Matematika Sekolah Dasar dan Menengah · Grades 1–9

58Teorema Pythagoras

Teorema yang paling terkenal dalam seluruh matematika menghubungkan ketiga sisi segitiga siku-siku. Dengannya, panjang yang tidak dapat diukur langsung penggaris mana pun menjadi terhitung: diagonal, jarak, tinggi. Ini juga perjumpaan besar kita yang pertama dengan bedanya sebuah teorema dan konversnya.

58.1 Teoremanya

Teorema 58.1 (Pythagoras)

Kalau segitiga $ABC$ siku-siku di $A$ , maka

BC^2 = AB^2 + AC^2 :

kuadrat sisi miringnya (yaitu sisi di seberang sudut siku-sikunya) sama dengan jumlah kuadrat kedua sisi lainnya.

Gagasan buktinya. Empat salinan segitiganya, yang disusun di dalam persegi besar bersisi $AB + AC$ , menyisakan persegi miring yang terbangun pada sisi miringnya tanpa tertutupi: membandingkan luasnya memberi kesamaannya. Perhitungan rincinya diusulkan sebagai Latihan 58.11; teoremanya juga menyusul dari hasil kali skalar, yang dipelajari di buku Sekolah Menengah. ∎

Teoremanya sebagai pernyataan tentang luas: persegi yang terbangun pada sisi miringnya (25) punya luas yang persis sama dengan kedua persegi lainnya bersama-sama (16 + 9). Di sini sisinya 3, 4, 5. — Teoremanya sebagai pernyataan tentang luas: persegi yang terbangun pada sisi miringnya ( $25$ ) punya luas yang persis sama dengan kedua persegi lainnya bersama-sama ( $16 + 9$ ). Di sini sisinya $3$ , $4$ , $5$ .

Metode 58.2 (Menghitung sebuah panjang)

Pada segitiga siku-siku yang dua sisinya diketahui:

sebutkan sisi miringnya (yang di seberang sudut siku-sikunya — selalu sisi yang terpanjang);
tulislah kesamaan Teorema 58.1 dengan nilai yang diketahui;
carilah kuadrat yang hilang: jumlahkan kuadratnya kalau sisi miringnya belum diketahui, kurangkan kalau sisi siku-sikunya yang belum diketahui;
ambillah akar kuadratnya, secara persis atau dengan kalkulator, lalu periksalah bahwa sisi miringnya keluar sebagai yang terpanjang.

Contoh 58.3 (Mencari sisi miringnya)

Sebuah segitiga siku-siku punya sisi siku-siku $6$ dan $8$ . Sisi miringnya $c$ :

c^2 = 6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100, \qquad c = \sqrt{100} = 10 .

(Bilangan $\sqrt{100}$ , yaitu akar kuadrat $100$ , adalah bilangan positif yang kuadratnya $100$ ; akar kuadrat memperoleh satu bab penuh pada Bab 65.)

Contoh 58.4 (Mencari sisi siku-siku)

Tangga sepanjang $5$ m bersandar pada tembok, kakinya $1.4$ m dari tembok. Tinggi yang tercapai $h$ : tangganya adalah sisi miringnya, jadi

h^2 = 5^2 - 1.4^2 = 25 - 1.96 = 23.04, \qquad h = \sqrt{23.04} = 4.8 \text{ m}.

Kurangkan, bukan jumlahkan: yang belum diketahui di sini adalah sisi siku-siku.

58.2 Konversnya

Teorema 58.5 (Konvers Pythagoras)

Kalau, pada segitiga $ABC$ , sisinya memenuhi $BC^2 = AB^2 + AC^2$ , maka segitiganya siku-siku di $A$ .

Bukti. Diterima tanpa bukti pada tingkat ini. ∎

Metode 58.6 (Menguji sudut siku-siku)

Diberikan ketiga sisi sebuah segitiga:

hitunglah secara terpisah kuadrat sisi terpanjangnya, dan jumlah kuadrat kedua sisi lainnya;
kalau kedua hasilnya sama, segitiganya siku-siku (menurut konversnya), di titik sudut yang di seberang sisi terpanjangnya;
kalau keduanya berbeda, segitiganya tidak siku-siku — karena teorema Pythagoras akan memaksa kesamaannya.

