Matematika Sekolah Dasar dan Menengah · Grades 1–9

46Bilangan Negatif

Suhu di bawah nol, lantai di bawah tanah, uang yang terutang: banyak besaran turun di bawah $0$ . Bilangan negatif memperluas garis bilangan ke kiri dari nol. Bab ini mengajarkan cara membandingkannya serta cara menjumlahkan dan mengurangkannya — perkaliannya menunggu Bab 54.

46.1 Bilangan bertanda

Definisi 46.1 (Bilangan bertanda)

Bilangan bertanda tersusun dari sebuah tanda ( $+$ atau $-$ ) dan sebuah jarak ke nol: $+3$ dan $-3$ sama-sama berjarak $3$ dari $0$ , di sisi yang berlawanan. Bilangan positif biasanya ditulis tanpa tandanya: $+3 = 3$ . Bilangan $+3$ dan $-3$ saling menjadi lawan.

Garis bilangan yang diperpanjang ke kiri: -3 dan +3 adalah bilangan yang saling berlawanan, berjarak sama dari 0. — Garis bilangan yang diperpanjang ke kiri: $-3$ dan $+3$ adalah bilangan yang saling berlawanan, berjarak sama dari $0$ .

Metode 46.2 (Membandingkan bilangan bertanda)

Pada garis bilangan, makin kecil berarti makin ke kiri. Dalam praktik:

bilangan negatif selalu lebih kecil daripada bilangan positif: $-7 < 2$ ;
di antara dua bilangan positif, berlaku urutan yang biasa;
di antara dua bilangan negatif, yang jaraknya ke nol lebih besar justru lebih kecil: $-7 < -2$ .

Contoh 46.3

Urutkan dari yang terkecil ke yang terbesar: $3$ ; $-5$ ; $0$ ; $-1.5$ ; $2.8$ . Yang negatif lebih dulu, yang paling negatif di depan:

-5 < -1.5 < 0 < 2.8 < 3 .

46.2 Menjumlahkan bilangan bertanda

Bayangkan bilangan bertanda sebagai perpindahan sepanjang garis: $+5$ berarti “berjalan $5$ langkah ke kanan”, $-3$ berarti “berjalan $3$ langkah ke kiri”. Menjumlahkan bilangan berarti merangkai jalannya.

Metode 46.4 (Menjumlahkan dua bilangan bertanda)

Tandanya sama: jumlahkan jaraknya, pertahankan tanda bersamanya: $(-3) + (-4) = -7$ .
Tandanya berlawanan: kurangkan jarak yang lebih kecil dari yang lebih besar, lalu ambil tanda yang lebih besar: $(-7) + (+2) = -5$ dan $(+7) + (-2) = +5$ .
Lawan saling meniadakan: $(+4) + (-4) = 0$ .

Menjumlahkan sebagai berjalan: mulai dari 0, jalan -3.5 lalu jalan +2 mendarat di (-3.5) + 2 = -1.5. — Menjumlahkan sebagai berjalan: mulai dari $0$ , jalan $-3.5$ lalu jalan $+2$ mendarat di $(-3.5) + 2 = -1.5$ .

Contoh 46.5

Selangkah demi selangkah, dikelompokkan sesuai kenyamanan:

\begin{align*} (-8) + (+3) &= -5 && \text{(tanda berlawanan: } 8 - 3 = 5, \text{ tanda milik } 8)\\ (-2.5) + (-1.5) &= -4 && \text{(tanda sama: jumlahkan jaraknya)}\\ (+6) + (-9) + (+3) &= (-3) + (+3) = 0 . \end{align*}

46.3 Mengurangkan bilangan bertanda

Teorema 46.6 (Aturan pengurangan)

Mengurangkan sebuah bilangan bertanda sama saja dengan menjumlahkan lawannya:

a - b = a + (-b) .

Mengapa ini berhasil. $a - b$ adalah bilangan yang jika ditambahkan pada $b$ memberi $a$ . Periksalah bahwa $a + (-b)$ mengerjakan tugas itu: $\bigl(a + (-b)\bigr) + b = a + \bigl((-b) + b\bigr) = a + 0 = a$ . ∎

Contoh 46.7

Setiap pengurangan menjadi penjumlahan, lalu Metode 46.4 berlaku:

\begin{align*} 5 - 9 &= 5 + (-9) = -4, \\ (-3) - (+4) &= (-3) + (-4) = -7, \\ (-2) - (-6) &= (-2) + (+6) = +4 . \end{align*}

Baris terakhirnya yang terkenal: mengurangkan bilangan negatif berarti menjumlahkan. Menghapus utang membuatmu lebih kaya!

