Matematika Sekolah Dasar dan Menengah · Grades 1–9

53Luas dan Volume

Kelas 6 mengukur persegi panjang, segitiga siku-siku dan balok (Bab 43). Dengan sepasang gunting — potong sepotong di sini, tempel di sana — gagasan yang sama kini memberi luas jajargenjang, luas semua segitiga dan luas cakram, serta volume prisma dan tabung.

53.1 Luas jajargenjang

Teorema 53.1 (Jajargenjang)

Jajargenjang dengan sisi sepanjang $b$ (alasnya) dan jarak $h$ antara sisi itu dan sisi yang berhadapan (tingginya) punya luas

A = b \times h .

Bukti dengan gunting. Potonglah segitiga siku-siku yang menonjol di satu sisi lalu tempelkan di sisi yang lain: jajargenjangnya menjadi persegi panjang $b \times h$ dengan luas yang sama. ∎

Bukti dengan gunting: menggeser segitiga merah dari ujung kiri ke ujung kanan mengubah jajargenjangnya menjadi persegi panjang — luasnya sama, b × h. — Bukti dengan gunting: menggeser segitiga merah dari ujung kiri ke ujung kanan mengubah jajargenjangnya menjadi persegi panjang — luasnya sama, $b \times h$ .

Catatan 53.2

Tingginya adalah jarak tegak lurus antara kedua alasnya, bukan panjang sisi miringnya! Jajargenjang yang sangat miring dapat punya sisi yang panjang tetapi luas yang kecil.

53.2 Luas segitiga

Teorema 53.3 (Segitiga)

Segitiga dengan alas $b$ dan tinggi $h$ yang bersesuaian (jarak tegak lurus dari titik sudut yang berhadapan ke garis alasnya) punya luas

A = \frac{b \times h}{2} .

Bukti. Dua salinan segitiga itu, yang satu diputar setengah putaran terhadap titik tengah salah satu sisinya, cocok menjadi sebuah jajargenjang dengan alas $b$ dan tinggi $h$ (itulah simetri pusat yang sedang bekerja, Proposisi 52.4). Segitiganya adalah setengah darinya: $\frac{bh}{2}$ . ∎

Sebuah segitiga dan salinannya yang terputar setengah putaran (garis putus-putus) membentuk jajargenjang: luas segitiganya b× h/2. Sisi mana pun dari ketiganya dapat menjadi alasnya — dengan tingginya sendiri. — Sebuah segitiga dan salinannya yang terputar setengah putaran (garis putus-putus) membentuk jajargenjang: luas segitiganya $\frac{b\times h}{2}$ . Sisi mana pun dari ketiganya dapat menjadi alasnya — dengan tingginya *sendiri*.

Contoh 53.4

Sebuah segitiga punya alas $9$ cm dan tinggi yang bersesuaian berukuran $4$ cm:

A = \frac{9 \times 4}{2} = \frac{36}{2} = 18 \text{ cm}^2 .

Untuk segitiga siku-siku, kedua sisi siku-sikunya adalah alas dan tingginya: kita menemukan kembali rumus Proposisi 43.6.

53.3 Luas cakram

Teorema 53.5 (Cakram)

Cakram berjari-jari $r$ punya luas

A = \pi r^2 .

Gagasan buktinya. Potonglah cakramnya menjadi banyak juring tipis yang sama lalu tatalah berselang-seling: juringnya hampir membentuk jajargenjang setinggi $r$ yang alasnya setengah kelilingnya, yaitu $\pi r$ (Proposisi 43.3). Luasnya dekat dengan $\pi r \times r = \pi r^2$ , dan hampirannya menjadi sempurna ketika juringnya makin tipis. Bukti yang lengkap perlu hitung integral, dari buku Sekolah Menengah. ∎

Memotong cakramnya lalu membentangkan juringnya: hampir menjadi jajargenjang dengan alas π r (setengah tepinya) dan tinggi r. — Memotong cakramnya lalu membentangkan juringnya: hampir menjadi jajargenjang dengan alas $\pi r$ (setengah tepinya) dan tinggi $r$ .