Contoh 58.7

Sisi $5$ , $12$ , $13$ : kuadrat sisi terpanjangnya, $13^2 = 169$ ; jumlah kuadrat sisi lainnya, $5^2 + 12^2 = 25 + 144 = 169$ . Sama: siku-siku (di seberang sisi $13$ ).

Sisi $6$ , $7$ , $9$ : $9^2 = 81$ tetapi $6^2 + 7^2 = 85 \neq 81$ : bukan segitiga siku-siku (ia “hampir” siku-siku — bilangannya yang memutuskan, bukan matanya).

Catatan 58.8 (Teorema melawan konversnya)

Teoremanya dan konversnya mengatakan hal yang berbeda: teoremanya memakai sudut siku-siku untuk menghitung panjang; konversnya memakai panjang untuk membuktikan adanya sudut siku-siku. Tukang bangunan sudah memakai konversnya selama ribuan tahun: tali bersimpul pada satuan $3$ , $4$ , $5$ yang ditarik tegang memberi sudut siku-siku yang sempurna.

Contoh 58.9 (Diagonal sebuah persegi)

Diagonal persegi bersisi $1$ adalah sisi miring segitiga siku-siku dengan sisi siku-siku $1$ dan $1$ :

d^2 = 1^2 + 1^2 = 2 ,

jadi $d = \sqrt2 \approx 1.414$ — bilangan yang bukan pecahan, seperti yang akan dibuktikan buku Sekolah Menengah. Untuk persegi bersisi $c$ , diagonalnya adalah $c\sqrt2$ .

58.3 Latihan

Latihan 58.1 ★

Pada tiap segitiga siku-siku ini, hitunglah sisi miringnya: sisi siku-siku $9$ dan $12$ ; $5$ dan $12$ ; $8$ dan $15$ .

Solusi

Solusi Latihan 58.1.

$\sqrt{81 + 144} = \sqrt{225} = 15$ ; $\sqrt{25 + 144} = \sqrt{169} = 13$ ; $\sqrt{64 + 225} = \sqrt{289} = 17$ .

Latihan 58.2 ★

Sebuah segitiga siku-siku punya sisi miring $25$ dan satu sisi siku-siku $7$ . Hitunglah sisi siku-siku yang lain.

Solusi

Solusi Latihan 58.2.

Sisi siku-siku $^2 = 25^2 - 7^2 = 625 - 49 = 576$ , jadi sisi siku-sikunya adalah $\sqrt{576} = 24$ .

Latihan 58.3 ★

Hitunglah diagonal persegi panjang bersisi $12$ cm dan $9$ cm; lalu diagonal persegi bersisi $5$ cm (nilai persisnya dengan akar kuadrat, lalu dibulatkan ke mm).

Solusi

Solusi Latihan 58.3.

Persegi panjang: $\sqrt{12^2 + 9^2} = \sqrt{144 + 81} = \sqrt{225} = 15$ cm.

Persegi: $d = 5\sqrt2 \approx 7.1$ cm (Contoh 58.9).

Latihan 58.4 ★

Segitiga yang mana yang siku-siku? Berilah alasan dengan Metode 58.6:

(20,\ 21,\ 29); \qquad (7,\ 8,\ 11); \qquad (1.5,\ 2,\ 2.5).

Solusi

Solusi Latihan 58.4.

$(20, 21, 29)$ : $29^2 = 841$ dan $20^2 + 21^2 = 400 + 441 = 841$ : siku-siku.

$(7, 8, 11)$ : $121 \neq 49 + 64 = 113$ : bukan siku-siku.

$(1.5, 2, 2.5)$ : $6.25 = 2.25 + 4$ : siku-siku (ini $(3,4,5)$ yang dibagi dua).

Latihan 58.5 ★

Sebuah pintu gerbang diperkuat papan menyilang. Lebar gerbangnya $3$ m dan tingginya $1.6$ m: berapa panjang papannya?

