Matematika Sekolah Dasar dan Menengah · Grades 1–9

45Urutan Operasi Hitung

Berapa $3 + 4 \times 5$ ? Kalau kamu menghitung dari kiri ke kanan kamu memperoleh $35$ ; kalau kamu mengalikan lebih dulu kamu memperoleh $23$ . Matematika memerlukan satu jawaban saja, jadi ada aturan lalu lintas untuk perhitungan — yaitu urutan pengerjaannya. Bab ini menyatakan aturan itu lalu memperkenalkan kesamaan aljabar yang pertama, yaitu sifat distributif.

45.1 Aturan urutan pengerjaan

Teorema 45.1 (Aturan urutan pengerjaan)

Pada perhitungan tanpa tanda kurung:

perkalian dan pembagian dikerjakan sebelum penjumlahan dan pengurangan;
operasi yang setingkat dikerjakan dari kiri ke kanan.

Tanda kurung mengalahkan segalanya: yang ada di dalam kurung dihitung lebih dulu, dimulai dari kurung yang paling dalam.

Contoh 45.2

Satu langkah per baris, sambil menggarisbawahi (dalam hati) apa yang dihitung:

\begin{align*} 3 + 4 \times 5 &= 3 + 20 = 23 &&\text{(perkalian lebih dulu)}\\ 20 - 8 + 2 &= 12 + 2 = 14 &&\text{(setingkat: kiri ke kanan)}\\ 18 \div 3 \times 2 &= 6 \times 2 = 12 &&\text{(setingkat: kiri ke kanan)}\\ (3 + 4) \times 5 &= 7 \times 5 = 35 &&\text{(kurung lebih dulu).} \end{align*}

Perhatikan perangkapnya: $20 - 8 + 2$ itu bukan $20 - 10$ , dan $18 \div 3 \times 2$ itu bukan $18 \div 6$ .

Contoh 45.3 (Kurung bersarang)

\begin{align*} 50 - 2 \times \bigl(3 + (10 - 4)\bigr) &= 50 - 2 \times (3 + 6) && \text{(kurung terdalam)}\\ &= 50 - 2 \times 9 && \text{(kurung yang tersisa)}\\ &= 50 - 18 && \text{(perkalian)}\\ &= 32 . \end{align*}

Catatan 45.4 (Garis pecahan menyembunyikan tanda kurung)

Garis pecahan mengelompokkan pembilang dan penyebutnya, seolah-olah masing-masing punya tanda kurung yang tidak terlihat:

\frac{12 + 8}{4} = \frac{20}{4} = 5, \qquad\text{bukan}\quad 12 + \frac{8}{4} = 14 .

Metode 45.5 (Menghitung dengan aman)

Kenalilah operasi yang harus dikerjakan lebih dulu (kurung terdalam, lalu $\times$ dan $\div$ , lalu $+$ dan $-$ );
hitunglah hanya operasi itu, lalu tulis ulang seluruh bentuknya dengan hasilnya di tempat itu;
ulangi sampai tersisa satu bilangan — satu operasi per baris, tanpa jalan pintas.

45.2 Sifat distributif

Teorema 45.6 (Sifat distributif)

Untuk semua bilangan $k$ , $a$ , $b$ :

k \times (a + b) = k \times a + k \times b, \qquad k \times (a - b) = k \times a - k \times b .

Pembuktian dengan gambar. Bilanglah luas persegi panjang selebar $k$ yang dibelah menjadi dua persegi panjang yang lebih kecil dengan panjang $a$ dan $b$ : sebagai satu kesatuan luasnya $k \times (a+b)$ ; dalam dua bagian luasnya $k \times a + k \times b$ . Persegi panjang yang sama, luas yang sama. ∎

Sifat distributif sebagai luas: persegi panjang yang besar k × (a + b) adalah jumlah kedua persegi panjang yang kecil. — Sifat distributif sebagai luas: persegi panjang yang besar $k \times (a + b)$ adalah jumlah kedua persegi panjang yang kecil.

