Matematika Sekolah Dasar dan Menengah · Grades 1–9

47Pecahan: Membandingkan dan Menjumlahkan

Kelas 6 memperkenalkan pecahan sebagai bagian dan sebagai hasil bagi yang tepat (Bab 39). Bab ini belajar menghitung dengannya: mengenali pecahan yang senilai, membandingkan, menjumlahkan dan mengurangkan — untuk sementara dengan penyebut yang ramah; hal umumnya menyusul pada Bab 63.

47.1 Pecahan yang senilai

Teorema 47.1 (Pecahan senilai)

Sebuah pecahan tidak berubah ketika pembilang dan penyebutnya dikalikan, atau dibagi, dengan bilangan bukan nol yang sama:

\frac{a}{b} = \frac{a \times k}{b \times k} .

Bukti. Diterima tanpa bukti pada tingkat ini. ∎

Contoh 47.2

$\dfrac{3}{4} = \dfrac{3 \times 5}{4 \times 5} = \dfrac{15}{20}$ , dan ke arah sebaliknya $\dfrac{42}{30} = \dfrac{42 \div 6}{30 \div 6} = \dfrac{7}{5}$ (disederhanakan dengan $6$ ).

Untuk menguji apakah $\dfrac{8}{12}$ dan $\dfrac{10}{15}$ senilai, sederhanakan keduanya: $\dfrac{8}{12} = \dfrac{2}{3}$ dan $\dfrac{10}{15} = \dfrac{2}{3}$ — ya, senilai.

47.2 Membandingkan pecahan

Metode 47.3 (Membandingkan dua pecahan)

Penyebutnya sama: bandingkan pembilangnya: $\frac{5}{9} < \frac{7}{9}$ .
Salah satu penyebut adalah kelipatan penyebut yang lain: tulislah ulang pecahan yang lebih kasar, lalu bandingkan: $\frac{5}{6}$ lawan $\frac{7}{12}$ : $\frac56 = \frac{10}{12} > \frac{7}{12}$ .
Bandingkan dengan $1$ atau $\frac12$ bila mungkin: $\frac{9}{8} > 1 > \frac{7}{9}$ langsung menyelesaikan $\frac98$ lawan $\frac79$ .

Membandingkan 5/6 dan 7/12 pada dua batang kembar: memotong perenaman menjadi dua memperlihatkan 5/6 = 10/12, lebih besar daripada 7/12. — Membandingkan $\frac56$ dan $\frac{7}{12}$ pada dua batang kembar: memotong perenaman menjadi dua memperlihatkan $\frac56 = \frac{10}{12}$ , lebih besar daripada $\frac{7}{12}$ .

47.3 Menjumlahkan dan mengurangkan

Teorema 47.4 (Penyebut yang sama)

Pecahan dengan penyebut yang sama dijumlahkan (atau dikurangkan) dengan menjumlahkan (atau mengurangkan) pembilangnya:

\frac{a}{d} + \frac{b}{d} = \frac{a + b}{d}, \qquad \frac{a}{d} - \frac{b}{d} = \frac{a - b}{d} .

Mengapa. $a$ bagian berukuran $\frac1d$ ditambah $b$ bagian dengan ukuran yang sama menjadi $a + b$ bagian berukuran itu. ∎

Metode 47.5 (Penyebut yang berbeda)

Ketika satu penyebut merupakan kelipatan penyebut yang lain:

tulislah ulang pecahan yang penyebutnya lebih kecil agar keduanya berpenyebut yang lebih besar itu (Teorema 47.1);
jumlahkan atau kurangkan pembilangnya;
sederhanakan hasilnya kalau bisa.

Contoh 47.6

Hitunglah $\dfrac{3}{4} + \dfrac{5}{8}$ , selangkah demi selangkah:

$8$ adalah kelipatan $4$ : tulis ulang $\dfrac34 = \dfrac{3 \times 2}{4 \times 2} = \dfrac{6}{8}$ ;
jumlahkan: $\dfrac{6}{8} + \dfrac{5}{8} = \dfrac{11}{8}$ ;
tidak ada yang perlu disederhanakan: hasilnya $\dfrac{11}{8}$ , yaitu $1 + \dfrac38$ .

Satu lagi: $2 - \dfrac{4}{5} = \dfrac{10}{5} - \dfrac{4}{5} = \dfrac{6}{5}$ (tulislah dulu bilangan bulatnya di atas penyebut $5$ ).