Contoh 46.8 (Selisih suhu)

Dalam satu hari suhunya berubah dari $-6$ derajat menjadi $+9$ derajat. Kenaikannya adalah selisih

9 - (-6) = 9 + 6 = 15 \text{ derajat}.

Pada garis bilangan: dari $-6$ naik ke $0$ ada $6$ derajat, dari $0$ ke $9$ ada $9$ derajat lagi.

46.4 Koordinat pada seluruh bidang

Definisi 46.9 (Koordinat bertanda)

Dengan dua sumbu berskala yang saling tegak lurus dan berpotongan di titik asal $O$ , setiap titik pada bidang memperoleh dua koordinat bertanda $(x, y)$ : $x$ yang negatif berarti di kiri sumbu tegak, $y$ yang negatif berarti di bawah sumbu mendatar.

Satu titik pada setiap perempat bidangnya. Bacalah selalu koordinat mendatarnya lebih dulu.

46.5 Latihan

Latihan 46.1 ★

Sebutkan lawan dari: $7$ ; $-3.5$ ; $0$ ; $+12$ . Lalu lengkapi: “dua bilangan saling berlawanan jika jumlahnya ?”.

Solusi

Solusi Latihan 46.1.

Lawannya: $-7$ ; $+3.5$ ; $0$ (lawan dirinya sendiri); $-12$ . Dua bilangan saling berlawanan jika jumlahnya $0$ .

Latihan 46.2 ★

Salin dan lengkapi dengan $<$ atau $>$ :

-4 \;?\; 1, \qquad -4 \;?\; -7, \qquad -2.5 \;?\; -2.4, \qquad 0 \;?\; -0.1 .

Solusi

Solusi Latihan 46.2.

$-4 < 1$ ; $-4 > -7$ ; $-2.5 < -2.4$ ; $0 > -0.1$ .

Latihan 46.3 ★

Urutkan dari yang terkecil ke yang terbesar: $-3$ ; $2.5$ ; $-0.5$ ; $-3.1$ ; $0$ ; $1$ .

Solusi

Solusi Latihan 46.3.

$-3.1 < -3 < -0.5 < 0 < 1 < 2.5$ .

Latihan 46.4 ★

Hitunglah:

(-5) + (-9), \qquad (-12) + (+7), \qquad (+3.5) + (-1.5), \qquad (-6) + (+6).

Solusi

Solusi Latihan 46.4.

$(-5) + (-9) = -14$ ; $(-12) + (+7) = -5$ ; $(+3.5) + (-1.5) = +2$ ; $(-6) + (+6) = 0$ .

Latihan 46.5 ★

Ubahlah menjadi penjumlahan, lalu hitunglah:

4 - 11, \qquad (-5) - (+3), \qquad (-7) - (-10), \qquad 0 - (-8).

Solusi

Solusi Latihan 46.5.

$4 - 11 = 4 + (-11) = -7$ .

$(-5) - (+3) = (-5) + (-3) = -8$ .

$(-7) - (-10) = (-7) + (+10) = +3$ .

$0 - (-8) = 0 + (+8) = +8$ .

Latihan 46.6 ★

Hitunglah dengan mengelompokkan secara cerdik (lawan lebih dulu):

(+7) + (-12) + (+3) + (-8), \qquad (-5.5) + (+9) + (-4.5) + (+1).

Solusi

Solusi Latihan 46.6.

$(+7) + (-12) + (+3) + (-8) = (+10) + (-20) = -10$ (yang positif bersama-sama, yang negatif bersama-sama).

$(-5.5) + (+9) + (-4.5) + (+1) = (-10) + (+10) = 0$ .

Latihan 46.7 ★

Suhunya $-3$ derajat pada pagi ini; suhunya naik $8$ derajat pada siang hari, lalu turun $12$ derajat pada malam hari. Tulislah satu perhitungan yang memberi suhu akhirnya, lalu hitunglah.

Solusi

Solusi Latihan 46.7.

$(-3) + 8 - 12 = 5 - 12 = -7$ : suhunya $-7$ derajat pada malam hari.

