Matematika Sekolah Dasar dan Menengah · Grades 1–9

33Lukisan Geometri

Penggaris, penggaris siku, jangka: dengan tiga alat ini dan sedikit cara kerja, setiap gambar yang dijelaskan dengan kata-kata dapat dibangun dengan tepat. Bab ini melukis garis tegak lurus, garis sejajar, segitiga dan segi empat istimewa — keterampilan dulu, teori belakangan (Bab 40 dan 41).

33.1 Garis tegak lurus dan sejajar melalui sebuah titik

Metode 33.1 (Dua lukisan dasar)

Garis tegak lurus terhadap $d$ melalui $A$ : geserlah penggaris siku sepanjang $d$ sampai tepi sudut siku-sikunya yang lain mencapai $A$ ; gambar; lalu tandai sudut siku-sikunya.

Garis sejajar dengan $d$ melalui $A$ : tekan penggaris biasa pada penggaris siku sebagai rel yang diletakkan sepanjang $d$ ; geser penggaris siku itu sampai ke $A$ ; lalu gambar. (Periksa: jarak antara kedua garis itu sama di mana-mana.)

Contoh 33.2 (Merangkai lukisan)

Banyak gambar adalah rangkaian dari kedua gerakan itu. Persegi panjang $ABCD$ dengan $AB = 5$ cm dan $BC = 3$ cm: gambarlah $[AB]$ ; garis tegak lurus di $A$ ; garis tegak lurus di $B$ ; tandai $D$ dan $C$ pada jarak $3$ cm di sisi yang sama; lalu hubungkan. Setiap langkahnya adalah satu lukisan dasar.

33.2 Segitiga dengan jangka

Metode 33.3 (Segitiga dari tiga sisi)

Untuk membangun segitiga dengan sisi $6$ cm, $5$ cm, $4$ cm:

gambarlah sisi yang terpanjang, $[AB]$ dengan $AB = 6$ cm;
busur berpusat $A$ dengan jari-jari $5$ cm;
busur berpusat $B$ dengan jari-jari $4$ cm;
perpotongannya adalah titik sudut ketiga $C$ ; lalu hubungkan.

Jangka menjamin panjangnya: setiap titik pada busur yang pertama berjarak tepat $5$ cm dari $A$ .

Dua busur, satu perpotongan: segitiga 6–5–4 yang dibangun dengan jangka. (Kalau kedua sisi pendeknya bersama-sama lebih pendek daripada alasnya, busurnya tidak akan bertemu — lebih lanjut pada .) — Dua busur, satu perpotongan: segitiga $6$ – $5$ – $4$ yang dibangun dengan jangka. (Kalau kedua sisi pendeknya bersama-sama lebih pendek daripada alasnya, busurnya tidak akan bertemu — lebih lanjut pada Bab 51.)

Contoh 33.4 (Sama kaki dan sama sisi secara cuma-cuma)

Bukaan jangka yang sama untuk kedua busur $\Rightarrow$ segitiga sama kaki. Bukaan yang sama dengan alasnya $\Rightarrow$ segitiga sama sisi. Jangka tidak mengukur: ia menyalin panjang, dan itu malah lebih baik.

33.3 Segi empat istimewa, lewat lukisan

Metode 33.5 (Membangun keluarganya)

Persegi panjang: dua pasang garis sejajar yang berpotongan tegak lurus — atau rangkaian pada Contoh 33.2;
persegi: persegi panjang yang keempat sisinya memakai panjang yang sama — bawalah panjang itu dengan jangka;
belah ketupat: empat sisi sama panjang — gambarlah satu sisi, lalu dua busur jangka dari kedua ujungnya dengan bukaan yang sama menetapkan dua titik sudut sisanya (belah ketupat adalah dua segitiga sama kaki yang direkatkan sepanjang sebuah diagonal).

Setelah membangun, selalu periksalah dengan alatnya: penggaris siku pada pojoknya, jangka pada sisinya.