Contoh 45.7 (Kedua arahnya)

Menjabarkan (dari kiri ke kanan) memudahkan hitungan di kepala:

7 \times 103 = 7 \times (100 + 3) = 700 + 21 = 721, \qquad 6 \times 98 = 6 \times (100 - 2) = 600 - 12 = 588 .

Memfaktorkan (dari kanan ke kiri) mengumpulkan faktor bersamanya:

23 \times 12 + 23 \times 8 = 23 \times (12 + 8) = 23 \times 20 = 460 .

Contoh 45.8 (Menerjemahkan kata menjadi perhitungan)

“Jumlah dari $8$ dan hasil kali $5$ dengan $3$ ” adalah $8 + 5 \times 3 = 23$ . “Hasil kali $5$ dengan jumlah dari $8$ dan $3$ ” adalah $5 \times (8 + 3) = 55$ : kata “hasil kali … dengan jumlah dari…” memasang tanda kurung di sekeliling jumlahnya.

45.3 Latihan

Latihan 45.1 ★

Hitunglah, satu operasi per baris:

5 + 3 \times 6, \qquad (5 + 3) \times 6, \qquad 30 - 12 \div 4, \qquad (30 - 12) \div 4 .

Solusi

Solusi Latihan 45.1.

$5 + 3 \times 6 = 5 + 18 = 23$ .

$(5 + 3) \times 6 = 8 \times 6 = 48$ .

$30 - 12 \div 4 = 30 - 3 = 27$ .

$(30 - 12) \div 4 = 18 \div 4 = 4.5$ .

Latihan 45.2 ★

Hitunglah:

24 - 6 + 2, \qquad 24 \div 6 \times 2, \qquad 24 - 6 \times 2, \qquad 24 \div (6 \times 2).

Solusi

Solusi Latihan 45.2.

$24 - 6 + 2 = 18 + 2 = 20$ (kiri ke kanan).

$24 \div 6 \times 2 = 4 \times 2 = 8$ (kiri ke kanan).

$24 - 6 \times 2 = 24 - 12 = 12$ (perkalian lebih dulu).

$24 \div (6 \times 2) = 24 \div 12 = 2$ .

Latihan 45.3 ★

Hitunglah selangkah demi selangkah:

7 + 3 \times (10 - 6), \qquad 40 - (2 + 3) \times 4, \qquad 60 \div \bigl(2 \times (7 - 4)\bigr).

Solusi

Solusi Latihan 45.3.

$7 + 3 \times (10 - 6) = 7 + 3 \times 4 = 7 + 12 = 19$ .

$40 - (2 + 3) \times 4 = 40 - 5 \times 4 = 40 - 20 = 20$ .

$60 \div \bigl(2 \times (7 - 4)\bigr) = 60 \div (2 \times 3) = 60 \div 6 = 10$ .

Latihan 45.4 ★

Hitunglah pecahannya (ada kurung yang tidak terlihat!):

\frac{18 + 6}{8}, \qquad \frac{30}{7 - 2}, \qquad \frac{5 \times 8}{4 + 6} .

Solusi

Solusi Latihan 45.4.

$\dfrac{18 + 6}{8} = \dfrac{24}{8} = 3$ ; $\dfrac{30}{7 - 2} = \dfrac{30}{5} = 6$ ; $\dfrac{5 \times 8}{4 + 6} = \dfrac{40}{10} = 4$ .

Latihan 45.5 ★

Pakailah sifat distributif untuk menghitung di kepala:

8 \times 102, \qquad 25 \times 99, \qquad 14 \times 12 + 14 \times 8, \qquad 37 \times 45 - 37 \times 35 .

Solusi

Solusi Latihan 45.5.

$8 \times 102 = 8 \times (100 + 2) = 800 + 16 = 816$ .

$25 \times 99 = 25 \times (100 - 1) = 2500 - 25 = 2475$ .

$14 \times 12 + 14 \times 8 = 14 \times (12 + 8) = 14 \times 20 = 280$ .

$37 \times 45 - 37 \times 35 = 37 \times (45 - 35) = 37 \times 10 = 370$ .