Contoh 53.6

Permukaan meja bundar berjari-jari $60$ cm. Luasnya $\pi \times 60^2 = 3600\pi \approx 11\,310$ cm $^2$ , sedikit lebih dari $1.1$ m $^2$ . Perhatikan bedanya: kelilingnya $2\pi r$ memakai $r$ , sedangkan luasnya $\pi r^2$ memakai $r^2$ .

53.4 Prisma dan tabung

Definisi 53.7 (Prisma, tabung)

Prisma adalah bangun ruang dengan dua sisi bersegi banyak yang sejajar dan identik (alasnya) yang dihubungkan persegi panjang; tabung adalah bangun yang sama dengan cakram sebagai alasnya. Tingginya adalah jarak antara kedua alasnya.

Teorema 53.8 (Volume)

Untuk prisma atau tabung dengan luas alas $B$ dan tinggi $h$ :

V = B \times h .

Bukti. Diterima tanpa bukti pada tingkat ini. ∎

Contoh 53.9

Sebuah tenda adalah prisma yang berbaring pada sisinya: alasnya segitiga dengan alas $2$ m dan tinggi $1.5$ m, dan tendanya sepanjang $3$ m.

Luas alasnya: $B = \frac{2 \times 1.5}{2} = 1.5$ m $^2$ .
Volumenya: $V = B \times h = 1.5 \times 3 = 4.5$ m $^3$ .

Sebuah kaleng berjari-jari $4$ cm dan tinggi $11$ cm: $V = \pi \times 4^2 \times 11 = 176\pi \approx 553$ cm $^3$ , kira-kira setengah liter.

53.5 Latihan

Latihan 53.1 ★

Hitunglah luas jajargenjang dengan alas $8$ cm dan tinggi $5$ cm; lalu luas jajargenjang lain dengan alas $6.5$ m dan tinggi $4$ m.

Solusi

Solusi Latihan 53.1.

$8 \times 5 = 40$ cm $^2$ ; $6.5 \times 4 = 26$ m $^2$ .

Latihan 53.2 ★

Sebuah jajargenjang punya sisi $10$ cm dan $6$ cm, dan tingginya terhadap alas $10$ cm berukuran $4$ cm. Hitunglah luasnya. Mengapa jawabannya bukan $60$ cm $^2$ ?

Solusi

Solusi Latihan 53.2.

$A = 10 \times 4 = 40$ cm $^2$ . Jawabannya bukan $10 \times 6 = 60$ karena sisi $6$ cm itu miring: rumusnya memakai tinggi (jarak tegak lurus), yang $4$ cm.

Latihan 53.3 ★

Hitunglah luas segitiga dengan alas $12$ cm dan tinggi $7$ cm; luas segitiga siku-siku dengan sisi siku-siku $9$ dan $6$ ; luas segitiga dengan alas $5.5$ m dan tinggi $2$ m.

Solusi

Solusi Latihan 53.3.

$\frac{12 \times 7}{2} = 42$ cm $^2$ ; $\frac{9 \times 6}{2} = 27$ ; $\frac{5.5 \times 2}{2} = 5.5$ m $^2$ .

Latihan 53.4 ★

Hitunglah luas cakram berjari-jari $5$ cm, lalu luas setengah cakram berjari-jari $10$ cm (nilai persis dengan $\pi$ , lalu dibulatkan ke satuan).

Solusi

Solusi Latihan 53.4.

Cakram: $\pi \times 5^2 = 25\pi \approx 79$ cm $^2$ . Setengah cakram berjari-jari $10$ : $\frac{\pi \times 10^2}{2} = 50\pi \approx 157$ cm $^2$ .

Latihan 53.5 ★

Hitunglah keliling dan luas cakram berjari-jari $3$ cm. Jawaban yang mana dalam cm dan yang mana dalam cm $^2$ ?

Solusi

Solusi Latihan 53.5.

Kelilingnya: $2\pi \times 3 = 6\pi \approx 18.8$ cm (sebuah panjang, dalam cm). Luasnya: $\pi \times 3^2 = 9\pi \approx 28.3$ cm $^2$ (sebuah permukaan, dalam cm $^2$ ).

