Matematika Sekolah Dasar dan Menengah · Grades 1–9

66Aljabar dan Persamaan

Huruf mewakili bilangan, dan berhitung dengan huruf membuktikan kenyataan tentang semua bilangan sekaligus. Bab ini melatih penjabaran dan pemfaktoran — termasuk ketiga kesamaan yang akan mengikutimu di seluruh matematika — lalu menyelesaikan persamaan berderajat satu, persamaan hasil kali, dan pertidaksamaan sederhana, selalu satu langkah beralasan setiap kalinya.

66.1 Menjabarkan

Definisi 66.1 (Menjabarkan)

Menjabarkan berarti mengubah sebuah hasil kali menjadi sebuah jumlah, dengan memakai sifat distributif:

k(a + b) = ka + kb, \qquad (a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd .

Contoh 66.2

Tiap suku tanda kurung pertamanya mengalikan tiap suku yang kedua:

\begin{align*} (x + 3)(2x + 5) &= x \times 2x + x \times 5 + 3 \times 2x + 3 \times 5 \\ &= 2x^2 + 5x + 6x + 15 \\ &= 2x^2 + 11x + 15 . \end{align*}

Tandanya ikut bepergian bersama sukunya:

\begin{align*} (3x - 2)(x - 4) &= 3x^2 - 12x - 2x + 8 = 3x^2 - 14x + 8 . \end{align*}

Teorema 66.3 (Ketiga kesamaannya)

Untuk semua bilangan $a$ dan $b$ :

(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2, \qquad (a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2, \qquad (a+b)(a-b) = a^2 - b^2 .

Bukti. Jabarkan tiap ruas kirinya. Untuk yang pertama: $(a+b)(a+b) = a^2 + ab + ba + b^2 = a^2 + 2ab + b^2$ . Untuk yang kedua, gantilah $b$ dengan $-b$ pada yang pertama. Untuk yang ketiga: $(a+b)(a-b) = a^2 - ab + ba - b^2 = a^2 - b^2$ (suku silangnya saling meniadakan). ∎

Kesamaan (a+b)2 = a2 + 2ab + b2, yang dilihat sebagai luas: persegi besar bersisi a+b tersusun dari dua persegi dan dua persegi panjang yang sama. Melupakan “2ab” berarti melupakan kedua persegi panjangnya! — Kesamaan $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$ , yang dilihat sebagai luas: persegi besar bersisi $a+b$ tersusun dari dua persegi dan dua persegi panjang yang sama. Melupakan “ $2ab$ ” berarti melupakan kedua persegi panjangnya!

Contoh 66.4

(x + 5)^2 = x^2 + 10x + 25, \qquad (3x - 1)^2 = 9x^2 - 6x + 1, \qquad (2x + 7)(2x - 7) = 4x^2 - 49 .

Berhitung di kepala: $102^2 = (100 + 2)^2 = 10000 + 400 + 4 = 10404$ , dan $98 \times 102 = (100-2)(100+2) = 10000 - 4 = 9996$ .

66.2 Memfaktorkan

Metode 66.5 (Memfaktorkan)

Untuk memfaktorkan sebuah bentuk, cobalah berurutan:

faktor bersama: $ka + kb = k(a + b)$ , dengan $k$ boleh berupa tanda kurung juga;
selisih kuadrat: $a^2 - b^2 = (a+b)(a-b)$ ;
kuadrat sempurna: $a^2 + 2ab + b^2 = (a+b)^2$ (dan dengan $-2ab$ , menjadi $(a-b)^2$ ).

Periksalah selalu dengan menjabarkan hasilnya.

Contoh 66.6

Faktor bersama: $15x^2 + 10x = 5x \times 3x + 5x \times 2 = 5x(3x + 2)$ .

Tanda kurung bersama:

(x+2)(x-1) + (x+2)(3x+4) = (x+2)\bigl[(x-1) + (3x+4)\bigr] = (x+2)(4x+3).