Contoh 33.6 (Mengenali dari sebuah gambaran)

“Sebuah segi empat dengan empat sisi $4$ cm dan satu sudut siku-siku” — bangunlah: keempat sisi yang sama panjang memaksa bentuk belah ketupat, dan menekan satu pojoknya menjadi sudut siku-siku meluruskan semua pojok yang lain: hasilnya adalah persegi. Ada gambaran yang diam-diam menjelaskan bangun yang lebih istimewa daripada yang diumumkannya. (Mengapa sudut siku-sikunya menular ke keempat pojok dijelaskan pada Bab 52.)

33.4 Lingkaran dalam lukisan

Contoh 33.7 (Lingkaran sebagai alat)

“Carilah semua titik yang berjarak $3$ cm dari $A$ ”: itulah lingkaran berpusat $A$ dengan jari-jari $3$ cm. “Carilah semua titik yang berjarak $3$ cm dari $A$ dan $4$ cm dari $B$ ”: gambarlah kedua lingkarannya; perpotongannya (dua, satu, atau nol titik) adalah jawabannya. Peta harta karun dan lukisan segitiga memakai gagasan yang persis sama.

33.5 Latihan

Latihan 33.1 ★

Gambarlah sebuah garis $d$ dan titik $A$ berjarak kira-kira $3$ cm darinya. Lukislah garis tegak lurus terhadap $d$ melalui $A$ , lalu garis sejajar dengan $d$ melalui $A$ . Tandailah sudut siku-sikunya.

Solusi

Solusi Latihan 33.1.

Kedua lukisannya mengikuti Metode 33.1; garis tegak lurus dan garis sejajar melalui $A$ itu sendiri saling tegak lurus.

Latihan 33.2 ★

Lukislah persegi panjang $ABCD$ dengan $AB = 7$ cm dan $BC = 4$ cm, mengikuti Contoh 33.2. Periksalah sudut keempatnya dengan penggaris siku: kalau lukisannya tepat, sudut itu otomatis siku-siku.

Solusi

Solusi Latihan 33.2.

Rangkaian garis tegak lurus seperti pada Contoh 33.2. Kalau ketiga sudut yang dibangun tepat siku-siku dan panjangnya tepat, sudut keempat tidak punya pilihan selain siku-siku juga — persegi panjang yang dibangun dengan baik memeriksa dirinya sendiri.

Latihan 33.3 ★

Lukislah segitiga dengan sisi $7$ cm, $6$ cm dan $3$ cm (Metode 33.3).

Solusi

Solusi Latihan 33.3.

Alas $[AB]$ sepanjang $7$ cm; busur berjari-jari $6$ cm (dari $A$ ) dan $3$ cm (dari $B$ ); perpotongannya adalah $C$ .

Latihan 33.4 ★

Lukislah segitiga sama kaki dengan alas $5$ cm dan kaki $7$ cm; lalu segitiga sama sisi dengan sisi $6$ cm.

Solusi

Solusi Latihan 33.4.

Sama kaki: alas $5$ cm, kedua busurnya dengan bukaan $7$ cm yang sama. Sama sisi: alas $6$ cm, kedua busurnya dengan bukaan $6$ cm.

Latihan 33.5 ★

Lukislah persegi dengan sisi $5$ cm. Alat mana yang menjamin sudut siku-sikunya? Alat mana yang menjamin sisinya sama panjang?

Solusi

Solusi Latihan 33.5.

Penggaris siku menjamin sudut siku-sikunya; jangka (atau penggaris) membawa sisi $5$ cm itu ke keempat sisinya.

Latihan 33.6 ★

Lukislah belah ketupat dengan sisi $4$ cm yang bukan persegi (pilihlah sendiri bukaan untuk pojok pertamanya). Periksalah keempat sisinya dengan jangka.

Solusi

Solusi Latihan 33.6.

