Matematika Sekolah Dasar dan Menengah · Grades 1–9

50Menata Data

Sebelum menghitung apa pun, data harus dikumpulkan, dibilang dan ditampilkan. Bab ini membahas cara mengubah daftar pengamatan yang berantakan menjadi tabel atau gambar yang jelas: frekuensi, frekuensi relatif, data yang dikelompokkan, diagram batang dan diagram lingkaran. Merangkum data dengan satu bilangan (rata-rata, median) menjadi bahasan Bab 71.

50.1 Frekuensi dan frekuensi relatif

Definisi 50.1 (Frekuensi dan frekuensi relatif)

Untuk setiap nilai yang mungkin pada sebuah survei, frekuensinya adalah berapa kali nilai itu muncul; frekuensi relatifnya adalah frekuensinya dibagi banyaknya seluruh pengamatan:

\text{frekuensi relatif} = \frac{\text{frekuensi}}{\text{jumlah seluruhnya}} .

Frekuensi relatif dapat ditulis sebagai pecahan, bilangan desimal atau persen, dan jumlahnya selalu $1$ (yaitu $100\,\%$ ).

Contoh 50.2

Olahraga kesukaan $25$ murid sebuah kelas, dari daftar mentahnya sampai menjadi tabel:

olahraga	sepak bola	renang	tenis	judo	jumlah
frekuensi	$10$	$6$	$5$	$4$	$25$
frekuensi relatif	$0.40$	$0.24$	$0.20$	$0.16$	$1$

Untuk sepak bola: $\frac{10}{25} = \frac{40}{100} = 0.40 = 40\,\%$ . Baris frekuensi relatifnya harus berjumlah $1$ — pemeriksaan tetap yang gratis.

Catatan 50.3 (Mengapa frekuensi relatif?)

Frekuensi tidak dapat dibandingkan antara kelompok yang besarnya berbeda: $10$ penggemar sepak bola di kelas berisi $25$ orang (yaitu $40\,\%$ ) menunjukkan semangat yang lebih besar daripada $12$ orang di satu angkatan berisi $120$ ( $10\,\%$ ). Frekuensi relatif menaruh semuanya pada skala yang sama.

50.2 Mengelompokkan data ke dalam kelas

Contoh 50.4 (Kelas)

Tinggi badan (dalam cm) $20$ murid berkisar dari $148$ sampai $172$ . Menyebutkan setiap tinggi secara terpisah akan memberi tabel dengan kolom yang hampir sebanyak muridnya; sebagai gantinya, kelompokkanlah ke dalam kelas:

tinggi (cm)	$\intco{145}{155}$	$\intco{155}{165}$	$\intco{165}{175}$	jumlah
frekuensi	$5$	$9$	$6$	$20$
frekuensi relatif	$0.25$	$0.45$	$0.30$	$1$

Setiap tinggi terbilang di tepat satu kelas ( $155$ masuk ke $\intco{155}{165}$ , bukan ke keduanya — itulah sebabnya selangnya setengah terbuka). Mengelompokkan kehilangan kerincian tetapi memperoleh keterbacaan.

50.3 Diagram

Metode 50.5 (Memilih dan menggambar diagram)

Diagram batang: satu batang untuk tiap nilai atau kelas, tingginya sebanding dengan frekuensinya (atau dengan frekuensi relatifnya). Bagus untuk membandingkan nilai.
Diagram lingkaran: satu juring untuk tiap nilai, sudutnya sebanding dengan frekuensi relatifnya — seluruh lingkarannya ( $360^\circ$ ) mewakili jumlah seluruhnya, jadi

$\text{sudut} = \text{frekuensi relatif} \times 360^\circ .$

Bagus untuk memperlihatkan bagian dari suatu keseluruhan.
Pada kedua keadaan: berilah judul, nama, dan skala atau persen yang ditulis pada diagramnya.

Contoh 50.6

Sudut untuk olahraga pada Contoh 50.2: sepak bola $0.40 \times 360 = 144^\circ$ ; renang $0.24 \times 360 = 86.4^\circ$ ; tenis $72^\circ$ ; judo $57.6^\circ$ . Periksa: $144 + 86.4 + 72 + 57.6 = 360$ .