Contoh 47.7 (Perangkap yang klasik)

$\dfrac12 + \dfrac13$ itu bukan $\dfrac{2}{5}$ ! Menjumlahkan pembilang dan penyebut secara terpisah itu salah — jawaban $\frac25$ akan lebih kecil daripada $\frac12$ , dan itu mustahil ketika kita menjumlahkan sesuatu yang positif pada $\frac12$ . (Jumlah yang benar, $\frac56$ , memerlukan penyebut bersama $6$ ; cara umumnya ada pada Bab 63.)

47.4 Mengalikan pecahan dengan sebuah bilangan

Proposisi 47.8 (Pecahan dikali bilangan)

Untuk sebuah bilangan $k$ :

k \times \frac{a}{b} = \frac{k \times a}{b} .

Mengambil $\frac ab$ dari suatu besaran berarti mengalikannya dengan $\frac ab$ .

Bukti. Diterima tanpa bukti pada tingkat ini. ∎

Contoh 47.9

$6 \times \dfrac{2}{3} = \dfrac{12}{3} = 4$ : enam kali dua pertiga adalah empat utuh. Dan “ $\frac34$ dari $60$ euro” adalah $\frac34 \times 60 = \frac{180}{4} = 45$ euro — jawaban yang sama seperti membagi dengan $4$ lalu mengalikan dengan $3$ (Metode 39.8).

47.5 Latihan

Latihan 47.1 ★

Lengkapilah: $\dfrac{2}{5} = \dfrac{?}{20}$ ; $\dfrac{18}{24} = \dfrac{3}{?}$ ; $\dfrac{7}{3} = \dfrac{28}{?}$ ; $\dfrac{?}{9} = \dfrac{20}{36}$ .

Solusi

Solusi Latihan 47.1.

$\dfrac{2}{5} = \dfrac{8}{20}$ ; $\dfrac{18}{24} = \dfrac{3}{4}$ ; $\dfrac{7}{3} = \dfrac{28}{12}$ ; $\dfrac{5}{9} = \dfrac{20}{36}$ .

Latihan 47.2 ★

Sederhanakan sedapat mungkin: $\dfrac{12}{16}$ ; $\dfrac{30}{45}$ ; $\dfrac{27}{36}$ ; $\dfrac{48}{12}$ .

Solusi

Solusi Latihan 47.2.

$\dfrac{12}{16} = \dfrac34$ ; $\dfrac{30}{45} = \dfrac23$ ; $\dfrac{27}{36} = \dfrac34$ ; $\dfrac{48}{12} = 4$ .

Latihan 47.3 ★

Apakah $\dfrac{15}{35}$ dan $\dfrac{21}{49}$ senilai? Dan $\dfrac{16}{28}$ dan $\dfrac{20}{36}$ ? Berilah alasan dengan menyederhanakannya.

Solusi

Solusi Latihan 47.3.

$\dfrac{15}{35} = \dfrac37$ dan $\dfrac{21}{49} = \dfrac37$ : senilai.

$\dfrac{16}{28} = \dfrac47$ dan $\dfrac{20}{36} = \dfrac59$ : untuk membandingkannya, $\frac47 = \frac{36}{63}$ dan $\frac59 = \frac{35}{63}$ — tidak senilai.

Latihan 47.4 ★

Bandingkanlah (tulislah penalarannya, bukan sekadar jawabannya):

\frac{7}{11} \text{ dan } \frac{9}{11}; \qquad \frac{5}{6} \text{ dan } \frac{11}{18}; \qquad \frac{13}{12} \text{ dan } \frac{19}{20}.

Solusi

Solusi Latihan 47.4.

$\dfrac{7}{11} < \dfrac{9}{11}$ (penyebutnya sama).

$\dfrac56 = \dfrac{15}{18} > \dfrac{11}{18}$ .

$\dfrac{13}{12} > 1$ sedangkan $\dfrac{19}{20} < 1$ , jadi $\dfrac{13}{12} > \dfrac{19}{20}$ .

Latihan 47.5 ★

Hitunglah lalu sederhanakan kalau bisa:

\frac{5}{9} + \frac{2}{9}, \qquad \frac{11}{7} - \frac{4}{7}, \qquad \frac{5}{8} + \frac{7}{8} .