Gambarlah sisi $[AB]$ sepanjang $4$ cm, pilihlah arah untuk $[AD]$ (jangan tegak lurus, agar bukan persegi), dengan $AD = 4$ cm; lalu busur $4$ cm dari $B$ dan dari $D$ berpotongan di $C$ . Jangka membenarkan keempat sisinya sama panjang.

Latihan 33.7 ★

Gambarlah dua titik $A$ dan $B$ dengan $AB = 5$ cm. Lukislah semua titik yang berjarak $4$ cm dari $A$ dan $3$ cm dari $B$ . Ada berapa titik seperti itu?

Solusi

Solusi Latihan 33.7.

Lingkaran berpusat $A$ dengan jari-jari $4$ cm dan lingkaran berpusat $B$ dengan jari-jari $3$ cm berpotongan di dua titik (satu di atas, satu di bawah garis $(AB)$ ), karena $4 + 3 > 5$ dan kedua lingkaran itu bertumpang tindih.

Latihan 33.8 ★

Tulislah sebuah program melukis (langkah bernomor, titik yang diberi nama) untuk persegi panjang $6$ cm $\times$ $2$ cm yang di atasnya ada segitiga sama kaki dengan kaki $4$ cm (bentuk pensil). Mintalah teman sekelasmu mengerjakannya.

Solusi

Solusi Latihan 33.8.

Satu program yang benar: “1. Gambarlah persegi panjang $ABCD$ dengan $AB = 6$ cm (alas) dan $BC = 2$ cm. 2. Gambarlah dua busur berjari-jari $4$ cm yang berpusat di $D$ dan di $C$ (pojok atasnya); namai $S$ perpotongannya di atas persegi panjang itu. 3. Gambarlah $[DS]$ dan $[CS]$ .” (Ujung pensilnya adalah segitiga sama kaki $DSC$ .)

Latihan 33.9 ★★

Cobalah melukis segitiga dengan sisi $8$ cm, $3$ cm dan $4$ cm. Apa yang terjadi pada busurnya? Jelaskan dalam satu kalimat mengapa segitiga itu tidak mungkin ada.

Solusi

Solusi Latihan 33.9.

Busur berjari-jari $3$ cm dan $4$ cm, yang digambar dari kedua ujung alas $8$ cm, tidak pernah bertemu: bahkan bila disambung ujung ke ujung, $3 + 4 = 7$ cm tidak sanggup merentang $8$ cm. Dua sisi bersama-sama harus selalu lebih panjang daripada sisi ketiganya — kalau tidak, segitiganya tidak dapat menutup.

Latihan 33.10 ★★

Lukislah belah ketupat yang diagonalnya $6$ cm dan $4$ cm, dengan mengetahui bahwa diagonal belah ketupat berpotongan tegak lurus di tengah-tengahnya: gambarlah diagonalnya lebih dulu, lalu hubungkan keempat ujungnya.

Solusi

Solusi Latihan 33.10.

Gambarlah ruas garis $6$ cm beserta titik tengahnya $O$ ; gambarlah garis tegak lurus di $O$ ; tandai padanya dua titik yang berjarak $2$ cm dari $O$ (satu di tiap sisi); lalu hubungkan keempat ujungnya berurutan. Jangka membenarkan keempat sisinya sama panjang.

Latihan 33.11 ★★

Seekor kambing diikat pada pancang $A$ dengan tali $4$ m, di lapangan datar yang punya pagar lurus melintas $3$ m dari $A$ . Gambarlah denahnya (1 cm untuk 1 meter): daerah mana yang dapat dicapai kambing itu? Di mana pagarnya membatasi dia?

Solusi

Solusi Latihan 33.11.

Pada denahnya, kambing itu mencapai cakram berpusat $A$ dengan jari-jari $4$ cm, yang terpotong oleh garis pagar pada jarak $3$ cm dari $A$ : daerahnya adalah cakram itu dikurangi irisan di seberang pagar. Di sepanjang pagar ia dapat merumput pada sebuah ruas garis (tempat lingkarannya memotong garis pagar); di seberangnya, tidak ada.