Latihan 45.6 ★

Tulislah perhitungannya dalam satu baris, dengan tanda kurung bila perlu, lalu hitunglah: “selisih dari $50$ dan hasil kali $6$ dengan $7$ ”; “hasil kali dari jumlah $4$ dan $5$ dengan selisih $10$ dan $8$ ”.

Solusi

Solusi Latihan 45.6.

“Selisih dari $50$ dan hasil kali $6$ dengan $7$ ”: $50 - 6 \times 7 = 50 - 42 = 8$ (tidak perlu tanda kurung, urutan pengerjaannya sudah bekerja).

“Hasil kali dari jumlah $4$ dan $5$ dengan selisih $10$ dan $8$ ”: $(4 + 5) \times (10 - 8) = 9 \times 2 = 18$ .

Latihan 45.7 ★

Amir membeli $3$ buku tulis seharga $2.50$ masing-masing dan $2$ pena seharga $1.20$ masing-masing. Tulislah seluruh belanjanya dalam satu bentuk, lalu hitunglah.

Solusi

Solusi Latihan 45.7.

$3 \times 2.50 + 2 \times 1.20 = 7.50 + 2.40 = 9.90$ euro.

Latihan 45.8 ★★

Pasanglah tanda kurung pada $4 + 2 \times 5 - 1$ agar hasilnya: (a) $13$ ; (b) $29$ ; (c) $24$ . (Salah satu dari ketiganya tidak memerlukan tanda kurung sama sekali — yang mana?)

Solusi

Solusi Latihan 45.8.

(a) tanpa kurung: $4 + 2 \times 5 - 1 = 4 + 10 - 1 = 13$ .

(b) $(4 + 2) \times 5 - 1 = 30 - 1 = 29$ .

Latihan 45.9 ★★

Apakah $12 + 4 \times k$ dan $16 \times k$ sama untuk setiap bilangan $k$ ? Ujilah dengan $k = 1$ dan $k = 2$ , lalu simpulkan. Kesalahan urutan pengerjaan yang mana yang membawa dari yang satu ke yang lain?

Solusi

Solusi Latihan 45.9.

$k = 1$ : $12 + 4 \times 1 = 16$ dan $16 \times 1 = 16$ — keduanya cocok (itulah sebabnya $k = 1$ adalah uji yang buruk!). $k = 2$ : $12 + 4 \times 2 = 20$ tetapi $16 \times 2 = 32$ : berbeda. Jadi kedua bentuk itu tidak sama secara umum. Kesalahan $12 + 4 \times k = 16 \times k$ datang dari menjumlahkan $12 + 4$ lebih dulu, dengan mengabaikan urutan pengerjaan $\times$ .

Latihan 45.10 ★★

Karcis bioskop berharga $9$ euro, tetapi rombongan yang berisi $n$ orang membayar biaya tetap $12$ euro ditambah $6$ euro untuk tiap orang.

Tulislah bentuk untuk harga rombongan itu, lalu hitunglah untuk $n = 5$ .
Mulai dari berapa orang tarif rombongan lebih murah daripada $n$ karcis satuan? (Cobalah beberapa nilai $n$ .)

Solusi

Solusi Latihan 45.10.

1. Harga rombongan: $12 + 6 \times n$ . Untuk $n = 5$ : $12 + 30 = 42$ euro.

2. Harga satuan: $9n$ . Bandingkan: $n = 3$ : $30$ lawan $27$ (satuan lebih murah); $n = 4$ : $36$ lawan $36$ (sama); $n = 5$ : $42$ lawan $45$ (rombongan lebih murah). Mulai dari $5$ orang, tarif rombongan menang (setiap orang tambahan berharga $6$ dan bukan $9$ , jadi jaraknya hanya bertambah).

Latihan 45.11 ★★★

Dengan memakai masing-masing angka $1$ , $2$ , $3$ , $4$ tepat sekali, keempat operasi dan tanda kurung sesuka hati, tulislah bentuk yang sama dengan $24$ , dengan $10$ , dan dengan $1$ .