Selisih kuadrat: $x^2 - 81 = (x+9)(x-9)$ , dan

(2x+1)^2 - 9 = (2x+1)^2 - 3^2 = (2x+1+3)(2x+1-3) = (2x+4)(2x-2).

Tiap faktornya masih punya faktor bersama: $(2x+4)(2x-2) = 2(x+2) \times 2(x-1) = 4(x+2)(x-1)$ .

66.3 Persamaan

Metode 66.7 (Persamaan berderajat satu)

Untuk menyelesaikan persamaan seperti $5x - 3 = 2x + 9$ :

kumpulkan suku $x$ pada satu ruas dan bilangannya pada ruas yang lain, dengan menambahkan besaran yang sama pada kedua ruasnya;
sederhanakan tiap ruasnya;
bagilah kedua ruasnya dengan koefisien $x$ ;
periksalah penyelesaiannya pada persamaan aslinya.

Contoh 66.8

\begin{align*} 5x - 3 &= 2x + 9 \\ 5x - 2x &= 9 + 3 && \text{(tambahkan $3 - 2x$ pada kedua ruasnya)}\\ 3x &= 12 \\ x &= 4 && \text{(bagilah dengan 3).} \end{align*}

Periksa: $5 \times 4 - 3 = 17$ dan $2 \times 4 + 9 = 17$ . Penyelesaiannya adalah $4$ .

Dengan tanda kurung, jabarkan lebih dahulu: $3(x - 2) = x + 8$ menjadi $3x - 6 = x + 8$ , jadi $2x = 14$ dan $x = 7$ .

Teorema 66.9 (Aturan hasil kali nol)

Sebuah hasil kali bernilai nol jika dan hanya jika sedikitnya satu faktornya nol:

A \times B = 0 \quad\Longleftrightarrow\quad A = 0 \ \text{ atau } \ B = 0 .

Bukti. Kalau sebuah faktornya nol, jelas hasil kalinya nol. Sebaliknya kalau $A B = 0$ dengan $A \neq 0$ , membagi kedua ruasnya dengan $A$ memberi $B = 0$ . ∎

Contoh 66.10

Selesaikan $(x - 3)(2x + 10) = 0$ : entah $x - 3 = 0$ entah $2x + 10 = 0$ , jadi penyelesaiannya adalah $3$ dan $-5$ .

Selesaikan $x^2 - 49 = 0$ : faktorkan lebih dahulu, $(x-7)(x+7) = 0$ , penyelesaiannya $7$ dan $-7$ .

Selesaikan $x^2 = 3x$ : jangan pernah membagi dengan $x$ ! Pindahkan lalu faktorkan: $x^2 - 3x = x(x - 3) = 0$ , penyelesaiannya $0$ dan $3$ .

66.4 Pertidaksamaan

Proposisi 66.11 (Aturan untuk pertidaksamaan)

Sebuah pertidaksamaan terpelihara ketika bilangan yang sama ditambahkan pada kedua ruasnya, dan ketika kedua ruasnya dikalikan dengan bilangan positif yang sama. Mengalikan kedua ruasnya dengan bilangan negatif membalikkan tanda pertidaksamaannya.

Bukti. Kalau $a \leq b$ maka $b - a \geq 0$ . Dengan menambahkan $c$ : $(b+c) - (a+c) = b - a \geq 0$ , jadi $a + c \leq b + c$ . Dengan mengalikan dengan $c > 0$ : $bc - ac = (b-a)c \geq 0$ , jadi $ac \leq bc$ . Dengan mengalikan dengan $c < 0$ : $(b-a)c \leq 0$ , jadi $ac \geq bc$ : urutannya terbalik. ∎

Contoh 66.12

Selesaikan $7 - 2x < 15$ :

\begin{align*} 7 - 2x &< 15 \\ -2x &< 8 && \text{(kurangkan 7)} \\ x &> -4 && \text{(bagilah dengan $-2$: balikkan tandanya).} \end{align*}

Penyelesaiannya adalah semua bilangan yang lebih besar daripada $-4$ : pada garis bilangan, sebuah titik berongga di $-4$ dan arsiran ke kanan.