Data yang sama sebagai diagram batang (bandingkan tingginya) dan sebagai diagram lingkaran (bandingkan bagian dari kelasnya). Sepak bola mengambil 144, yaitu 40\,\% lingkarannya. — Data yang sama sebagai diagram batang (bandingkan tingginya) dan sebagai diagram lingkaran (bandingkan bagian dari kelasnya). Sepak bola mengambil $144^\circ$ , yaitu $40\,\%$ lingkarannya.

Contoh 50.7 (Membaca secara kritis)

Diagram yang sumbu tegaknya bermula dari $9$ dan bukan dari $0$ membuat batang $10$ terlihat sepuluh kali lebih tinggi daripada batang $9.1$ — menyesatkan mata, walaupun bilangannya jujur. Naluri pertama di depan diagram apa pun: periksalah di mana sumbunya bermula dan berapa nilai satu skalanya (Metode 44.8).

50.4 Latihan

Latihan 50.1 ★

Berikut nilai $20$ murid: $12$ , $15$ , $9$ , $12$ , $14$ , $9$ , $12$ , $15$ , $11$ , $12$ , $9$ , $14$ , $12$ , $11$ , $15$ , $9$ , $12$ , $14$ , $11$ , $12$ . Susunlah tabel frekuensinya (satu kolom untuk tiap nilai).

Solusi

Solusi Latihan 50.1.

Membilang tiap nilainya:

nilai	$9$	$11$	$12$	$14$	$15$	jumlah
frekuensi	$4$	$3$	$7$	$3$	$3$	$20$

Latihan 50.2 ★

Lengkapilah tabel pada Latihan 50.1 dengan baris frekuensi relatif (sebagai pecahan dari $20$ , lalu sebagai persen). Periksalah jumlahnya.

Solusi

Solusi Latihan 50.2.

Frekuensi relatifnya: $\frac{4}{20} = 20\,\%$ , $\frac{3}{20} = 15\,\%$ , $\frac{7}{20} = 35\,\%$ , $15\,\%$ , $15\,\%$ . Jumlahnya: $20 + 15 + 35 + 15 + 15 = 100\,\%$ . ✓

Latihan 50.3 ★

Pada survei terhadap $50$ keluarga, $30$ keluarga punya satu mobil. Berapa frekuensi relatif “satu mobil”, sebagai bilangan desimal dan sebagai persen? Pada survei yang lain, $45$ keluarga dari $90$ punya satu mobil: survei mana yang menunjukkan proporsi yang lebih tinggi?

Solusi

Solusi Latihan 50.3.

Survei pertama: $\frac{30}{50} = 0.6 = 60\,\%$ . Survei kedua: $\frac{45}{90} = 0.5 = 50\,\%$ . Survei yang pertama menunjukkan proporsi yang lebih tinggi, walaupun keluarga bermobil satunya lebih sedikit dalam hitungan mutlak.

Latihan 50.4 ★

Massa (kg) $15$ ekor anjing: $8$ , $23$ , $31$ , $12$ , $9$ , $27$ , $35$ , $14$ , $22$ , $18$ , $29$ , $11$ , $25$ , $33$ , $16$ . Kelompokkan ke dalam kelas $\intco{5}{15}$ , $\intco{15}{25}$ , $\intco{25}{35}$ , $\intco{35}{45}$ lalu sebutkan frekuensinya.

Solusi

Solusi Latihan 50.4.

$\intco{5}{15}$ : $8, 12, 9, 14, 11$ — frekuensinya $5$ . $\intco{15}{25}$ : $23, 22, 18, 16$ — frekuensinya $4$ . $\intco{25}{35}$ : $31, 27, 29, 25, 33$ — frekuensinya $5$ . $\intco{35}{45}$ : $35$ — frekuensinya $1$ . Jumlahnya $15$ . ✓

Latihan 50.5 ★

Gambarlah diagram batang dari tabel ini:

hewan peliharaan	$0$	$1$	$2$	$3$
keluarga	$8$	$12$	$6$	$4$

Solusi

Solusi Latihan 50.5.

Empat batang setinggi $8$ , $12$ , $6$ , $4$ di atas nilai $0$ , $1$ , $2$ , $3$ (skala setiap $2$ berjalan baik).