Solusi

Solusi Latihan 45.11.

Jawaban yang mungkin (ada banyak):

24 = 1 \times 2 \times 3 \times 4, \qquad 10 = 1 + 2 + 3 + 4, \qquad 1 = (4 - 3) \times (2 - 1).

45.4 Soal: Mengalikan seperti juru tulis Mesir

Soal 45.1

Soal akhir pekan — trik hitung di kepala dari sifat distributif, dan perkalian lipat dua–bagi dua yang dipakai selama empat ribu tahun

Jauh sebelum ada kalkulator — dan sebelum tabel perkalian dihafalkan di sekolah — para juru tulis Mesir dan petani Rusia mengalikan dua bilangan mana pun hanya dengan melipatduakan, membagi dua dan menjumlahkan. Caranya tampak seperti sihir; sebenarnya itu sifat distributif (Teorema 45.6) yang bekerja dengan tenaga penuh. Soal ini mengasah hitungan di kepalamu, lalu mengajarkan cara kuno itu, lalu membuka kapnya untuk melihat dengan tepat mengapa ia berhasil.

Bagian I — Seni tidak menghitung.

Hitunglah di kepala, dengan menjabarkan seperti pada Contoh 45.7: $7 \times 102$ dan $9 \times 98$ .
Hitunglah di kepala, dengan memfaktorkan: $17 \times 13 + 17 \times 7$ dan $45 \times 101 - 45$ .
Trik “kali $5$ ”: untuk mengalikan dengan $5$ , kalikan dengan $10$ lalu bagi dua. Hitunglah $5 \times 87$ dengan cara ini, lalu jelaskan mengapa triknya sah.
Dua trik lagi untuk dijelaskan dan dipakai: mengalikan dengan $25$ dengan cara mengalikan dengan $100$ lalu membagi $4$ (hitunglah $25 \times 32$ ); mengalikan dengan $99$ dengan cara mengalikan dengan $100$ lalu mengurangi sekali (hitunglah $99 \times 47$ ).
Sebuah tembakan peringatan: sifat distributif menyebarkan sebuah faktor ke atas sebuah jumlah, tidak pernah ke atas hasil kali. Bandingkan $8 \times (5 + 3)$ dengan $8 \times 5 + 8 \times 3$ , lalu $8 \times (5 \times 3)$ dengan $(8 \times 5) \times (8 \times 3)$ : pasangan mana yang cocok, dan pasangan mana yang tidak?

Bagian II — Cara lipat dua–bagi dua. Inilah resep untuk $13 \times 24$ . Tulislah dua kolom. Kolom kiri: mulailah dari $13$ lalu bagi dua, dengan membuang sisanya, sampai $1$ : $13,\ 6,\ 3,\ 1$ . Kolom kanan: mulailah dari $24$ lalu lipatduakan sebanyak itu juga: $24,\ 48,\ 96,\ 192$ . Coretlah setiap baris yang bilangan kirinya genap, lalu jumlahkan bilangan kanan yang selamat.

Kerjakan resep itu untuk $13 \times 24$ : baris mana yang dicoret, jumlah berapa yang tersisa, dan apakah jumlah itu sama dengan $13 \times 24$ ?
Kalikan $21 \times 17$ dengan cara itu (bagi dua $21$ , lipatduakan $17$ ), lalu periksa jawabannya dengan perkalian biasa.
Kalikan $16 \times 25$ dengan cara itu. Berapa baris yang selamat, dan apa istimewanya kolom kiri yang bermula dari $1$ , $2$ , $4$ , $8$ , $16, \dots$ ?
Sekarang mengapa cara itu berhasil, selangkah demi selangkah. Berilah alasan setiap kesamaan dengan sifat distributif:

$13 \times 24 = (12 + 1) \times 24 = 12 \times 24 + 24 = 6 \times 48 + 24 .$

Pesan moralnya: membagi dua yang kiri dan melipatduakan yang kanan mempertahankan hasil kalinya — tetapi ketika bilangan kirinya ganjil, satu salinan bilangan kanannya terpisah dan harus ditabung. Bilangan mana yang ditabung baris pertama tabel itu?
Lanjutkan pembukuannya menuruni tabel: $6 \times 48 = 3 \times 96$ , lalu $3 \times 96 = 1 \times 192 + 96$ , lalu $1 \times 192 = 192$ . Kumpulkan semua yang ditabung di sepanjang jalan, lalu jelaskan mengapa bilangan yang ditabung itu tepat bilangan kolom kanan pada baris yang bilangan kirinya ganjil — yaitu baris yang disimpan resepnya.