Latihan 53.6 ★

Hitunglah volume prisma dengan luas alas $24$ cm $^2$ dan tinggi $10$ cm; lalu volume tabung berjari-jari $3$ cm dan tinggi $8$ cm (persis, lalu dibulatkan).

Solusi

Solusi Latihan 53.6.

Prisma: $24 \times 10 = 240$ cm $^3$ . Tabung: $\pi \times 3^2 \times 8 = 72\pi \approx 226$ cm $^3$ .

Latihan 53.7 ★

Sebuah segitiga punya luas $28$ cm $^2$ dan alas $8$ cm. Carilah tinggi yang bersesuaian, dengan menulis persamaannya lebih dahulu.

Solusi

Solusi Latihan 53.7.

$\frac{8 \times h}{2} = 28$ , jadi $4h = 28$ dan $h = 7$ cm.

Latihan 53.8 ★★

Gambarlah segitiga apa saja lalu ukurlah dengan teliti ketiga pasangan alas–tingginya. Hitunglah $\frac{b \times h}{2}$ untuk tiap pasangannya: ketiga hasilnya seharusnya sesuai (sampai galat pengukuran). Mengapa?

Solusi

Solusi Latihan 53.8.

Ketiga hasil kalinya sesuai karena masing-masing menghitung besaran yang sama — yaitu luas segitiganya. Ini memberi pemeriksaan yang praktis untuk pelukisan, dan cara menghitung sebuah tinggi dari pasangan alas–tinggi yang lain (dipakai pada Latihan 53.12).

Latihan 53.9 ★★

Kebun berbentuk trapesium dapat dibelah, oleh satu diagonal, menjadi dua segitiga yang tingginya sama $h = 20$ m, dengan alas $30$ m dan $18$ m. Hitunglah luas seluruhnya. Dapatkah kamu menebak rumus umum untuk trapesium?

Solusi

Solusi Latihan 53.9.

Kedua segitiganya punya luas $\frac{30 \times 20}{2} = 300$ m $^2$ dan $\frac{18 \times 20}{2} = 180$ m $^2$ : seluruhnya $480$ m $^2$ . Rumus umum yang disarankan: untuk sisi sejajar $a$ dan $b$ pada jarak $h$ ,

A = \frac{(a + b) \times h}{2}

— yaitu rumus trapesium (di sini $\frac{(30+18)\times 20}{2} = 480$ ).

Latihan 53.10 ★★

Vas berbentuk tabung berjari-jari $6$ cm berisi air dengan tinggi $15$ cm. Seluruh airnya dituang ke dalam balok kosong yang alasnya $18$ cm $\times$ $12$ cm. Tinggi air berapa yang tercapai di dalam baloknya? (Volume sama, alas berbeda.)

Solusi

Solusi Latihan 53.10.

Volume airnya: $\pi \times 6^2 \times 15 = 540\pi \approx 1\,696$ cm $^3$ . Alas baloknya: $18 \times 12 = 216$ cm $^2$ . Tinggi yang tercapai: $\frac{540\pi}{216} = 2.5\pi \approx 7.9$ cm.

Latihan 53.11 ★★

Piza berdiameter $30$ cm berharga $9$ euro; piza berdiameter $40$ cm berharga $14$ euro. Hitunglah kedua luasnya dan harga per $100$ cm $^2$ . Piza mana yang lebih menguntungkan?

Solusi

Solusi Latihan 53.11.

Jari-jarinya $15$ dan $20$ cm. Luasnya: $225\pi \approx 707$ cm $^2$ dan $400\pi \approx 1257$ cm $^2$ . Harga per $100$ cm $^2$ : $\frac{9}{7.07} \approx 1.27$ euro dan $\frac{14}{12.57} \approx 1.11$ euro. Piza yang besar lebih menguntungkan — luas tumbuh dengan kuadrat diameternya.