Solusi

Solusi Latihan 58.5.

Papannya $= \sqrt{3^2 + 1.6^2} = \sqrt{9 + 2.56} = \sqrt{11.56} = 3.4$ m.

Latihan 58.6 ★

Sebuah segitiga sama kaki punya dua sisi $10$ cm dan alas $12$ cm. Tingginya membelahnya menjadi dua segitiga siku-siku: hitunglah tinggi itu, lalu luas segitiganya.

Solusi

Solusi Latihan 58.6.

Tingginya jatuh di titik tengah alasnya (karena segitiga sama kaki), jadi tiap setengah segitiganya punya sisi miring $10$ dan satu sisi siku-siku $6$ : $h = \sqrt{100 - 36} = \sqrt{64} = 8$ cm. Luasnya: $\frac{12 \times 8}{2} = 48$ cm $^2$ .

Latihan 58.7 ★★

Layar televisi adalah persegi panjang $16{:}9$ berukuran $88.5$ cm kali $49.8$ cm. Layar dijual menurut diagonalnya, dalam inci ( $1$ inci $= 2.54$ cm). Hitunglah diagonalnya dalam cm, lalu dalam inci (bulatkan ke inci terdekat).

Solusi

Solusi Latihan 58.7.

Diagonalnya: $\sqrt{88.5^2 + 49.8^2} = \sqrt{7832.25 + 2480.04} = \sqrt{10312.29} \approx 101.5$ cm. Dalam inci: $101.5 \div 2.54 \approx 40$ inci.

Latihan 58.8 ★★

Sebuah perahu berlayar $24$ km ke timur, lalu $10$ km ke utara. Berapa jarak perahunya dari titik awalnya (lurus menyeberang)? Gambarlah keadaannya lebih dahulu.

Solusi

Solusi Latihan 58.8.

Kedua sisi siku-sikunya $24$ km dan $10$ km: $\sqrt{24^2 + 10^2} = \sqrt{576 + 100} = \sqrt{676} = 26$ km.

Latihan 58.9 ★★

Tangga sepanjang $2.5$ m harus mencapai ambang jendela $2.4$ m di atas tanah. Berapa jauh dari tembok kakinya harus diletakkan? Apakah jawabannya cocok dengan anjuran keselamatan (kakinya kira-kira seperempat panjang tangganya dari tembok)?

Solusi

Solusi Latihan 58.9.

Jarak kakinya: $\sqrt{2.5^2 - 2.4^2} = \sqrt{6.25 - 5.76} = \sqrt{0.49} = 0.7$ m. Seperempat panjang tangganya adalah $2.5 \div 4 \approx 0.6$ m: $0.7$ m yang ditemukan dekat dengan letak yang dianjurkan — dapat diterima.

Latihan 58.10 ★★

Pada kisi berkoordinat, gambarlah $A(1, 2)$ dan $B(5, 5)$ , lalu gambarlah segitiga siku-siku yang sisi siku-sikunya sejajar dengan sumbunya dan sisi miringnya $[AB]$ . Hitunglah $AB$ . (Pelukisan ini, untuk dua titik mana pun, menjadi rumus jarak pada geometri berkoordinat, di buku Sekolah Menengah.)

Solusi

Solusi Latihan 58.10.

Sisi siku-sikunya berukuran $5 - 1 = 4$ (mendatar) dan $5 - 2 = 3$ (tegak), jadi

AB = \sqrt{4^2 + 3^2} = \sqrt{25} = 5 .

Latihan 58.11 ★★★

Empat salinan segitiga siku-siku dengan sisi siku-siku $a$ , $b$ dan sisi miring $c$ diletakkan di pojok persegi bersisi $a + b$ , sehingga menyisakan persegi miring bersisi $c$ tanpa tertutupi di tengahnya.

Nyatakan luas persegi besarnya dengan dua cara: secara langsung, dan sebagai (empat segitiga) $+$ (persegi miring).
Jabarkan $(a + b)^2$ (lihat Teorema 57.1) lalu simpulkan $c^2 = a^2 + b^2$ : kamu sudah membuktikan teorema Pythagoras.