Latihan 50.6 ★

Untuk tabel pada Latihan 50.5, hitunglah frekuensi relatif dan sudut diagram lingkaran tiap nilainya (periksa: jumlahnya $360^\circ$ ).

Solusi

Solusi Latihan 50.6.

Jumlahnya $30$ keluarga. Frekuensi relatifnya: $\frac{8}{30}$ , $\frac{12}{30}$ , $\frac{6}{30}$ , $\frac{4}{30}$ . Sudutnya ( $\times 360^\circ$ ): $96^\circ$ , $144^\circ$ , $72^\circ$ , $48^\circ$ ; jumlahnya $96 + 144 + 72 + 48 = 360^\circ$ . ✓

Latihan 50.7 ★

Sebuah diagram lingkaran tentang musim kesukaan menunjukkan: musim panas $162^\circ$ , musim semi $90^\circ$ , musim gugur $54^\circ$ , musim dingin $54^\circ$ . Berapa persen yang memilih tiap musim? Kalau $60$ orang menjawab, berapa yang memilih musim panas?

Solusi

Solusi Latihan 50.7.

Persennya: musim panas $\frac{162}{360} = 45\,\%$ ; musim semi $\frac{90}{360} = 25\,\%$ ; musim gugur dan musim dingin $\frac{54}{360} = 15\,\%$ masing-masing. Dari $60$ orang, musim panas dipilih oleh $0.45 \times 60 = 27$ orang.

Latihan 50.8 ★★

Di kelas A, $12$ murid dari $30$ berjalan kaki ke sekolah; di kelas B, $14$ dari $40$ . Kelas mana yang proporsi pejalan kakinya lebih tinggi? Berilah alasan dengan frekuensi relatif, bukan dengan frekuensi.

Solusi

Solusi Latihan 50.8.

Kelas A: $\frac{12}{30} = 40\,\%$ . Kelas B: $\frac{14}{40} = 35\,\%$ . Kelas A punya proporsi pejalan kaki yang lebih tinggi, walaupun kelas B punya pejalan kaki yang lebih banyak dalam hitungan.

Latihan 50.9 ★★

Sebuah majalah mencetak diagram batang penjualan bulanannya: $9\,800$ , lalu $10\,000$ , lalu $10\,100$ , dengan sumbu tegaknya bermula dari $9\,700$ . Jelaskan apa yang dilihat pembacanya, dan apa yang akan diperlihatkan sumbu yang jujur yang bermula dari $0$ .

Solusi

Solusi Latihan 50.9.

Dengan sumbu yang bermula dari $9\,700$ , ketiga batangnya punya tinggi yang terlihat $100$ , $300$ dan $400$ satuan: yang terakhir tampak empat kali yang pertama, seakan-akan penjualannya melipatempat. Dengan sumbu dari $0$ , batangnya hampir sama ( $9\,800$ ke $10\,100$ adalah kenaikan kira-kira $3\,\%$ ): gambar yang jujur menunjukkan penjualan yang hampir datar.

Latihan 50.10 ★★

Sebuah tabel frekuensi relatif punya tiga nilai dengan frekuensi relatif $0.35$ , $0.4$ dan $f$ . Carilah $f$ . Kalau jumlah frekuensinya $80$ , sebutkan ketiga frekuensinya.

Solusi

Solusi Latihan 50.10.

Frekuensi relatifnya berjumlah $1$ : $f = 1 - 0.35 - 0.4 = 0.25$ . Frekuensinya (jumlahnya $80$ ): $0.35 \times 80 = 28$ ; $0.4 \times 80 = 32$ ; $0.25 \times 80 = 20$ . Periksa: $28 + 32 + 20 = 80$ .

Latihan 50.11 ★★★

Di sebuah sekolah, $55\,\%$ muridnya perempuan. Di antara yang perempuan, $40\,\%$ makan di kantin; di antara yang laki-laki, $60\,\%$ makan di kantin. Dari $400$ murid, berapa yang makan di kantin? (Hitunglah besar keempat kelompoknya selangkah demi selangkah.) Berapa persennya secara keseluruhan?

Solusi

Solusi Latihan 50.11.