Latihan 53.12 ★★★

Kedua sisi siku-siku sebuah segitiga siku-siku berukuran $6$ cm dan $8$ cm, dan sisi miringnya berukuran $10$ cm. Hitunglah luasnya dengan sisi siku-sikunya, lalu pakailah luas itu untuk mencari tinggi terhadap sisi miringnya.

Solusi

Solusi Latihan 53.12.

Dengan sisi siku-sikunya: $A = \frac{6 \times 8}{2} = 24$ cm $^2$ . Dengan sisi miringnya sebagai alas: $24 = \frac{10 \times h}{2} = 5h$ , jadi $h = 4.8$ cm.

53.6 Soal: Persegi yang lenyap

Soal 53.1

Soal akhir pekan — “bukti” terkenal bahwa $64 = 65$ , yang dibongkar oleh luas dan kemiringan, dengan piza dan cincin sebagai pencuci mulut

Seorang pesulap memotong persegi $8 \times 8$ menjadi empat kepingan, menggeser-gesernya, lalu menyusunnya kembali menjadi persegi panjang $5 \times 13$ . Penontonnya membilang: $8 \times 8 = 64$ , tetapi $5 \times 13 = 65$ — satu persegi satuan muncul begitu saja dari udara kosong! Rumus luas bab ini persis alat yang menangkap triknya. Soal ini lalu mempekerjakan penalaran luas yang jujur: pada trapesium, pada tumpukan miring, pada perhitungan piza — dan akhirnya kembali kepada pesulapnya untuk pertunjukan kedua yang bahkan lebih aneh.

Bagian I — Triknya, dipentaskan dan dibongkar. Keempat kepingan persegi $8 \times 8$ itu adalah: dua segitiga siku-siku dengan sisi siku-siku $8$ dan $3$ , dan dua trapesium siku-siku dengan sisi sejajar $5$ dan $3$ serta tinggi $5$ .

Hitunglah luas persegi aslinya dan luas persegi panjang yang dinyatakannya. Nyatakan keanehannya dalam satu baris.
Hitunglah luas tiap kepingan dari keempatnya (Teorema 53.3; untuk trapesiumnya, potonglah atau pakailah Latihan 53.9).
Jumlahkan keempat luasnya. Bangun yang mana dari keduanya — persegi atau persegi panjang — yang sungguh dapat diisi kepingannya?
Pada susunan persegi panjangnya, sisi miring sebuah segitiga (naik $3$ sepanjang $8$ ) seharusnya melanjutkan tepi miring sebuah trapesium (naik $2$ sepanjang $5$ ) dalam satu “diagonal” yang lurus. Ujilah kesegarisannya: apakah naik $3$ sepanjang $8$ dan naik $2$ sepanjang $5$ punya kecuraman yang sama (Teorema 49.3)?
Jelaskan di mana persegi keenam puluh lima itu bersembunyi: apa bentuk celah di sepanjang diagonal palsunya, berapa luasnya yang persis, dan mengapa mata melewatkannya? (Berapa lebar rata-rata bilah setipis itu kalau dibentangkan sepanjang diagonal persegi panjangnya, yang kira-kira $13$ satuan panjangnya?)

Bagian II — Penalaran luas yang jujur.

Gambarlah dua garis sejajar yang berjarak $4$ cm, sebuah alas sepanjang $6$ cm pada salah satunya, lalu tiga segitiga berbeda pada alas itu dengan puncak di berbagai titik pada garis yang lain. Hitunglah ketiga luasnya. Mengapa semuanya sama, ke mana pun puncaknya bergeser di sepanjang garisnya?
Buktikan rumus trapesium secara umum: trapesium dengan sisi sejajar $B$ dan $b$ serta tinggi $h$ , yang dipotong sepanjang sebuah diagonal, memberi dua segitiga dengan tinggi yang sama $h$ . Simpulkan:

$A = \frac{(B + b) \times h}{2} .$
Terapkan pada trapesium dengan $B = 9$ cm, $b = 5$ cm, $h = 4$ cm.
Tukang kayu memakai rumus yang sama dalam samaran: luas $=$ (rata-rata kedua sisi sejajarnya) $\times$ tinggi. Jelaskan mengapa itu aturan yang sama, lalu hitunglah ulang pertanyaan 8 dengan cara itu.
Miringkan tumpukan kartu remi yang rapi menjadi tumpukan yang condong. Jelaskan mengapa volumenya tidak berubah, dan apa artinya itu bagi tinggi pada rumus prisma $V = B \times h$ (Teorema 53.8): tinggi yang mana yang harus diambil untuk tumpukan yang condong — panjang condongnya atau panjang tegaknya? (Bandingkan Latihan 53.2, satu dimensi lebih tinggi.)