Solusi

Solusi Latihan 58.11.

1. Secara langsung: $(a + b)^2$ . Sebagai kepingan: empat segitiga yang luasnya $\frac{ab}{2}$ masing-masing, ditambah persegi miringnya $c^2$ :

(a + b)^2 = 4 \times \frac{ab}{2} + c^2 = 2ab + c^2 .

2. Dengan menjabarkan ruas kirinya: $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$ . Jadi

a^2 + 2ab + b^2 = 2ab + c^2 \quad\Longrightarrow\quad a^2 + b^2 = c^2 . \qed

58.4 Soal: Tripel Pythagoras

Soal 58.1

Soal akhir pekan — segitiga siku-siku berbilangan bulat, dan kesamaan $(m^2 - n^2)^2 + (2mn)^2 = (m^2 + n^2)^2$ yang membangkitkan semuanya

Tripel Pythagoras adalah tripel bilangan bulat $(a, b, c)$ dengan

a^2 + b^2 = c^2 ,

seperti $(3, 4, 5)$ milik tukang bangunan. Sebuah lempeng tanah liat Babilonia mendaftar tripel yang raksasa — $(4601,\ 4800,\ 6649)$ di antaranya — lebih dari seribu tahun sebelum Pythagoras. Soal ini memburu tripel, lalu membangun mesin yang menghasilkannya: sebuah kesamaan aljabar yang langsung datang dari Bab 57, yang dipekerjakan untuk melayani geometri.

Bagian I — Memburu tripel.

Periksalah bahwa $(5, 12, 13)$ , $(8, 15, 17)$ dan $(20, 21, 29)$ adalah tripel Pythagoras. Apa yang dikatakan Teorema 58.5 tentang segitiga yang panjang sisinya demikian?
Jelaskan mengapa tali tegang dengan dua belas ruas yang sama, yang ditata sebagai segitiga bersisi $3$ , $4$ dan $5$ ruas, memberi tukang bangunan sudut siku-siku yang sempurna.
Tunjukkan bahwa kalau $(a, b, c)$ tripel Pythagoras, maka $(ka, kb, kc)$ juga, untuk setiap bilangan bulat $k \geq 1$ . Simpulkan tiga tripel baru dari $(3, 4, 5)$ .
Kelipatan $(3, 4, 5)$ adalah tripel $(3k, 4k, 5k)$ . Tunjukkan bahwa $(5, 12, 13)$ bukan salah satunya.
Jelaskan mengapa pertanyaan 3 dan 4 bersama-sama membuktikan bahwa menskalakan $(3, 4, 5)$ tidak pernah dapat menghasilkan setiap tripel Pythagoras: mesin yang lain diperlukan.

Bagian II — Mesinnya. Ambillah dua bilangan bulat $m > n \geq 1$ lalu bentuklah ketiga bilangan

a = m^2 - n^2, \qquad b = 2mn, \qquad c = m^2 + n^2 .

Dengan memakai kesamaan istimewa Soal 57.1 (tulislah $A = m^2$ dan $B = n^2$ ), jabarkan $a^2$ dan $b^2$ , lalu buktikan bahwa

$\left(m^2 - n^2\right)^2 + (2mn)^2 = \left(m^2 + n^2\right)^2 :$

mesinnya selalu mengeluarkan tripel Pythagoras.
Jalankan mesinnya pada $(m, n) = (2, 1)$ , $(3, 1)$ , $(3, 2)$ , $(4, 1)$ dan $(4, 3)$ , lalu tampilkan kelima tripelnya dalam sebuah tabel.
Satu tripel pada tabelmu adalah salinan terskala dari tripel yang lebih kecil. Yang mana, dan dari yang mana?
Carilah $(m, n)$ yang membuat mesinnya mengeluarkan tripel $(20, 21, 29)$ pada pertanyaan 1 (sisi siku-sikunya dalam urutan mana pun).
Carilah $m$ dan $n$ dengan $m^2 + n^2 = 100$ , lalu simpulkan tripel Pythagoras yang sisi miringnya $100$ .