Murid perempuan: $55\,\%$ dari $400 = 220$ ; laki-laki: $180$ . Murid perempuan yang makan di kantin: $0.4 \times 220 = 88$ ; laki-laki: $0.6 \times 180 = 108$ . Seluruhnya: $88 + 108 = 196$ murid, yaitu $\frac{196}{400} = 49\,\%$ dari sekolahnya — di antara $40\,\%$ dan $60\,\%$ , lebih dekat ke angka murid perempuan karena mereka lebih banyak.

50.5 Soal: Bagaimana data berbohong — dan cara menangkapnya

Soal 50.1

Soal akhir pekan — frekuensi melawan frekuensi relatif, jajak pendapat yang menipu satu negara, dan paradoks dua rumah sakit

Bilangan tidak berbohong, tetapi bilangan dapat dibuat menyesatkan: frekuensi yang besar dapat menyembunyikan frekuensi relatif yang kecil, survei yang raksasa dapat tidak berguna, dan — yang paling aneh — sebuah rumah sakit dapat mengalahkan saingannya pada setiap golongan pasien dan tetap kalah pada angka keseluruhannya. Ketiga perangkap itu dilepaskan pada soal ini, hanya berbekal frekuensi dan frekuensi relatif bab ini (Definisi 50.1).

Bagian I — Frekuensi bukan frekuensi relatif.

Sekolah A mendaur ulang $120$ dari $400$ kotak jusnya; sekolah B mendaur ulang $90$ dari $250$ kotaknya. Sekolah mana yang frekuensinya lebih besar? Yang frekuensi relatifnya lebih besar? Sekolah mana yang layak menerima hadiah daur ulang?
Sebuah jadwal baru disurvei: $18$ dari $30$ gurunya menyukai jadwal itu, dan $210$ dari $600$ muridnya menyukainya. Hitunglah kedua frekuensi relatifnya, lalu frekuensi relatif pada seluruh $630$ orang itu. Mengapa angka gabungannya terletak begitu dekat dengan angka para muridnya?
Sebuah diagram lingkaran yang diterbitkan menunjukkan juring berlabel $45\,\%$ , $30\,\%$ , $20\,\%$ dan $10\,\%$ . Tanpa keterangan lain, bagaimana kamu tahu ada kekeliruan?
Sebuah tabel frekuensi relatif atas $40$ pengamatan terhapus separuhnya: frekuensinya $14$ , $10$ , $?$ , $?$ dan frekuensi relatifnya $0.35$ , $0.25$ , $0.15$ , $?$ . Bangunlah kembali entri yang hilang.
Sebuah survei berakhir dengan frekuensi relatif $0.40$ , $0.35$ dan $0.25$ . Hitunglah ketiga sudut diagram lingkarannya (Metode 50.5) lalu periksalah bahwa ketiganya menutup lingkarannya.

Bagian II — Jajak pendapat yang menipu satu negara. Pada tahun 1936, sebuah majalah Amerika mengirimkan sepuluh juta surat suara ke alamat yang diambil dari buku telepon dan daftar pendaftaran mobil, menerima $2.4$ juta jawaban, lalu meramalkan kemenangan telak untuk calon bernama Landon. Seorang ahli statistik muda, George Gallup, bertanya hanya kepada kira-kira lima puluh ribu orang — yang dipilih agar menyerupai seluruh penduduknya — lalu meramalkan sebaliknya. Roosevelt menang dengan telak.

Berapa frekuensi relatif surat suara yang kembali?
Pada tahun 1936 telepon dan mobil masih barang mewah. Jelaskan dalam satu atau dua kalimat mengapa sampel majalah itu, walaupun raksasa, sudah pasti gagal — dan pelajaran pertanyaan 1 yang mana yang diulanginya pada skala nasional.
Sebuah model mainan. Sebuah kota punya $1\,000$ pemilih kaya, yang $70\,\%$ di antaranya mendukung L, dan $9\,000$ pemilih sederhana, yang $30\,\%$ di antaranya mendukung L. Hitunglah dukungan L yang sebenarnya di kota itu. Sebuah “jajak pendapat buku telepon” menjangkau $500$ pemilih kaya dan $500$ pemilih sederhana: dukungan berapa yang diramalkannya?
Perangkap yang diam: sebuah perusahaan punya $200$ pelanggan yang tidak puas dan $800$ pelanggan yang puas. Ia mensurvei semuanya; $40\,\%$ yang tidak puas menjawab, tetapi hanya $10\,\%$ yang puas menjawab. Hitunglah banyaknya jawaban tiap jenisnya, dan frekuensi relatif ketidakpuasan di antara jawabannya. Bandingkan dengan frekuensi relatif yang sebenarnya.
Perbaikilah jajak pendapat pada pertanyaan 8: pertahankan $1\,000$ wawancara, tetapi bagikan menurut proporsi kota yang sebenarnya. Apa yang diramalkan jajak pendapat yang sudah diperbaiki itu?