Bagian III — Cincin, piza, dan kembalinya pesulap.

Kolam berbentuk lingkaran berjari-jari $3$ m terletak di pusat halaman rumput berbentuk lingkaran berjari-jari $5$ m. Hitunglah luas cincin rumputnya (persis dengan $\pi$ , lalu dibulatkan ke m $^2$ ).
Carilah jari-jari cakram tunggal yang luasnya persis sama dengan luas cincin itu. (Ketiga jari-jari yang kini kamu punya membentuk tripel yang terkenal, yang kisahnya diceritakan pada Bab 58.)
Mana yang lebih banyak piza: satu piza berdiameter $40$ cm, atau dua piza berdiameter $28$ cm? Hitunglah lalu bandingkan.
Untuk melipatduakan luas sebuah piza, kira-kira dengan faktor berapa jari-jarinya harus tumbuh? Periksalah calon $1.4$ (ingatlah bahwa luas mengikuti kuadrat faktor penskalaannya, Soal 44.1), lalu katakan di mana faktor yang persis — bilangan yang kuadratnya $2$ — membuat penampilan resminya (Contoh 58.9).
Pesulapnya kembali: ia memotong persegi $13 \times 13$ dengan bilangan $5$ , $8$ , $13$ memainkan peran yang dimainkan $3$ , $5$ , $8$ sebelumnya, lalu menyusun ulang persegi panjang $8 \times 21$ . Hitunglah kedua luasnya: apa yang lenyap kali ini? Bilangan $3, 5, 8, 13, 21$ adalah suku berurutan barisan pada Soal 47.1 — nyatakan polanya pada untung dan rugi pesulapnya, dan pesan moralnya: mengapa luas tidak pernah berbohong?

Solusi

Solusi Soal 53.1.

1. Persegi: $8 \times 8 = 64$ . Persegi panjang: $5 \times 13 = 65$ . Keempat kepingan yang sama tampak menutupi $64$ persegi satuan pada bangun yang satu dan $65$ pada yang lain: satu satuan luas tercipta dari ketiadaan — katanya begitu.

2. Tiap segitiganya: $\frac{8 \times 3}{2} = 12$ . Tiap trapesiumnya: $\frac{(5 + 3) \times 5}{2} = 20$ .

3. $12 + 12 + 20 + 20 = 64$ : kepingannya berjumlah $64$ , jadi kepingannya dapat mengisi perseginya dengan tepat — dan tidak dapat mengisi persegi panjang yang $65$ satuan. Gambar persegi panjangnya pasti memuat sebuah lubang.

4. Kecuraman yang sama berarti naik $3$ sepanjang $8$ sebanding dengan naik $2$ sepanjang $5$ ; hasil kali silangnya: $3 \times 5 = 15$ dan $2 \times 8 = 16$ . Tidak sama: sisi miringnya dan tepi miringnya tidak segaris. “Diagonal” persegi panjangnya adalah dusta — dua kemiringan yang sedikit berbeda yang bertemu pada sudut yang tumpul.

5. Di sepanjang diagonal palsunya keempat kepingan itu meninggalkan celah yang panjang dan luar biasa tipis — sebilah tipis berbentuk jajargenjang yang sangat datar — yang luasnya persis satu persegi satuan yang hilang, $65 - 64 = 1$ . Kalau dibentangkan sepanjang diagonal yang kira-kira $13$ satuan panjangnya, lebar rata-ratanya kira-kira $1 \div 13 \approx 0.08$ satuan: pada gambar sungguhan, lebih tipis daripada garis pensil yang menyembunyikannya.