Penyelesaian 7 - 2x < 15: semua x > -4 (titik berongga: -4 sendiri bukan penyelesaiannya). — Penyelesaian $7 - 2x < 15$ : semua $x > -4$ (titik berongga: $-4$ sendiri bukan penyelesaiannya).

66.5 Latihan

Latihan 66.1 ★

Jabarkan lalu sederhanakan:

4(3x - 2), \qquad (x + 6)(x + 2), \qquad (2x - 3)(x + 5), \qquad (x - 1)(x - 9).

Solusi

Solusi Latihan 66.1.

$4(3x - 2) = 12x - 8$ .

$(x+6)(x+2) = x^2 + 2x + 6x + 12 = x^2 + 8x + 12$ .

$(2x-3)(x+5) = 2x^2 + 10x - 3x - 15 = 2x^2 + 7x - 15$ .

$(x-1)(x-9) = x^2 - 9x - x + 9 = x^2 - 10x + 9$ .

Latihan 66.2 ★

Jabarkan dengan memakai kesamaannya:

(x + 8)^2, \qquad (3x - 4)^2, \qquad (x + 10)(x - 10), \qquad (5x + 2)(5x - 2).

Solusi

Solusi Latihan 66.2.

$(x+8)^2 = x^2 + 16x + 64$ .

$(3x-4)^2 = 9x^2 - 24x + 16$ .

$(x+10)(x-10) = x^2 - 100$ .

$(5x+2)(5x-2) = 25x^2 - 4$ .

Latihan 66.3 ★

Hitunglah di kepala, dengan memakai sebuah kesamaan: $101^2$ ; $59^2$ (tulislah $59 = 60 - 1$ ); $53 \times 47$ .

Solusi

Solusi Latihan 66.3.

$101^2 = (100+1)^2 = 10000 + 200 + 1 = 10201$ .

$59^2 = (60-1)^2 = 3600 - 120 + 1 = 3481$ .

$53 \times 47 = (50+3)(50-3) = 2500 - 9 = 2491$ .

Latihan 66.4 ★

Faktorkan:

9x + 12, \qquad x^2 - 64, \qquad x^2 + 14x + 49, \qquad 18x^2 - 6x .

Solusi

Solusi Latihan 66.4.

$9x + 12 = 3(3x + 4)$ .

$x^2 - 64 = (x+8)(x-8)$ .

$x^2 + 14x + 49 = (x+7)^2$ .

$18x^2 - 6x = 6x(3x - 1)$ .

Latihan 66.5 ★

Selesaikan, dengan menulis tiap langkahnya:

4x + 7 = 19, \qquad 6x - 5 = 2x + 11, \qquad 5(x - 3) = 3x + 1 .

Solusi

Solusi Latihan 66.5.

$4x + 7 = 19$ : $4x = 12$ , jadi $x = 3$ .

$6x - 5 = 2x + 11$ : $4x = 16$ , jadi $x = 4$ .

$5(x-3) = 3x + 1$ : $5x - 15 = 3x + 1$ , jadi $2x = 16$ dan $x = 8$ .

Latihan 66.6 ★★

Selesaikan dengan memakai aturan hasil kali nol:

(x + 4)(3x - 12) = 0, \qquad x^2 - 121 = 0, \qquad (2x - 1)^2 = 0, \qquad x^2 = 8x .

Solusi

Solusi Latihan 66.6.

$(x+4)(3x-12) = 0$ : $x = -4$ atau $x = 4$ .

$x^2 - 121 = (x-11)(x+11) = 0$ : $x = 11$ atau $x = -11$ .

$(2x-1)^2 = 0$ : satu-satunya penyelesaiannya $x = \frac12$ .

$x^2 = 8x$ : $x(x - 8) = 0$ , jadi $x = 0$ atau $x = 8$ .