Bagian III — Paradoks dua rumah sakit. Dua rumah sakit menerbitkan jumlah pasien yang sembuh, dipilah menurut tingkat keparahannya:

	kasus ringan	kasus berat
rumah sakit A	$90$ sembuh dari $100$	$280$ sembuh dari $400$
rumah sakit B	$340$ sembuh dari $400$	$65$ sembuh dari $100$

Hitunglah frekuensi relatif kesembuhan rumah sakit A untuk kasus ringan, untuk kasus berat, dan secara keseluruhan (seluruh $500$ pasiennya).
Tiga perhitungan yang sama untuk rumah sakit B. Rumah sakit mana yang menang pada kasus ringan? Pada kasus berat?
Bandingkan kedua frekuensi relatif keseluruhannya. Nyatakan dengan gamblang hal aneh yang baru saja terjadi.
Jelaskan triknya: bandingkan campuran pasien kedua rumah sakit itu, lalu katakan mengapa frekuensi relatif keseluruhannya dapat mengkhianati kedua frekuensi relatif golongannya. Kalau kamu terkena kasus yang berat, rumah sakit mana yang sebaiknya kamu pilih?
Sebuah judul berita berbunyi: “Rumah sakit B punya angka kesembuhan yang lebih baik: $81\,\%$ melawan $74\,\%$ .” Tulislah surat dua kalimat kepada redaksi yang sudah diajarkan seluruh soal ini kepadamu — satu kalimat tentang apa yang diabaikan judul itu, satu kalimat tentang pesan moral umumnya (bandingkan yang sejenis dengan yang sejenis, dan perhatikan bobotnya).

Solusi

Solusi Soal 50.1.

1. Frekuensinya: $120 > 90$ , sekolah A menang. Frekuensi relatifnya: $\frac{120}{400} = 0.30 = 30\,\%$ melawan $\frac{90}{250} = 0.36 = 36\,\%$ : sekolah B menang. Hadiahnya sebaiknya mengikuti frekuensi relatif — sekolah B mendaur ulang bagian yang lebih besar dari yang dipakainya; sekolah A hanya minum jus lebih banyak.

2. Guru: $\frac{18}{30} = 0.60 = 60\,\%$ . Murid: $\frac{210}{600} = 0.35 = 35\,\%$ . Bersama-sama: $\frac{18 + 210}{630} = \frac{228}{630} \approx 0.36 = 36\,\%$ . Muridnya dua puluh kali lebih banyak, jadi frekuensi relatif gabungannya tertarik hampir sepenuhnya ke sisi mereka — kelompok yang besar membawa bobot yang besar.

3. Frekuensi relatif harus berjumlah $100\,\%$ (Definisi 50.1), tetapi $45 + 30 + 20 + 10 = 105$ : sedikitnya satu juringnya salah.

4. Frekuensi untuk frekuensi relatif $0.15$ : $0.15 \times 40 = 6$ . Frekuensi sejauh ini: $14 + 10 + 6 = 30$ , jadi frekuensi terakhirnya $40 - 30 = 10$ , dengan frekuensi relatif $\frac{10}{40} = 0.25$ . (Periksa: $0.35 + 0.25 + 0.15 + 0.25 = 1$ .)

5. Sudutnya: $0.40 \times 360 = 144^\circ$ , $0.35 \times 360 = 126^\circ$ , $0.25 \times 360 = 90^\circ$ ; dan $144 + 126 + 90 = 360^\circ$ : lingkarannya menutup.