Bagian III — Keluarga, dan penutup tentang keganjilan.

Jalankan mesinnya dengan $m = n + 1$ . Tunjukkan bahwa sisi siku-siku yang ganjil adalah $2n + 1$ , yang genap $2n^2 + 2n$ , dan sisi miringnya $2n^2 + 2n + 1$ — jadi sisi miring dan sisi siku-siku yang genap berbeda tepat $1$ . Tulislah tripelnya untuk $n = 1, 2, 3, 4$ .
Simpulkan bahwa setiap bilangan ganjil $3, 5, 7, 9, \dots$ adalah sisi suatu segitiga siku-siku berbilangan bulat, lalu sebutkan tripel yang memuat $11$ .
Bilangan genap juga berhasil: jalankan mesinnya dengan $n = 1$ , lalu hasilkan tripel yang memuat $14$ . Lalu perolehlah tripel yang sama untuk kedua kalinya, dengan menskalakan salah satu tripel pada tabel pertanyaan 7.
Tunjukkan bahwa kuadrat bilangan genap itu genap dan bahwa kuadrat bilangan ganjil itu ganjil. (Tulislah bilangannya sebagai $2k$ atau $2k + 1$ lalu pakailah sebuah kesamaan.)
Simpulkan penutup tentang keganjilannya: tidak ada tripel Pythagoras yang ketiga bilangannya ganjil — pada setiap segitiga siku-siku berbilangan bulat, sedikitnya satu sisinya genap.

Solusi

Solusi Soal 58.1.

1. $5^2 + 12^2 = 25 + 144 = 169 = 13^2$ ; $8^2 + 15^2 = 64 + 225 = 289 = 17^2$ ; $20^2 + 21^2 = 400 + 441 = 841 = 29^2$ . Ketiganya tripel, dan menurut Teorema 58.5 segitiga yang panjang sisinya demikian adalah siku-siku, dengan sudut siku-sikunya menghadap sisi terpanjangnya.

2. Talinya membentuk segitiga bersisi $3$ , $4$ , $5$ (dalam ruas), dan $3^2 + 4^2 = 25 = 5^2$ : menurut konversnya (Teorema 58.5), sudut antara sisi $3$ dan $4$ ruas itu tepat siku-siku — tanpa busur derajat, hanya dengan simpul.

3. Kalau $a^2 + b^2 = c^2$ , maka

(ka)^2 + (kb)^2 = k^2 a^2 + k^2 b^2 = k^2\left(a^2 + b^2\right) = k^2 c^2 = (kc)^2 .

Dari $(3, 4, 5)$ : misalnya $(6, 8, 10)$ , $(9, 12, 15)$ dan $(30, 40, 50)$ .

4. Kelipatan $(3k, 4k, 5k)$ yang memuat $5$ sebagai bilangan terkecilnya memerlukan $3k = 5$ , dan tidak ada bilangan bulat $k$ yang memenuhinya ( $k = 1$ memberi $3$ , $k = 2$ memberi $6$ ). Jadi $(5, 12, 13)$ bukan kelipatan $(3, 4, 5)$ .

5. Pertanyaan 3 menunjukkan bahwa penskalaan hanya menghasilkan tripel $(3k, 4k, 5k)$ ; pertanyaan 4 memperlihatkan tripel sungguhan yang tidak berbentuk demikian. Jadi keluarga semua tripel Pythagoras benar-benar lebih besar daripada kelipatan $(3, 4, 5)$ : menghasilkan semuanya menuntut sesuatu yang baru.

6. Tulislah $A = m^2$ dan $B = n^2$ . Menurut kesamaan istimewa (Soal 57.1):

a^2 = (A - B)^2 = A^2 - 2AB + B^2, \qquad b^2 = (2mn)^2 = 4m^2n^2 = 4AB .

Dengan menjumlahkannya:

a^2 + b^2 = A^2 - 2AB + B^2 + 4AB = A^2 + 2AB + B^2 = (A + B)^2 = \left(m^2 + n^2\right)^2 = c^2 .