Bagian III — Membuka kapnya: jumlah dari lipatan dua.

Pada pertanyaan 6, baris yang selamat bernilai $1$ , $4$ dan $8$ kali lipatan dua dari $24$ : caranya diam-diam menulis $13 \times 24 = (1 + 4 + 8) \times 24$ . Periksalah bahwa $1 + 4 + 8 = 13$ , lalu carilah lipatan dua mana ( $1$ , $2$ , $4$ , $8$ , $16$ ) yang disimpan caranya untuk $21$ pada pertanyaan 7.
Tulislah $25$ dan $42$ sebagai jumlah bilangan dari daftar lipatan dua $1, 2, 4, 8, 16, 32$ , dengan memakai masing-masing paling banyak sekali.
Jelaskan mengapa setiap bilangan cacah dapat ditulis dengan cara ini: ambillah bilangan lipatan dua terbesar yang muat, kurangkan, lalu ulangi — mengapa ini pasti berhenti? Tulislah $100$ sebagai jumlah semacam itu.
Para juru tulis Mesir melakukan persis ini, empat ribu tahun yang lalu: untuk mengalikan $19 \times 35$ , mereka membuat tabel lipatan dua dari $35$ ( $1 \to 35$ , $2 \to 70$ , $4 \to 140$ , $8 \to 280$ , $16 \to 560$ ), memilih baris yang berjumlah $19$ , lalu menjumlahkannya. Kerjakan perhitungannya dengan cara mereka.
Penutupnya: komputer modern, yang membilang dengan angka $0$ dan $1$ , mengalikan pada dasarnya seperti para juru tulis itu — dengan lipatan dua dan penjumlahan. Tiga penjumlahan yang mana yang akan dilakukan komputer untuk $13 \times 24$ ? (Mengapa setiap bilangan terpecah menjadi lipatan dua, dan apa hubungan angka $0$ dan $1$ dengan hal itu, adalah soal akhir pekan bab Perpangkatan: Soal 56.1.)

Solusi

Solusi Soal 45.1.

1. $7 \times 102 = 7 \times (100 + 2) = 700 + 14 = 714$ ; $9 \times 98 = 9 \times (100 - 2) = 900 - 18 = 882$ .

2. $17 \times 13 + 17 \times 7 = 17 \times (13 + 7) = 17 \times 20 = 340$ ; $45 \times 101 - 45 = 45 \times (101 - 1) = 45 \times 100 = 4\,500$ .

3. $5 \times 87 = 870 \div 2 = 435$ . Kesahihannya: $5 = 10 \div 2$ , jadi mengalikan dengan $5$ berarti mengalikan dengan $10$ lalu membagi dengan $2$ (urutan $\times$ dan $\div$ yang setingkat, dari kiri ke kanan, mengerjakan sisanya).

4. $25 \times 32 = 3\,200 \div 4 = 800$ , karena $25 = 100 \div 4$ . Dan $99 \times 47 = (100 - 1) \times 47 = 4\,700 - 47 = 4\,653$ : sifat distributif terhadap selisih (Teorema 45.6).

5. $8 \times (5 + 3) = 64$ dan $8 \times 5 + 8 \times 3 = 40 + 24 = 64$ : keduanya cocok — itulah sifat distributif. Tetapi $8 \times (5 \times 3) = 8 \times 15 = 120$ , sedangkan $(8 \times 5) \times (8 \times 3) = 40 \times 24 = 960$ : tidak cocok. Faktornya menyebar ke atas suku sebuah jumlah, bukan ke atas faktor sebuah hasil kali.