6. $\frac{2.4}{10} = 0.24 = 24\,\%$ surat suaranya kembali.

7. Buku telepon dan daftar mobil memuat sebagian besar rumah tangga yang kaya, yang pilihannya berbeda dari pilihan negaranya; $2.4$ juta jawaban itu adalah frekuensi raksasa yang ditarik dari penduduk yang salah. Seperti pada pertanyaan 1: yang penting bukan berapa banyak yang kamu bilang, melainkan siapa — frekuensi relatif yang dihitung pada sampel yang menyimpang menggambarkan sampelnya, bukan negaranya.

8. Dukungan yang sebenarnya: $0.7 \times 1\,000 + 0.3 \times 9\,000 = 700 + 2\,700 = 3\,400$ pendukung dari $10\,000$ : yaitu $34\,\%$ . Jajak pendapatnya: $0.7 \times 500 + 0.3 \times 500 = 350 + 150 = 500$ dari $1\,000$ : yaitu $50\,\%$ — enam belas angka terlalu tinggi, karena yang kaya adalah setengah sampelnya tetapi sepersepuluh kotanya.

9. Jawabannya: $0.4 \times 200 = 80$ yang tidak puas dan $0.1 \times 800 = 80$ yang puas, jadi $160$ jawaban yang $80$ di antaranya tidak puas: ketidakpuasan yang terukur $\frac{80}{160} = 50\,\%$ . Ketidakpuasan yang sebenarnya: $\frac{200}{1\,000} = 20\,\%$ . Tidak ada yang berbohong — yang tidak puas memang lebih sering menjawab, dan surveinya mendengar mereka lebih nyaring.

10. Proporsi yang sebenarnya: sepersepuluh kaya, jadi $100$ wawancara kaya dan $900$ wawancara sederhana: $0.7 \times 100 + 0.3 \times 900 = 70 + 270 = 340$ dari $1\,000$ : jajak pendapat yang diperbaiki meramalkan $34\,\%$ — yaitu kebenaran pada pertanyaan 8. Lima puluh ribu wawancara yang dipilih baik mengalahkan dua juta wawancara yang dipilih buruk.

11. Rumah sakit A: ringan $\frac{90}{100} = 90\,\%$ ; berat $\frac{280}{400} = 70\,\%$ ; keseluruhan $\frac{90 + 280}{500} = \frac{370}{500} = 74\,\%$ .

12. Rumah sakit B: ringan $\frac{340}{400} = 85\,\%$ ; berat $\frac{65}{100} = 65\,\%$ ; keseluruhan $\frac{340 + 65}{500} = \frac{405}{500} = 81\,\%$ . Rumah sakit A menang pada kasus ringan ( $90 > 85$ ) dan pada kasus berat ( $70 > 65$ ).

13. Secara keseluruhan, B menunjukkan $81\,\%$ melawan $74\,\%$ milik A: rumah sakit yang kalah pada setiap golongan justru menang pada angka totalnya. (Pembalikan ini punya nama: paradoks Simpson.)

14. Campurannya berlawanan: pasien A sebagian besar berat ( $400$ dari $500$ ), pasien B sebagian besar ringan ( $400$ dari $500$ ). Kasus yang berat lebih jarang sembuh di mana pun ia dirawat, jadi angka keseluruhan A terseret turun oleh kasus sulit yang diterimanya — angka keseluruhan adalah campuran berbobot, dan bobotnya berbeda antara kedua rumah sakit itu. Pasien yang berat sebaiknya memilih rumah sakit A: $70\,\%$ mengalahkan $65\,\%$ pada satu-satunya baris yang menyangkut dirinya.

15. Misalnya: “Perbandingan Anda mencampur pasien ringan dan pasien berat, dan kedua rumah sakit itu merawat campuran yang berlawanan — kalau dipilah menurut keparahannya, rumah sakit A menyembuhkan bagian yang lebih tinggi pada kedua jenisnya. Angka keseluruhan hanya boleh dibandingkan kalau kelompok di baliknya serupa; kalau tidak, bobotnyalah yang menentukan pemenangnya, bukan mutunya.”

Istilah yang didefinisikan dalam bab ini

Frekuensi dan frekuensi relatif

Lihat semua 395 istilah di glosarium