Latihan 66.7 ★★

Faktorkan $E = (3x + 2)^2 - 25$ , lalu selesaikan $E = 0$ .

Solusi

Solusi Latihan 66.7.

Selisih kuadrat dengan $a = 3x + 2$ dan $b = 5$ :

E = (3x + 2)^2 - 5^2 = (3x + 2 + 5)(3x + 2 - 5) = (3x + 7)(3x - 3).

Aturan hasil kali nol: $3x + 7 = 0$ memberi $x = -\frac73$ , dan $3x - 3 = 0$ memberi $x = 1$ .

Latihan 66.8 ★★

Selesaikan pertidaksamaannya lalu gambarkan penyelesaiannya pada garis bilangan:

3x - 4 \geq 8, \qquad 5 - 2x > 1, \qquad 4(x + 1) \leq x - 5 .

Solusi

Solusi Latihan 66.8.

$3x - 4 \geq 8$ : $3x \geq 12$ , jadi $x \geq 4$ (titik penuh di $4$ , arsir ke kanan).

$5 - 2x > 1$ : $-2x > -4$ , membaginya dengan $-2$ membalikkan tandanya: $x < 2$ (titik berongga di $2$ , arsir ke kiri).

$4(x+1) \leq x - 5$ : $4x + 4 \leq x - 5$ , jadi $3x \leq -9$ , jadi $x \leq -3$ (titik penuh di $-3$ , arsir ke kiri).

Latihan 66.9 ★★

Aku memikirkan sebuah bilangan, mengalikannya dengan $3$ , menambahkan $7$ , dan memperoleh hasil yang sama seperti kalau aku mengalikannya dengan $5$ lalu mengurangkan $9$ . Berapa bilanganku? (Susunlah sebuah persamaan lalu selesaikan.)

Solusi

Solusi Latihan 66.9.

Misalkan $x$ bilangannya: $3x + 7 = 5x - 9$ . Lalu $16 = 2x$ , jadi $x = 8$ . Periksa: $3 \times 8 + 7 = 31$ dan $5 \times 8 - 9 = 31$ .

Latihan 66.10 ★★★

Misalkan $n$ sebuah bilangan bulat.

Jabarkan $(n + 1)(n - 1)$ lalu simpulkan bahwa hasil kali kedua tetangga $n$ selalu $n^2 - 1$ (misalnya $24 \times 26 = 25^2 - 1 = 624$ ).
Tunjukkan bahwa jumlah tiga bilangan bulat yang berurutan selalu kelipatan $3$ .

Solusi

Solusi Latihan 66.10.

1. $(n+1)(n-1) = n^2 - 1$ (kesamaan ketiga). Tetangga $n$ adalah $n - 1$ dan $n + 1$ , jadi hasil kalinya $n^2 - 1$ : misalnya $24 \times 26 = 625 - 1 = 624$ .

2. Tiga bilangan bulat berurutan dapat ditulis $n - 1$ , $n$ , $n + 1$ . Jumlahnya adalah

(n-1) + n + (n+1) = 3n ,

yaitu kelipatan $3$ (tiga kali yang di tengahnya).

66.6 Soal: Aljabar angka

Soal 66.1

Soal akhir pekan — mengapa aturan keterbagian berhasil, trik 1089 yang dibongkar, dan berhitung di kepala yang tampak seperti sihir

Sekolah dasar mengajarimu aturan (sebuah bilangan habis dibagi $9$ ketika jumlah angkanya juga demikian); pesulap memainkan trik (semua orang berakhir di $1089$ ); pasar mengetahui jalan pintas ( $35^2 = 1225$ , seketika). Semuanya rahasia yang sama: bilangan dengan angka $a$ , $b$ , $c$ adalah bentuk $100a + 10b + c$ , dan aljabar bab ini (Teorema 66.3, penjabaran, pemfaktoran) dapat membongkarnya. Pada akhir soal ini kamu akan sudah membuktikan aturannya, membongkar triknya, dan mempelajari sihirnya.