$(m, n)$	$m^2 - n^2$	$2mn$	$m^2 + n^2$
$(2, 1)$	$3$	$4$	$5$
$(3, 1)$	$8$	$6$	$10$
$(3, 2)$	$5$	$12$	$13$
$(4, 1)$	$15$	$8$	$17$
$(4, 3)$	$7$	$24$	$25$

8. $(8, 6, 10)$ adalah dua kali $(4, 3, 5)$ — yaitu dua kali $(3, 4, 5)$ milik tukang bangunan. Mesinnya kadang menemukan kembali tripel lama dalam samaran.

9. Kita perlu $m^2 - n^2 = 21$ dan $2mn = 20$ , jadi $mn = 10$ : mencoba $m = 5$ , $n = 2$ memberi $25 - 4 = 21$ dan $2 \times 10 = 20$ , dengan sisi miring $25 + 4 = 29$ . Mesinnya mengeluarkan $(21, 20, 29)$ untuk $(m, n) = (5, 2)$ .

10. $m = 8$ , $n = 6$ memberi $m^2 + n^2 = 64 + 36 = 100$ . Tripelnya adalah

\left(64 - 36,\ 2 \times 48,\ 100\right) = (28,\ 96,\ 100),

dan memang $28^2 + 96^2 = 784 + 9216 = 10\,000 = 100^2$ .

11. Dengan $m = n + 1$ :

m^2 - n^2 = (n + 1)^2 - n^2 = 2n + 1

(yaitu selisih kuadrat yang berurutan, Soal 57.1); $2mn = 2n(n + 1) = 2n^2 + 2n$ ; dan $m^2 + n^2 = n^2 + n^2 + 2n + 1 = 2n^2 + 2n + 1$ . Sisi miringnya melampaui sisi siku-siku yang genap tepat $1$ . Untuk $n = 1, 2, 3, 4$ :

(3, 4, 5), \quad (5, 12, 13), \quad (7, 24, 25), \quad (9, 40, 41) .

12. Setiap bilangan ganjil yang sedikitnya $3$ berbentuk $2n + 1$ untuk suatu $n \geq 1$ , dan pertanyaan 11 menyediakan tripel yang sisi siku-siku ganjilnya persis $2n + 1$ . Untuk $11 = 2 \times 5 + 1$ , ambillah $n = 5$ :

(11,\ 60,\ 61), \qquad 11^2 + 60^2 = 121 + 3600 = 3721 = 61^2 .

13. Dengan $n = 1$ mesinnya memberi $\left(m^2 - 1,\ 2m,\ m^2 + 1\right)$ , yang sisi siku-siku genapnya $2m$ dapat menjadi bilangan genap apa pun mulai dari $4$ . Untuk $14 = 2 \times 7$ , ambillah $m = 7$ : tripelnya $(48, 14, 50)$ . Tripel yang sama muncul dengan menggandakan $(7, 24, 25)$ dari tabel pertanyaan 7: $(14, 48, 50)$ — ketiga bilangan yang sama.

14. Bilangan genap berbentuk $2k$ , dan $(2k)^2 = 4k^2$ itu genap (kelipatan $4$ , jadi genap). Bilangan ganjil berbentuk $2k + 1$ , dan kesamaan istimewa yang pertama memberi

(2k + 1)^2 = 4k^2 + 4k + 1 = 2\left(2k^2 + 2k\right) + 1 ,

yaitu bilangan genap ditambah $1$ : jadi ganjil.

15. Andaikan $a$ , $b$ , $c$ semuanya ganjil. Menurut pertanyaan 14, $a^2$ dan $b^2$ ganjil, jadi $a^2 + b^2$ adalah jumlah dua bilangan ganjil: genap. Tetapi $c^2$ akan ganjil. Kesamaan $a^2 + b^2 = c^2$ kalau begitu mustahil. Jadi pada setiap tripel Pythagoras sedikitnya satu dari ketiga bilangannya genap — seperti yang dibenarkan setiap baris tabel pertanyaan 7.