Latihan 46.8 ★

Letakkan pada sistem koordinat: $A(2, 3)$ ; $B(-3, 1)$ ; $C(-2, -2)$ ; $D(3, -1)$ ; $E(0, -3)$ . Titik mana yang terletak pada sebuah sumbu?

Solusi

Solusi Latihan 46.8.

Peletakan bebas; $E(0, -3)$ terletak pada sumbu tegak (koordinat pertamanya $0$ ).

Latihan 46.9 ★★

Hitunglah selisih antara suhu tertinggi dan terendah: Moskwa pada bulan Januari, tertinggi $-4$ derajat, terendah $-13$ derajat; Helsinki, tertinggi $2$ , terendah $-9$ .

Solusi

Solusi Latihan 46.9.

Moskwa: $(-4) - (-13) = -4 + 13 = 9$ derajat selisihnya. Helsinki: $2 - (-9) = 11$ derajat.

Latihan 46.10 ★★

Seorang penyelam berada pada ketinggian $-12$ m (dua belas meter di bawah permukaan). Ia naik $7$ m, lalu turun $4$ m. Pada ketinggian berapa ia sekarang? Berapa lagi ia harus naik untuk mencapai permukaan?

Solusi

Solusi Latihan 46.10.

$(-12) + 7 - 4 = -5 - 4 = -9$ : ia berada di $-9$ m. Untuk mencapai permukaan (ketinggian $0$ ) ia harus naik $0 - (-9) = 9$ m.

Latihan 46.11 ★★

Letakkan $A(-2, 1)$ , $B(2, 1)$ , $C(2, -2)$ . Carilah koordinat titik $D$ agar $ABCD$ menjadi persegi panjang, lalu hitunglah kelilingnya (bilanglah petaknya untuk panjang sisinya).

Solusi

Solusi Latihan 46.11.

$D(-2, -2)$ : koordinat pertamanya sama dengan $A$ , koordinat keduanya sama dengan $C$ . Sisinya: $AB = 4$ (dari $-2$ ke $2$ ) dan $BC = 3$ (dari $1$ turun ke $-2$ ), jadi kelilingnya $2 \times (4 + 3) = 14$ .

Latihan 46.12 ★★★

Pada persegi ajaib di bawah ini, setiap baris, kolom dan diagonal harus punya jumlah yang sama. Salin dan lengkapilah:

$?$	$-7$	$0$
$-3$	$-2$	$?$
$-4$	$?$	$?$

(Mulailah dengan mencari jumlah ajaibnya lewat diagonal yang hampir lengkap.)

Solusi

Solusi Latihan 46.12.

Diagonal yang lengkap $0, -2, -4$ memberi jumlah ajaib $0 + (-2) + (-4) = -6$ . Lalu, sel demi sel: kiri-atas $= -6 - (-7) - 0 = 1$ ; tengah-kanan $= -6 - (-3) - (-2) = -1$ ; kanan-bawah $= -6 - 0 - (-1) = -5$ ; tengah-bawah $= -6 - (-7) - (-2) = 3$ .

$1$	$-7$	$0$
$-3$	$-2$	$-1$
$-4$	$3$	$-5$

Setiap baris, kolom dan diagonalnya berjumlah $-6$ .

46.6 Soal: Tahun nol yang tidak pernah ada

Soal 46.1

Soal akhir pekan — bilangan bertanda pada garis waktu sejarah: lama waktu yang melintasi batas era, trik para astronom, dan asas perubahan bersih

Garis bilangan pada bab ini punya kembaran yang terkenal di dunia nyata: garis waktu sejarah, dengan tahun SM memanjang ke kiri dan tahun M memanjang ke kanan. Tetapi garis milik para sejarawan itu menyembunyikan perangkap yang merusak banyak perhitungan: tidak ada tahun nol — tahun 1 SM langsung disusul tahun 1 M. Soal ini menghitung dengan suhu, lift dan rekening bank, lalu memperbaiki nol sejarah yang rusak itu dengan cara para astronom: dengan bilangan bertanda.

Bagian I — Pemanasan, dan perangkap yang pertama.

