertanyaan 3:

1 = \frac12 + \frac13 + \frac16 ,

yaitu tiga pecahan satuan yang berbeda-beda.

5. Memecah $\frac13$ pada $\frac56 = \frac12 + \frac13$ memberi

\frac56 = \frac12 + \frac14 + \frac{1}{12} .

Tidak ada tulisan Mesir yang pernah tunggal: kesamaan pemecahannya selalu dapat mengganti pecahan satuan yang penyebutnya terbesar dengan dua pecahan satuan baru yang bahkan lebih kecil — jadi dari tulisan mana pun kita dapat membuat tulisan yang lain.

6. Dengan penyebut $21$ : $\frac27 = \frac{6}{21} < \frac{7}{21} = \frac13$ . Dengan penyebut $28$ : $\frac14 = \frac{7}{28} < \frac{8}{28} = \frac27$ . Pecahan satuan mengecil ketika penyebutnya membesar, $1 > \frac12 > \frac13 > \frac14 > \dots$ ; karena $\frac13$ (dan semua yang di atasnya) terlalu besar sedangkan $\frac14$ muat, $\frac14$ adalah pecahan satuan terbesar yang lebih kecil daripada $\frac27$ .

7. $\frac27 - \frac14 = \frac{8}{28} - \frac{7}{28} = \frac{1}{28}$ : cara rakusnya menghasilkan $\frac27 = \frac14 + \frac{1}{28}$ , persis catatan juru tulis pada pertanyaan 2.

8. Dengan penyebut $14$ : $\frac12 = \frac{7}{14} < \frac{10}{14} = \frac57$ , sedangkan satu-satunya pecahan satuan yang lebih besar, yaitu $1$ , melampaui $\frac57$ . Jadi $\frac12$ yang terbesar yang muat, dan

\frac57 - \frac12 = \frac{10}{14} - \frac{7}{14} = \frac{3}{14} .

9. Dengan penyebut $28$ : $\frac{3}{14} = \frac{6}{28} < \frac{7}{28} = \frac14$ , jadi $\frac14$ terlalu besar. Dengan penyebut $70$ : $\frac15 = \frac{14}{70} < \frac{15}{70} = \frac{3}{14}$ , jadi $\frac15$ muat: itulah pecahan satuan terbesar yang lebih kecil daripada $\frac{3}{14}$ . Lalu

\frac{3}{14} - \frac15 = \frac{15}{70} - \frac{14}{70} = \frac{1}{70}, \qquad\text{jadi}\qquad \frac57 = \frac12 + \frac15 + \frac{1}{70} .

Periksa: $\frac{35}{70} + \frac{14}{70} + \frac{1}{70} = \frac{50}{70} = \frac57$ .

10. Langkah pertama: $\frac12 = \frac{5}{10} < \frac{8}{10} = \frac45$ dan $1 > \frac45$ , jadi kurangkan $\frac12$ : $\frac45 - \frac12 = \frac{8}{10} - \frac{5}{10} = \frac{3}{10}$ . Langkah kedua: $\frac13 = \frac{10}{30} > \frac{9}{30} = \frac{3}{10}$ terlalu besar, sedangkan $\frac14 = \frac{5}{20} < \frac{6}{20} = \frac{3}{10}$ muat, jadi kurangkan $\frac14$ : $\frac{3}{10} - \frac14 = \frac{6}{20} - \frac{5}{20} = \frac{1}{20}$ . Kesimpulannya:

\frac45 = \frac12 + \frac14 + \frac{1}{20}, \qquad \frac{10}{20} + \frac{5}{20} + \frac{1}{20} = \frac{16}{20} = \frac45 . \checkmark

11. Pembilang sisa yang berturut-turut adalah: untuk $\frac27$ : $2$ , lalu $1$ ; untuk $\frac57$ : $5$ , lalu $3$ , lalu $1$ ; untuk $\frac45$ : $4$ , lalu $3$ , lalu $1$ . Tiap daftarnya turun secara tegas.

12. Penyebut bersama $\frac ab$ dan $\frac1n$ adalah $b \times n$ :

\frac{a}{b} - \frac{1}{n} = \frac{a \times n}{b \times n} - \frac{b}{b \times n} = \frac{a \times n - b}{b \times n} .

13. Pada penyebut bersama $b \times (n-1)$ , ketaksamaan $\frac{1}{n-1} > \frac ab$ membandingkan pembilang $b$ dan $a \times (n - 1)$ :

b > a \times (n - 1) = a \times n - a ,

dan menambahkan $a - b$ pada kedua ruasnya memberi $a > a \times n - b$ . Jadi sesudah tiap langkah rakusnya, pembilang sisanya (pertanyaan 12) adalah bilangan bulat yang benar-benar lebih kecil daripada sebelumnya. Bilangan bulat tidak dapat turun secara tegas selamanya: sesudah paling banyak $a$ langkah, sisanya berpembilang $1$ — yaitu pecahan satuan — atau bernilai $0$ , dan caranya berhenti.

14. Dengan penyebut yang sama $18$ :

\frac12 + \frac13 + \frac19 = \frac{9}{18} + \frac{6}{18} + \frac{2}{18} = \frac{17}{18} ,

yang lebih kecil daripada $1$ : wasiatnya melupakan $\frac{1}{18}$ kawanannya. Celah itulah seluruh triknya. Dari $18$ ekor unta, bagian $\frac12$ , $\frac13$ , $\frac19$ adalah bilangan bulat $9$ , $6$ dan $2$ , yang berjumlah $9 + 6 + 2 = 17$ : persis kawanannya, dan unta kedelapan belasnya pulang. Dan tidak ada yang dapat mengeluh: dari $17$ ekor unta, wasiatnya menjanjikan $\frac{17}{2} = 8.5$ , lalu $\frac{17}{3} \approx 5.67$ , lalu $\frac{17}{9} \approx 1.89$ ekor unta, dan tiap anaknya menerima benar-benar lebih banyak ( $9$ , $6$ dan $2$ ). Yang terlupakan, $\frac{1}{18}$ , adalah yang untuk sementara diisi unta tetangganya.

15. Pertanyaan 4 menyediakan wasiat yang sudah diperbaiki:

\frac12 + \frac13 + \frac16 = 1 .

Bagiannya berupa bilangan bulat kalau besar kawanannya habis dibagi $2$ , habis dibagi $3$ dan habis dibagi $6$ — yaitu habis dibagi $6$ . Kawanan terkecil seperti itu adalah $6$ ekor unta: bagiannya $3$ , $2$ dan $1$ , dan tidak ada yang tersisa.

Istilah yang didefinisikan dalam bab ini

Kebalikan

Lihat semua 395 istilah di glosarium