Solusi

Solusi Latihan 47.5.

$\dfrac59 + \dfrac29 = \dfrac79$ ; $\dfrac{11}{7} - \dfrac47 = \dfrac77 = 1$ ; $\dfrac58 + \dfrac78 = \dfrac{12}{8} = \dfrac32$ .

Latihan 47.6 ★

Hitunglah dengan Metode 47.5:

\frac{2}{3} + \frac{5}{6}, \qquad \frac{7}{10} - \frac{2}{5}, \qquad \frac{3}{4} + \frac{5}{12} .

Solusi

Solusi Latihan 47.6.

$\dfrac23 + \dfrac56 = \dfrac46 + \dfrac56 = \dfrac96 = \dfrac32$ .

$\dfrac{7}{10} - \dfrac25 = \dfrac{7}{10} - \dfrac{4}{10} = \dfrac{3}{10}$ .

$\dfrac34 + \dfrac{5}{12} = \dfrac{9}{12} + \dfrac{5}{12} = \dfrac{14}{12} = \dfrac76$ .

Latihan 47.7 ★

Hitunglah:

3 - \frac{5}{4}, \qquad 1 + \frac{3}{8}, \qquad 2 - \frac{7}{6} .

Solusi

Solusi Latihan 47.7.

$3 - \dfrac54 = \dfrac{12}{4} - \dfrac54 = \dfrac74$ ; $1 + \dfrac38 = \dfrac{11}{8}$ ; $2 - \dfrac76 = \dfrac{12}{6} - \dfrac76 = \dfrac56$ .

Latihan 47.8 ★

Hitunglah:

5 \times \frac{3}{10}, \qquad \frac{7}{8} \times 4, \qquad \frac{2}{3} \text{ dari } 45 .

Solusi

Solusi Latihan 47.8.

$5 \times \dfrac{3}{10} = \dfrac{15}{10} = \dfrac32$ ; $\dfrac78 \times 4 = \dfrac{28}{8} = \dfrac72$ ; $\dfrac23$ dari $45$ adalah $\dfrac{2 \times 45}{3} = \dfrac{90}{3} = 30$ .

Latihan 47.9 ★★

Adi memakan $\frac14$ bagian sebuah pizza dan Yuli $\frac38$ bagian pizza yang sama. Berapa bagian pizza yang mereka makan bersama? Berapa bagian yang tersisa?

Solusi

Solusi Latihan 47.9.

Bersama-sama: $\dfrac14 + \dfrac38 = \dfrac28 + \dfrac38 = \dfrac58$ bagian pizzanya. Tersisa: $1 - \dfrac58 = \dfrac38$ .

Latihan 47.10 ★★

Sebuah botol memuat $\frac34$ L jus. Lia menuangkannya $\frac16$ L sebanyak dua kali. Berapa jus yang tersisa? (Penyebut bersamanya: $12$ .)

Solusi

Solusi Latihan 47.10.

Yang dituangkan: $2 \times \dfrac16 = \dfrac26 = \dfrac13$ L. Tersisa:

\frac34 - \frac13 = \frac{9}{12} - \frac{4}{12} = \frac{5}{12} \text{ L}.

Latihan 47.11 ★★

Jelaskan, dengan alasan pada Contoh 47.7, mengapa $\frac35 + \frac12$ tidak mungkin sama dengan $\frac{4}{7}$ , tanpa menghitung jumlahnya yang benar.

Solusi

Solusi Latihan 47.11.

Menjumlahkan besaran positif $\frac12$ pada $\frac35$ pasti memberi hasil yang lebih besar daripada $\frac35$ . Tetapi $\frac47 < \frac35$ (memang $\frac47 = \frac{20}{35}$ dan $\frac35 = \frac{21}{35}$ ): jumlah yang diakukan itu lebih kecil daripada salah satu sukunya — mustahil.

Latihan 47.12 ★★★

Hitunglah jumlah

\frac12 + \frac14 + \frac18 + \frac{1}{16}

selangkah demi selangkah (dari kiri ke kanan). Amatilah pola jumlah sebagiannya: bilangan apa yang mereka dekati ketika suku $\frac{1}{32}, \frac{1}{64}, \dots$ makin banyak ditambahkan?

Solusi

Solusi Latihan 47.12.