Puncak Mont Blanc berada pada ketinggian $+4\,808$ m; tepi Laut Mati pada $-430$ m. Hitunglah selisih ketinggian keduanya.
Sebuah rekening bank memuat $-45$ euro (saldo minus). Pemiliknya menyetor $120$ euro, membayar tagihan $60$ euro, lalu menyetor $15$ euro. Tulislah saldonya sebagai satu rangkaian penjumlahan lalu hitunglah. Setoran tunggal berapa yang akan mengembalikan $-45$ semula tepat ke $0$ ?
Julius Caesar lahir pada $100$ SM dan wafat pada $44$ SM. Dengan membilang tahun SM sebagai bilangan negatif ( $100$ SM sebagai $-100$ , $44$ SM sebagai $-44$ ), hitunglah $(-44) - (-100)$ : berapa tahun Caesar hidup?
Kaisar Augustus lahir pada $63$ SM dan wafat pada tahun $14$ M. Resep yang sama memberi $14 - (-63) = 77$ tahun — tetapi para sejarawan bersikeras ia wafat pada umur $76$ . Keberatan mereka: hitungan $77$ itu berjalan melewati tahun yang tidak pernah ada. Tahun yang mana?
Para astronom memperbaiki garis waktunya dengan menamai ulang: tahun M tetap dengan bilangannya ( $+14$ tetap $+14$ ), tetapi $1$ SM menjadi $0$ , $2$ SM menjadi $-1$ , dan secara umum tahun $n$ SM menjadi $-(n - 1)$ . Ubahlah $63$ SM, lalu ulangi perhitungan pertanyaan 4 dengan bilangan para astronom itu. Apakah jawabannya kini memuaskan para sejarawan?

Bagian II — Menghitung melintasi era. Mulai sekarang, pakailah penamaan ulang para astronom untuk setiap perhitungan, lalu ubah kembali ke SM/M pada akhirnya (tahun yang berlabel $0$ atau negatif $-m$ adalah tahun $m + 1$ SM milik sejarawan).

Ubahlah menjadi bilangan para astronom: $1$ SM; $10$ SM; tahun $476$ M; dan $753$ SM, yaitu tahun berdirinya Roma menurut legenda.
Berapa tahun berlalu sejak berdirinya Roma ( $753$ SM) sampai runtuhnya Kekaisaran Barat (tahun $476$ M)?
Sebuah komet kembali setiap $76$ tahun dan muncul pada $12$ SM. Sebutkan tahun sejarawan untuk tiga kemunculannya berikutnya, dan untuk kemunculannya tepat sebelum $12$ SM.
Berapa tahun berlalu dari $5$ SM sampai tahun $5$ M? (Jawaban yang menggoda adalah $10$ ; garis waktunya berkata lain.)
Anak yang lahir pada $3$ SM berumur sepuluh tahun pada tahun berapa (SM atau M)?

Bagian III — Asas perubahan bersih.

Jarak antara dua bilangan pada garis adalah yang lebih besar dikurangi yang lebih kecil — selalu positif. Hitunglah jarak antara $-7$ dan $-2$ , lalu antara $-3.5$ dan $4.5$ .
Sebuah lift bermula dari lantai $0$ lalu melakukan gerakan $+3$ , $-5$ , $+2$ , $-1$ , $+4$ . Hitunglah lantai akhirnya dengan mengelompokkan secara cerdik (Metode 46.4, lawan lebih dulu bila mungkin). Apakah melakukan gerakannya dengan urutan yang berbeda akan mengubah tujuannya? Mengapa?
Hari demi hari, suhunya berubah $+2$ , $-4$ , $+1$ , $0$ , $-3$ , $+5$ , $-2$ derajat selama satu minggu. Hitunglah perubahan bersihnya. Kalau minggu itu bermula pada $-2$ derajat, di mana ia berakhir? Nyatakan asasnya: nilai akhir $=$ nilai awal $+$ (jumlah semua perubahannya).
Perjalanan seorang pendaki membawanya kembali tepat ke ketinggian awalnya. Berapa jumlah semua perubahan ketinggiannya, dan mengapa? Dari enam perubahan yang tercatat, lima di antaranya $+4$ , $-7$ , $+2$ , $+3$ , $-5$ (dalam ratusan meter): carilah yang keenam.
Penutupnya, kembali ke Roma. Seorang sejarawan menghitung: “Republiknya berjalan dari $509$ SM sampai $27$ SM, lalu Kekaisarannya sampai tahun $476$ M; seluruhnya, dari $509$ SM sampai $476$ M, yaitu $509 + 476 = 985$ tahun negara Romawi.” Ulangilah perhitungannya dengan bilangan para astronom. Berapa jumlah yang benar — dan tahun yang mana, sekali lagi, yang menyebabkan kekeliruannya?