Bagian I — Angka di bawah mikroskop.

Bilangan dua angka dengan angka puluhan $a$ dan angka satuan $b$ adalah $10a + b$ . Jabarkan lalu faktorkan selisih antara bilangannya dan bilangan baliknya, $(10a + b) - (10b + a)$ , lalu nyatakan penemuanmu. Periksalah pada $72 - 27$ .
Buktikan aturan sembilan untuk bilangan tiga angka: periksalah kesamaan

$100a + 10b + c = 9\,(11a + b) + (a + b + c),$

lalu jelaskan mengapa kesamaan itu menunjukkan bahwa sebuah bilangan dan jumlah angkanya meninggalkan sisa yang sama pada pembagian dengan $9$ — jadi yang satu habis dibagi $9$ persis ketika yang lain juga (Proposisi 64.3, yang kini terbukti).
Simpulkan aturan tiga dari kesamaan yang sama, dalam satu kalimat.
“Membuang sembilan”, pemeriksaan milik para akuntan: untuk menguji $47 \times 86 = 4\,042$ , gantilah tiap bilangannya dengan jumlah angka dari jumlah angkanya: $47 \to 11 \to 2$ , $86 \to 14 \to 5$ , dan $2 \times 5 = 10 \to 1$ ; lalu $4\,042 \to 10 \to 1$ : cocok. Jelaskan mengapa hasil kali yang benar pasti lulus ujian itu (tulislah $47 = 9k + 2$ , $86 = 9l + 5$ lalu jabarkan), lalu carilah hasil yang salah yang gagal ditangkap ujiannya (mengapa angka yang tertukar tidak terlihat olehnya?).
Buktikan aturan sebelas untuk bilangan empat angka: periksalah

$1000a + 100b + 10c + d = 11\,(91a + 9b + c) + (- a + b - c + d),$

lalu pakailah untuk memutuskan apakah $2\,926$ habis dibagi $11$ .

Bagian II — Trik 1089. Triknya: pikirkan bilangan tiga angka yang angka pertama dan terakhirnya berbeda sedikitnya $2$ ; baliklah urutannya; kurangkan yang lebih kecil dari yang lebih besar; baliklah urutan hasilnya; jumlahkan kedua bilangan terakhirnya. Pesulapnya mengumumkan: 1089.

Mainkan triknya pada $742$ dan pada satu bilangan pilihanmu sendiri.
Misalkan bilangannya punya angka $a$ , $b$ , $c$ dengan $a > c$ . Faktorkan pengurangan pertamanya, $(100a + 10b + c) - (100c + 10b + a)$ , lalu sebutkan semua nilai yang dapat diambilnya ketika $a - c$ berjalan dari $2$ sampai $9$ .
Masing-masing kelipatan $99$ itu punya pola angka yang mencolok. Dengan menulis $m = a - c$ , periksalah kesamaan

$99m = 100\,(m - 1) + 90 + (10 - m),$

lalu bacalah ketiga angka $99m$ .
Jumlahkan $99m$ dengan bilangan baliknya sendiri, dengan memakai angka pada pertanyaan 8, lalu buktikan bahwa jumlahnya $1089$ — berapa pun $m$ . Triknya mati; hiduplah aljabarnya.
Mengapa pesulapnya menuntut angka pertama dan terakhirnya berbeda sedikitnya $2$ ? Periksalah keadaan $a = c$ dan $a - c = 1$ (yang pengurangannya memberi $99$ , yang harus ditulis $099$ agar pembalikannya berhasil), lalu nyatakan catatan kecil yang menjaga triknya tetap jujur.

Bagian III — Sihir untuk pemakaian sehari-hari.