Selangkah demi selangkah:

\frac12 + \frac14 = \frac34, \qquad \frac34 + \frac18 = \frac68 + \frac18 = \frac78, \qquad \frac78 + \frac1{16} = \frac{14}{16} + \frac1{16} = \frac{15}{16}.

Jumlah sebagiannya $\frac12, \frac34, \frac78, \frac{15}{16}, \dots$ setiap kali menjadi setengah kali lebih dekat ke $1$ : pada setiap langkah, bagian yang kurang terpotong menjadi setengahnya. Jumlahnya mendekati $1$ tanpa pernah mencapainya.

47.6 Soal: Pecahan yang bersembunyi dalam sebirama musik

Soal 47.1

Soal akhir pekan — nilai nada adalah pecahan yang harus berjumlah tepat, membilang irama menyembunyikan barisan yang terkenal, dan keganjilan menguasai ketukan Balkan

Musik ditulis dengan pecahan. Sebuah nada penuh berlangsung $1$ birama (dalam birama “empat-empat” yang biasa); nada setengah berlangsung $\frac12$ ; lalu datang nada seperempat $\frac14$ , nada seperdelapan $\frac18$ dan nada seperenam belas $\frac{1}{16}$ . Satu hukum yang tidak boleh dilanggar: lama nada di dalam satu birama harus berjumlah tepat sebesar biramanya — yaitu $1$ pada birama empat-empat. Setiap pertanyaan di bawah adalah hitungan bab ini (Teorema 47.4, Metode 47.5) yang digubah menjadi musik; di tengah jalan kamu akan bertemu barisan pembilangan yang ditemukan para cendekiawan India seribu tahun yang lalu.

Bagian I — Nada yang harus berjumlah pas.

Periksalah bahwa setiap birama berikut sah pada birama empat-empat: (a) setengah $+$ seperempat $+$ seperempat; (b) seperempat $+$ seperdelapan $+$ seperdelapan $+$ setengah.
Seorang penyalin menulis: setengah $+$ seperempat $+$ seperdelapan. Berapa bagian birama yang tertulis, dan nada tunggal yang mana yang melengkapinya?
Berapa nada seperenam belas yang mengisi satu birama penuh? Berapa seperenam belas yang menjadi satu nada seperdelapan?
Sebuah titik sesudah nada menambahkan setengah nilai nada itu: nada setengah bertitik bernilai $\frac12 + \frac14$ , nada seperempat bertitik bernilai $\frac14 + \frac18$ . Hitunglah kedua nilainya.
Sebuah waltz ditulis pada birama tiga-empat: setiap biramanya harus berjumlah $\frac34$ . Periksalah bahwa satu nada setengah bertitik mengisi satu birama waltz, lalu tulislah dua birama waltz sah yang lain yang hanya memakai nada seperempat dan seperdelapan.

Bagian II — Bengkel sang penyalin.

Sebuah birama empat-empat memuat: seperempat bertitik $+$ seperdelapan $+$ seperempat. Apa yang kurang?
Mana yang lebih lama, seperdelapan bertitik atau nada seperempat? Bandingkan lewat seperenam belas.
Sebuah ikatan merekatkan beberapa lama nada menjadi satu bunyi yang panjang: nada setengah yang diikat pada seperdelapan berlangsung berapa lama? Berapa seperenam belas itu?
Nada sebuah birama berjumlah $\frac{11}{16}$ ; sisanya berupa kesenyapan (tanda istirahat). Berapa lama tanda istirahat itu?
Seorang penabuh mengisi satu nada seperempat ( $\frac{4}{16}$ biramanya) hanya dengan seperdelapan ( $\frac{2}{16}$ ) dan seperenam belas ( $\frac{1}{16}$ ), dengan urutan yang berpengaruh: misalnya seperdelapan–seperenam belas–seperenam belas, atau seperenam belas–seperdelapan–seperenam belas. Periksalah bahwa kedua contohnya sah, lalu sebutkan semua irama yang mungkin. Ada berapa?

Bagian III — Barisan berumur seribu tahun, dan sebuah birama ganjil.