Solusi

Solusi Soal 46.1.

1. $4\,808 - (-430) = 4\,808 + 430 = 5\,238$ m (Teorema 46.6: mengurangkan bilangan negatif berarti menjumlahkan).

2. Saldonya:

(-45) + 120 + (-60) + 15 = 75 + (-60) + 15 = 15 + 15 = 30 \text{ euro}.

Untuk mengembalikan $-45$ yang semula ke $0$ , setorlah lawannya: $45$ euro.

3. $(-44) - (-100) = (-44) + 100 = 56$ : Caesar hidup $56$ tahun. (Tidak ada perangkap di sini: kedua tahunnya berada di sisi batas era yang sama.)

4. Tahun $0$ : membilang dari $-63$ naik ke $+14$ melewati $0$ , tetapi kalender para sejarawan melompat langsung dari $1$ SM ke $1$ M — tahun $0$ tidak pernah ada, jadi hitungan yang naif itu satu tahun terlalu panjang.

5. $63$ SM menjadi $-(63 - 1) = -62$ . Lalu $14 - (-62) = 14 + 62 = 76$ tahun: tepat angka milik para sejarawan. Pada garis yang dinamai ulang oleh para astronom tidak ada celah, jadi pengurangan biasa memberi lama waktu yang benar.

6. $1$ SM $\to 0$ ; $10$ SM $\to -9$ ; tahun M $476 \to +476$ ; $753$ SM $\to -752$ .

7. $476 - (-752) = 476 + 752 = 1\,228$ tahun.

8. $12$ SM adalah $-11$ . Kemunculan berikutnya: $-11 + 76 = 65$ , lalu $141$ , lalu $217$ : yaitu tahun $65$ M, $141$ M dan $217$ M. Sebelumnya: $-11 - 76 = -87$ , yaitu tahun $87 + 1 = 88$ SM milik sejarawan.

9. $5$ SM adalah $-4$ , jadi $5 - (-4) = 9$ tahun — bukan $10$ . Tahun nol yang hilang itu menyerang setiap kali lama waktunya melintasi batas era.

10. $3$ SM adalah $-2$ ; sepuluh tahun kemudian adalah $-2 + 10 = +8$ : anak itu berumur sepuluh tahun pada tahun $8$ M.

11. Antara $-7$ dan $-2$ : $(-2) - (-7) = 5$ . Antara $-3.5$ dan $4.5$ : $4.5 - (-3.5) = 8$ .

12. Mengelompokkan lawan dan kawan-kawannya:

3 + (-5) + 2 + (-1) + 4 = \bigl(3 + 2\bigr) + (-5) + (-1) + 4 = 0 + (-1) + 4 = +3 :

liftnya berakhir di lantai $3$ . Urutannya tidak berpengaruh: jumlah bilangan bertanda dapat disusun ulang dengan bebas (setiap gerakan ditempuh sepanjang garis yang sama, dan seluruh jalannya sama).

13. Perubahan bersihnya: $2 + (-4) + 1 + 0 + (-3) + 5 + (-2) = -1$ derajat. Mulai dari $-2$ : suhu akhirnya $-2 + (-1) = -3$ derajat. Secara umum, nilai akhirnya adalah nilai awal ditambah jumlah semua perubahannya — tidak perlu mengikuti naik-turunnya satu per satu.

14. Kembali ke titik awal berarti perubahan bersihnya $0$ : naik dan turunnya harus meniadakan dengan tepat. Kelima perubahan yang diketahui berjumlah $4 + (-7) + 2 + 3 + (-5) = -3$ , jadi perubahan keenamnya adalah lawannya: $+3$ (tiga ratus meter naik).

15. Menurut para astronom: $509$ SM $\to -508$ , dan $476 - (-508) = 984$ tahun. Hitungan sang sejarawan $509 + 476 = 985$ membilang satu tahun terlalu banyak — sekali lagi tahun nol yang hantu itu, yang diam-diam masuk ke penjumlahannya tetapi tidak ada dalam sejarah. (Sebagai pemeriksaan, kedua eranya: Republik $-508$ sampai $-26$ , yaitu $482$ tahun; Kekaisaran $-26$ sampai $+476$ , yaitu $502$ tahun; $482 + 502 = 984$ .)

Istilah yang didefinisikan dalam bab ini

Lihat semua 395 istilah di glosarium