Trik ulang tahun: “kalikan bulan kelahiranmu dengan $5$ , tambahkan $7$ , kalikan dua, tambahkan tanggal kelahiranmu, kurangkan $14$ .” Tunjukkan bahwa hasilnya selalu $10m + d$ — yaitu bulan dan tanggalnya, terbaca sekilas. (Cobalah pada seseorang.)
Kamu merancang ulang triknya menjadi: “kalikan bulannya dengan $5$ , tambahkan $9$ , kalikan dua, tambahkan tanggalnya.” Bilangan berapa yang kini harus dikurangkan penontonnya pada akhirnya agar bacaan bulan–tanggalnya sama?
Trik angka yang hilang: penontonnya memilih bilangan apa pun, mengurangkan jumlah angkanya (pertanyaan 2 berkata hasilnya selalu kelipatan $9$ — jelaskan mengapa untuk bilangan tiga angka), lalu mencoret satu angka yang bukan nol lalu membacakan angka yang tersisa kepadamu. Jelaskan bagaimana kamu memulihkan angka yang dicoretnya, dan mengapa $0$ harus dikecualikan.
Sihir pasar: buktikan kesamaan $(10t + 5)^2 = 100\,t(t+1) + 25$ , nyatakan aturan untuk mengkuadratkan bilangan mana pun yang berakhir dengan $5$ , lalu hitunglah $45^2$ , $85^2$ dan $105^2$ di kepalamu.
Penutupnya, yang memperluas Latihan 66.10: buktikan bahwa jumlah lima bilangan bulat berurutan selalu kelipatan $5$ , tetapi jumlah empat bilangan bulat berurutan tidak pernah kelipatan $4$ . (Dua perhitungan pendek — dan satu pesan moral tentang apa yang dilakukan aljabar pada kata “selalu” dan “tidak pernah”.)

Solusi

Solusi Soal 66.1.

1. $(10a + b) - (10b + a) = 9a - 9b = 9(a - b)$ : jadi selisih antara bilangan dua angka dan bilangan baliknya selalu kelipatan $9$ . Periksa: $72 - 27 = 45 = 9 \times 5$ , dan $a - b = 7 - 2 = 5$ .

2. Dengan menjabarkan ruas kanannya: $9(11a + b) + a + b + c = 99a + 9b + a + b + c = 100a + 10b + c$ . Jadi bilangannya sama dengan kelipatan $9$ ditambah jumlah angkanya: kalau dibagi $9$ , keduanya meninggalkan sisa yang sama. Khususnya sisa $0$ untuk yang satu berarti sisa $0$ untuk yang lain: itulah aturan sembilan, yang terbukti.

3. $9(11a + b)$ juga kelipatan $3$ , jadi kesamaan yang sama menunjukkan bahwa bilangannya dan jumlah angkanya meninggalkan sisa yang sama pada pembagian dengan $3$ : itulah aturan tiga.

4. Tulislah $47 = 9k + 2$ dan $86 = 9l + 5$ . Lalu

47 \times 86 = (9k + 2)(9l + 5) = 9\,(9kl + 5k + 2l) + 10 :

hasil kalinya meninggalkan sisa yang sama seperti $2 \times 5 = 10$ , yaitu $1$ . Karena itu hasil yang benar pun harus meninggalkan sisa $1$ — dan $4\,042$ memang begitu. Tetapi ujiannya hanya melihat sisanya: $4\,042$ dan $4\,402$ (yang angkanya tertukar) lulus dengan cara yang sama, jadi lulus tidak membuktikan apa pun — gagal itulah yang menghukum.

5. Dengan menjabarkan: $11(91a + 9b + c) - a + b - c + d = 1001a + 99b + 11c - a + b - c + d = 1000a + 100b + 10c + d$ . Jadi bilangannya habis dibagi $11$ persis ketika jumlah bergantinya $-a + b - c + d$ juga demikian. Untuk $2\,926$ : $-2 + 9 - 2 + 6 = 11$ , yang habis dibagi $11$ : jadi ya, $2\,926 = 11 \times 266$ .

