62Limas dan Kerucut

Solusi Soal 62.1.

1. $G$ termasuk ke sisi atas $EFGH$ dan ke kedua sisi samping $BCGF$ dan $DCGH$. Ketiga sisi yang tidak memuat $G$ adalah alasnya $ABCD$, sisi depannya $ABFE$ dan sisi kirinya $ADHE$ (ketiganya berbagi titik sudut $A$, yaitu pojok yang di seberang $G$). Ketiga limasnya adalah $ABCDG$, $ABFEG$ dan $ADHEG$: masing-masing punya sebuah sisi persegi kubusnya sebagai alas dan titik sudut jauhnya $G$ sebagai puncak. Masing-masingnya limas beralas persegi: $5$ sisi, $8$ rusuk, $5$ titik sudut (Contoh 62.2).

2. Diagonal panjangnya $[AG]$ menghubungkan satu-satunya dua titik sudut yang tidak termasuk ke satu pun dari ketiga alasnya. Perputaran sepertiga putaran terhadap garis $(AG)$ mengirim kubusnya ke dirinya sendiri (ketiga rusuk yang berangkat dari $A$ — menuju $B$, $D$, $E$ — terkocok dalam satu daur, dan begitu pula ketiga rusuk yang tiba di $G$). Perputaran itu membawa alas $ABCD$ ke $ADHE$, lalu $ADHE$ ke $ABFE$, lalu kembali: puncaknya tetap di $G$, alasnya berdaur. Jadi tiap limasnya terbawa ke limas berikutnya: ketiganya salinan yang identik.

3. Tiga keping identik yang mengisi kubusnya berbagi volumenya sama rata:

4. Limas $ABCDG$ punya alas $ABCD$, yang luasnya $a^2$, dan puncaknya $G$ duduk tegak lurus di atas pojok $C$, pada tinggi $CG = a$ (yaitu sebuah rusuk tegak kubusnya). Seperti pada Latihan 62.11, rumusnya berlaku dengan tinggi tegak lurus $h = a$:

yang sesuai sempurna dengan pertanyaan 3 — penguraiannya dan rumusnya saling membenarkan.

5. Untuk $a = 6$: $V = \frac{6^3}{3} = \frac{216}{3} = 72$ cm$^3$ masing-masing. Percobaan menuang airnya adalah penguraian ini yang dicairkan: prisma di atas alas $ABCD$ dengan tinggi $a$ adalah kubusnya sendiri, dan ia memuat persis tiga kali isi limasnya — di sini ketiga isiannya bahkan tersusun secara geometris menjadi kubusnya.

6. Menghubungkan pusatnya $O$ ke keempat pojok tiap sisinya menghasilkan enam limas, satu untuk tiap sisi: alas persegi, puncak $O$. Pusatnya terletak sama terhadap keenam sisinya (setiap perputaran atau simetri kubusnya menahan $O$ lalu mempermutasikan sisinya), jadi keenam limasnya identik. Tinggi masing-masingnya adalah jarak dari $O$ ke sebuah sisi: yaitu setengah sisinya, $\frac{a}{2}$.

7. Enam keping identik berbagi kubusnya: $V = \frac{a^3}{6}$ masing-masing.

8. Dengan rumusnya: luas alasnya $a^2$, tingginya $\frac a2$:

Kedua jawabannya sesuai.

9. Kedua penguraiannya menyangkut limas dengan perbandingan yang sangat istimewa yang dipahat dari sebuah kubus; limas yang ramping, limas yang miring sebelah, atau kerucut tidak dapat disusun dengan cara ini (tidak ada tiga kerucut yang mengisi sebuah tabung). Itulah sebabnya Teorema 62.3 diterima tanpa bukti pada tingkat ini: penguraiannya dan percobaan menuang airnya membuat $\frac13$ itu sepenuhnya masuk akal, dan bukti umumnya yang jujur — yaitu pengintegralan — diberikan di buku Sekolah Menengah.

10. $V = \frac{6^3}{6} = 36$ cm$^3$; dan menurut rumusnya, $V = \frac13 \times 36 \times 3 = 36$ cm$^3$. Keduanya sesuai.

11. Pada segitiga $SAB$, titik tengah sisi $[SA]$ dan $[SB]$ dihubungkan ruas garis yang sejajar dengan $(AB)$ dan panjangnya $\frac{AB}{2} = \frac{c}{2}$ (Teorema 59.1). Hal yang sama berlaku pada tiap sisi tegaknya, jadi keempat titik tengahnya membentuk persegi bersisi $\frac c2$, dengan sisinya sejajar dengan alasnya. Pada garis tegak yang melalui puncaknya, potongannya lewat di titik tengah tingginya (dengan teorema titik tengah lagi, pada segitiga yang melalui $S$, pusat alasnya dan sebuah titik sudut alasnya): jadi bidang potongnya duduk pada tinggi $\frac h2$.

12. Keping atasnya adalah limas beraturan beralas persegi dengan sisi alas $\frac c2$ dan tinggi $\frac h2$ (alasnya adalah potongannya, puncaknya adalah $S$). Volumenya adalah

yaitu seperdelapan aslinya — bukan setengahnya.

13. Limas terpancungnya menyimpan sisanya: $V - \frac V8 = \frac{7V}{8}$. Potongan setengah tinggi itu membagi volumenya dengan perbandingan $1 : 7$ — lempeng bawah yang tampak sederhana memuat tujuh kali volume puncaknya yang lancip.

14. Di bawah setengah tingginya terletak $\frac78$ volumenya. Dengan $V = \frac13 \times 35^2 \times 22 = \frac{26\,950}{3} \approx 8\,983$ m$^3$ (Latihan 62.7):

sampai ratusan terdekat — tahap “separuh bawah” membersihkan hampir delapan kali volume kaca tahap yang di atasnya.

15. Melipatduakan setiap ukurannya mengalikan luas alasnya dengan $2^2 = 4$ dan tingginya dengan $2$, jadi volumenya dengan $4 \times 2 = 8 = 2^3$. Menskalakan dengan $k$ mengalikan luas dengan $k^2$ dan satu panjang lagi dengan $k$: jadi volume tumbuh dengan faktor $k^3$. Keping atas pada pertanyaan 12 adalah salinan terskala seluruh limasnya dengan $k = \frac12$, jadi volumenya $\left(\frac12\right)^3 = \frac18$ seluruhnya — itulah penjelasan satu barisnya.