$13$	$24$	disimpan ( $13$ ganjil)
$6$	$48$	dicoret ( $6$ genap)
$3$	$96$	disimpan
$1$	$192$	disimpan

Jumlah bilangan kanan yang selamat: $24 + 96 + 192 = 312$ , dan memang $13 \times 24 = 312$ .

7. Membagi dua $21$ : $21, 10, 5, 2, 1$ ; melipatduakan $17$ : $17, 34, 68, 136, 272$ . Yang kirinya genap, $10$ dan $2$ , dicoret; yang selamat $17 + 68 + 272 = 357$ . Periksa: $21 \times 17 = 357$ .

8. Membagi dua $16$ : $16, 8, 4, 2, 1$ ; melipatduakan $25$ : $25, 50, 100, 200, 400$ . Setiap bilangan kirinya kecuali $1$ yang terakhir adalah genap: hanya satu baris yang selamat, dan jawabannya $400$ . Kolom kiri yang tersusun dari lipatan dua murni hanya menyimpan baris terakhirnya — caranya menyusut menjadi melipatduakan saja.

9. $13 = 12 + 1$ , jadi menurut sifat distributif $13 \times 24 = 12 \times 24 + 1 \times 24$ ; dan $12 \times 24 = 6 \times 48$ karena membagi dua satu faktor sambil melipatduakan faktor yang lain membiarkan hasil kalinya tetap ( $12 \times 24 = 6 \times 2 \times 24 = 6 \times 48$ ). Bilangan kiri $13$ yang ganjil memisahkan satu salinan bilangan kanannya: baris pertama menabung $24$ .

10. $6 \times 48 = 3 \times 96$ (bagi dua–lipat dua, tanpa menabung: $6$ genap). $3 \times 96 = 2 \times 96 + 96 = 1 \times 192 + 96$ : si ganjil $3$ menabung $96$ . Akhirnya $1 \times 192 = 192$ : si ganjil $1$ menabung $192$ dan tabelnya berakhir. Seluruh tabungan: $24 + 96 + 192 = 312$ . Sebuah baris menabung bilangan kanannya tepat ketika bilangan kirinya ganjil — jadi resep “simpan baris yang kirinya ganjil lalu jumlahkan” adalah persis pembukuan sifat distributif.

11. $1 + 4 + 8 = 13$ . Untuk $21$ , baris yang selamat adalah baris $17$ , $68 = 4 \times 17$ dan $272 = 16 \times 17$ : yaitu lipatan dua $1 + 4 + 16 = 21$ .

12. $25 = 16 + 8 + 1$ dan $42 = 32 + 8 + 2$ .

13. Ambillah bilangan lipatan dua terbesar yang tidak melebihi sasarannya lalu kurangkan; yang tersisa lebih kecil, dan lebih kecil daripada bilangan lipatan dua yang baru dipakai (kalau tidak, yang lebih besar akan muat). Kalau diulang, sisanya jelas mengecil dan pasti mencapai $0$ : prosesnya berhenti, dan lipatan dua yang dipakai semuanya berbeda. Untuk $100$ : $64$ muat (tersisa $36$ ), $32$ muat (tersisa $4$ ), $4$ muat (tersisa $0$ ): $100 = 64 + 32 + 4$ .

14. Tabel lipatan dua dari $35$ : $1 \to 35$ , $2 \to 70$ , $4 \to 140$ , $8 \to 280$ , $16 \to 560$ . Karena $19 = 16 + 2 + 1$ , pilihlah baris itu: $560 + 70 + 35 = 665$ . Periksa: $19 \times 35 = 665$ .

15. Ketiganya sama seperti milik juru tulis dan petani tadi: $24 + 96 + 192$ — lipatan dua dari $24$ yang dipilih oleh $13 = 1 + 4 + 8$ . Menulis bilangan sebagai jumlah lipatan dua tepat sama dengan menulisnya dengan angka $0$ dan $1$ ; ceritanya yang lengkap dituturkan pada Soal 56.1.