6. $742 - 247 = 495$ ; $495 + 594 = 1\,089$ . Contoh yang sah mana pun mendarat di $1\,089$ juga.

7. $(100a + 10b + c) - (100c + 10b + a) = 99(a - c)$ . Untuk $a - c = 2, 3, \dots, 9$ :

198,\ 297,\ 396,\ 495,\ 594,\ 693,\ 792,\ 891 .

8. $100(m - 1) + 90 + (10 - m) = 100m - 100 + 90 + 10 - m = 99m$ . Jadi ketiga angka $99m$ adalah $m - 1$ , lalu $9$ , lalu $10 - m$ (periksa $495$ : $m = 5$ memberi $4$ , $9$ , $5$ ).

9. Bilangan balik $99m$ punya angka $10 - m$ , $9$ , $m - 1$ , jadi nilainya $100(10 - m) + 90 + (m - 1)$ . Dengan menjumlahkan:

100\,(m - 1 + 10 - m) + 180 + (10 - m + m - 1) = 100 \times 9 + 180 + 9 = 1\,089 ,

yang tidak bergantung pada $m$ . Berapa pun bilangan awalnya, pesulapnya aman.

10. Kalau $a = c$ , pengurangannya memberi $0$ dan triknya mati seketika. Kalau $a - c = 1$ , pengurangannya memberi $99$ , yang harus diperlakukan sebagai untai tiga angka $099$ (baliknya $990$ , $99 + 990 = 1\,089$ : terselamatkan!). Catatan kecilnya: selisih $1$ berhasil hanya kalau penontonnya menulis hasil pengurangannya dengan tiga angka, termasuk nol di depannya — menuntut jarak sedikitnya $2$ menghindari perdebatannya.

11. $2(5m + 7) + d - 14 = 10m + 14 + d - 14 = 10m + d$ : puluhannya (dan ratusannya, untuk Oktober–Desember) menunjukkan bulannya, satuannya (dan puluhannya) tanggalnya.

12. $2(5m + 9) + d = 10m + 18 + d$ : kurangkan $18$ .

13. Menurut pertanyaan 2, $n - (\text{jumlah angka } n) = 9(11a + b)$ untuk $n$ tiga angka: jadi selalu kelipatan $9$ (kesamaan serupa berlaku untuk panjang berapa pun). Kelipatan $9$ punya jumlah angka yang juga kelipatan $9$ (pertanyaan 2 lagi), jadi angka yang dibacakan penontonnya harus dilengkapi sampai kelipatan $9$ berikutnya: angka yang hilang adalah pelengkap itu. Kekaburannya: kalau angka yang dibacakan sudah berjumlah kelipatan $9$ , angka yang dicoret dapat $0$ atau $9$ — mengecualikan $0$ menghapus keraguannya.

14. $(10t + 5)^2 = 100t^2 + 100t + 25 = 100\,t(t + 1) + 25$ : tulislah $t(t+1)$ , lalu tempelkan $25$ di belakangnya. $45^2$ : $4 \times 5 = 20$ , jadi $2\,025$ . $85^2$ : $8 \times 9 = 72$ , jadi $7\,225$ . $105^2$ : $10 \times 11 = 110$ , jadi $11\,025$ .

15. Lima yang berurutan: $n + (n+1) + (n+2) + (n+3) + (n+4) = 5n + 10 = 5(n + 2)$ : yaitu kelipatan $5$ , selalu. Empat yang berurutan: $n + (n+1) + (n+2) + (n+3) = 4n + 6 = 4(n + 1) + 2$ : yaitu sisa $2$ pada pembagian dengan $4$ , jadi tidak pernah menjadi kelipatannya. Aljabar mengubah “tampaknya berhasil” menjadi selalu, dan “aku tidak menemukan contohnya” menjadi tidak pernah — dua kata yang tidak dapat dicapai pengujian sebanyak apa pun (Metode 48.8).

Istilah yang didefinisikan dalam bab ini

Menjabarkan

Lihat semua 395 istilah di glosarium