38Bilangan Desimal

Solusi Soal 38.1.

1. $3$ yang lebih besar: setelah dilengkapi, $3.000 > 2.999$. Selisihnya $3.000 - 2.999 = 0.001$, yaitu satu perseribu.

2. Tepat di antara $7.4 = 7.40$ dan $7.5 = 7.50$ terletak

sembilan bilangan, satu untuk tiap tanda skala yang baru.

3. Gambar yang sama, sepuluh kali lebih kecil: antara $7.440$ dan $7.450$ terletak $7.441, 7.442, \dots, 7.449$ — sembilan bilangan lagi.

4. Antara $7.400$ dan $7.500$, bilangan dengan tiga angka desimal adalah $7.401, 7.402, \dots, 7.499$: semua perseribuan dari $401$ sampai $499$, yaitu $99$ bilangan.

5. Resep perbesarannya: tulislah kedua bilangan dengan banyak tempat desimal yang sama, lalu tambahkan satu tempat desimal lagi — bilangan yang lebih kecil diikuti sebuah angka dari $1$ sampai $9$ mendarat tepat di antara keduanya. Memang $5.67 = 5.670$ dan $5.68 = 5.680$, dan

begitu pula $0.1999 = 0.19990 < 0.19995 < 0.20000 = 0.2$. Di antara dua tanda skala yang bertetangga selalu ada satu tingkat baru berisi sembilan skala yang lebih halus.

6. $3 < 3.05 < 3.1$; lalu $3 < 3.005 < 3.01$; lalu $3 < 3.0005 < 3.001$. Setiap calon dikalahkan oleh satu perbesaran lagi.

7. Bilangan apa pun yang diajukan Tono — sebut saja calonnya, yang lebih besar daripada $3$ — pertanyaan 5 menghasilkan bilangan yang terletak tepat di antara $3$ dan calon itu. Jadi calonnya bukan bilangan yang paling dekat dengan $3$: ada yang lebih dekat lagi. Karena hal ini terjadi pada setiap calon tanpa kecuali, tidak ada bilangan yang dapat menjadi “bilangan tepat sesudah $3$”: bilangan itu memang tidak ada.

8. $2.9 < 2.95 < 3$, $2.99 < 2.995 < 3$, $2.999 < 2.9995 < 3$. Dan $3 - 2.999 = 0.001$. Dengan dua puluh angka sembilan, selisihnya adalah sebuah titik desimal yang diikuti sembilan belas nol dan sebuah $1$ — satu satuan pada tempat desimal kedua puluh: sangat kecil, tetapi bukan nol. Sebanyak apa pun angka sembilan yang ditulis Tono, ia tidak pernah mencapai $3$.

9. Bilangan cacah menaiki tangga selangkah $1$: lebih dari $7$ tetapi kurang dari $8$ berarti bilangan cacah satuan yang terletak tepat di antara $7$ dan $8$ satuan, dan bilangan itu tidak ada. Perbesaran meloloskan diri dari hal ini hanya dengan menulis angka sesudah titik — justru yang tidak dimiliki bilangan cacah.

10. Panjang terkecil yang membulat menjadi $3.7$ adalah $3.65$ cm: angka berikutnya $5$, yang dibulatkan ke atas (Definisi 38.9). Dan $3.75$ membulat naik menjadi $3.8$ karena alasan yang sama. Jadi “$3.7$ cm ke persepuluhan terdekat” berarti: sedikitnya $3.65$ cm, dan tepat di bawah $3.75$ cm — seluruh ruas yang diperbesar berisi panjang yang mungkin, bersembunyi di balik satu nilai yang dibulatkan.

11. $0.0999 < 0.123 < 0.58 < 0.6$. Satu kalimat: membandingkan angka demi angka dari kiri, $0.0999$ punya $0$ persepuluhan sedangkan $0.6$ punya $6$, dan perbandingannya selesai di situ — banyaknya angka yang ditulis tidak mengatakan apa-apa tentang besarnya (Metode 38.3).

12. Tidak: dalam sen, $4.99$ euro adalah $499$ sen dan $5$ euro adalah $500$ sen — bilangan cacah yang berurutan, tanpa apa pun di antaranya. Harga, yang punya tepat dua tempat desimal, sebenarnya adalah bilangan cacah sen yang menyamar: seperti bilangan cacah pada pertanyaan 9, harga memang punya tetangga sebelah. Perbesaran tanpa henti memerlukan hak untuk menulis tempat desimal yang makin banyak.

13. Calon di dekat $6$ adalah $5.82$ dan $8.25$ (bilangan yang diawali $2$, atau $58$, $25$, $82$, $85$, jauh dari $6$). Jaraknya: $6 - 5.82 = 0.18$ dan $8.25 - 6 = 2.25$. Yang paling dekat adalah $5.82$.

14. Misalnya $3.1415$, karena $3.1410 < 3.1415 < 3.1420$; lalu $3.14159$, karena $3.14150 < 3.14159 < 3.14160$. (Keduanya adalah langkah nyata dalam perburuan $\pi = 3.14159\dots$ yang sesungguhnya.)

15. Andaikan seseorang menyebut sebuah bilangan, sebesar apa pun yang ia mau. Satu perbesaran mengubah setiap pasang skala bertetangga antara $0$ dan $1$ menjadi sembilan bilangan baru, dan perbesaran itu dapat diulang selamanya — pertanyaan 2, 3 dan 4 hanyalah dua tingkat yang pertama. Mengulangnya cukup banyak kali menghasilkan bilangan desimal antara $0$ dan $1$ yang lebih banyak daripada bilangan yang disebut tadi. Jadi tidak ada bilangan yang cukup besar untuk membilangnya: banyaknya tak hingga.