6. Tiap segitiganya punya alas $6$ cm dan tinggi $4$ cm — yaitu jarak antara kedua garis sejajarnya, di mana pun puncaknya duduk — jadi tiap luasnya $\frac{6 \times 4}{2} = 12$ cm $^2$ (Teorema 53.3). Menggeser puncaknya di sepanjang garis sejajarnya mengubah bentuknya, tidak pernah alas atau tingginya: luasnya sama selamanya.

7. Diagonalnya memotong trapesiumnya menjadi segitiga beralas $B$ dan segitiga beralas $b$ , keduanya setinggi $h$ (yaitu jarak antara sisi sejajarnya):

A = \frac{B \times h}{2} + \frac{b \times h}{2} = \frac{(B + b) \times h}{2} .

8. $A = \frac{(9 + 5) \times 4}{2} = \frac{56}{2} = 28$ cm $^2$ .

9. Rata-rata sisi sejajarnya adalah $\frac{B + b}{2}$ , jadi (rata-rata) $\times h = \frac{(B+b) \times h}{2}$ : rumus yang sama, yang difaktorkan secara berbeda. Periksa: rata-ratanya $= \frac{9+5}{2} = 7$ , dan $7 \times 4 = 28$ cm $^2$ .

10. Tumpukan yang condong memuat kartu yang persis sama — lapisan yang sama, masing-masing dengan luas yang sama — jadi volumenya sama. Pada $V = B \times h$ , tingginya harus diukur tegak lurus terhadap alasnya (yaitu tinggi tegak tumpukannya), bukan sepanjang condongnya: persis seperti luas jajargenjang yang menghendaki tinggi tegak lurusnya, bukan sisi miringnya (Latihan 53.2), satu dimensi lebih tinggi.

11. Cincinnya $= \pi \times 5^2 - \pi \times 3^2 = 25\pi - 9\pi = 16\pi \approx 50$ m $^2$ (Teorema 53.5).

12. Cakram dengan luas $16\pi$ berjari-jari $4$ , karena $\pi \times 4^2 = 16\pi$ . Jari-jarinya $3$ , $4$ , $5$ : tripel yang paling terkenal dalam matematika, yang berperan utama pada Bab 58.

13. Satu piza $40$ cm: jari-jarinya $20$ , luasnya $\pi \times 400 \approx 1\,257$ cm $^2$ . Dua piza $28$ cm: jari-jarinya $14$ , bersama-sama $2 \times \pi \times 196 = 392\pi \approx 1\,232$ cm $^2$ . Satu piza yang besar itu lebih banyak daripada dua piza sedang.

14. Menskalakan jari-jarinya dengan $1.4$ menskalakan luasnya dengan $1.4^2 = 1.96$ — hampir dua kali lipat. Faktor yang persis adalah bilangan yang kuadratnya $2$ , kira-kira $1.414$ : yaitu bilangan diagonal pada Contoh 58.9. (Patokan kasar: setengah kali lagi lebarnya berarti dua kali pizanya, hampir.)

15. $13 \times 13 = 169$ , tetapi $8 \times 21 = 168$ : kali ini satu persegi satuan menghilang — kepingannya bertindih pada sebilah tipis, bukannya meninggalkan celah. Dengan suku berurutan $3, 5, 8, 13, 21$ pada barisan Hemachandra–Fibonacci, hasil kalinya berganti-ganti antara satu lebih banyak dan satu lebih sedikit daripada kuadratnya ( $5 \times 13 = 65 = 8^2 + 1$ , lalu $8 \times 21 = 168 = 13^2 - 1$ ): pesulapnya bergantian “untung” dan “rugi” satu satuan. Luas tidak pernah berbohong: kepingan yang berjumlah $64$ menutupi $64$ , ke mana pun kepingannya digeser — setiap satuan yang hilang atau berlebih sedang bersembunyi pada sebilah tipis, menunggu pemeriksaan kemiringan untuk menyingkapkannya.

Istilah yang didefinisikan dalam bab ini

Prisma, tabung

Lihat semua 395 istilah di glosarium