Mari kita bilang irama sang penabuh untuk nada yang lebih panjang. Setiap irama berakhir dengan seperenam belas atau dengan seperdelapan; jelaskan mengapa hal itu memberi aturan: (irama yang mengisi $n$ seperenam belas) $=$ (irama yang mengisi $n - 1$ ) $+$ (irama yang mengisi $n - 2$ ). Mulai dari $1$ irama untuk satu seperenam belas dan $2$ untuk dua, bangunlah tabelnya sampai $n = 8$ : berapa irama yang mengisi satu nada setengah?
Bilangan yang kamu temukan — $1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34$ — diterbitkan oleh cendekiawan India Hemachandra sekitar tahun 1150, ketika membilang irama semacam itu, dua generasi sebelum Fibonacci menuliskannya di Italia. Nyatakan pola yang mendefinisikannya dalam satu kalimat, lalu periksalah pada tiga entri terakhir tabelmu.
Gaya “swing” mengganti dua seperdelapan yang sama dengan pasangan panjang–pendek: $\frac16$ lalu $\frac{1}{12}$ . Buktikan bahwa penukaran itu sah (lama seluruhnya sama), dengan memakai penyebut bersama $12$ .
Sebuah triol memampatkan tiga nada yang sama ke dalam satu nada seperempat. Berapa lama setiap notnya (periksalah jawabanmu dengan mengalikannya dengan $3$ , Proposisi 47.8)? Pertanyaan yang sama untuk tiga nada yang sama yang mengisi satu nada setengah.
Musik tari Balkan memakai birama tujuh-delapan: setiap biramanya berjumlah $\frac78$ . Buktikan bahwa seperempat bertitik $+$ seperempat $+$ seperempat mengisinya. Lalu jelaskan mengapa tidak ada gabungan nada setengah dan nada seperempat saja, sebanyak apa pun, yang dapat mengisi birama tujuh-delapan. (Bilanglah dalam seperdelapan lalu pikirkan genap dan ganjil.)

Solusi

Solusi Soal 47.1.

1. (a) $\frac12 + \frac14 + \frac14 = \frac24 + \frac14 + \frac14 = \frac44 = 1$ : sah. (b) $\frac14 + \frac18 + \frac18 + \frac12 = \frac28 + \frac18 + \frac18 + \frac48 = \frac88 = 1$ : sah.

2. $\frac12 + \frac14 + \frac18 = \frac48 + \frac28 + \frac18 = \frac78$ : satu nada seperdelapan yang kurang.

3. Satu birama adalah $1 = \frac{16}{16}$ : enam belas nada seperenam belas. Seperdelapan adalah $\frac18 = \frac{2}{16}$ : dua seperenam belas.

4. Setengah bertitik: $\frac12 + \frac14 = \frac34$ . Seperempat bertitik: $\frac14 + \frac18 = \frac28 + \frac18 = \frac38$ .

5. Nada setengah bertitik bernilai $\frac34$ (pertanyaan 4): tepat satu birama waltz. Isian yang lain, misalnya: seperempat $+$ seperempat $+$ seperempat ( $\frac14 + \frac14 + \frac14 = \frac34$ ), atau seperempat $+$ seperdelapan $+$ seperdelapan $+$ seperempat ( $\frac14 + \frac18 + \frac18 + \frac14 = \frac{2 + 1 + 1 + 2}{8} = \frac68 = \frac34$ ).

6. $\frac38 + \frac18 + \frac14 = \frac38 + \frac18 + \frac28 = \frac68 = \frac34$ : satu nada seperempat ( $\frac14$ ) yang kurang.

7. Seperdelapan bertitik: $\frac18 + \frac{1}{16} = \frac{2}{16} + \frac{1}{16} = \frac{3}{16}$ . Seperempat: $\frac{4}{16}$ . Yang seperempat lebih lama.

8. $\frac12 + \frac18 = \frac48 + \frac18 = \frac58$ , yaitu $\frac{10}{16}$ : sepuluh seperenam belas.

9. $1 - \frac{11}{16} = \frac{16}{16} - \frac{11}{16} = \frac{5}{16}$ bagian biramanya berupa kesenyapan.

10. Kedua contohnya berjumlah $\frac{2 + 1 + 1}{16} = \frac{4}{16}$ : sah. Semua irama yang mengisi empat seperenam belas dengan potongan $2$ dan $1$ :

2{+}2, \quad 2{+}1{+}1, \quad 1{+}2{+}1, \quad 1{+}1{+}2, \quad 1{+}1{+}1{+}1 :

ada lima irama.

11. Irama yang mengisi $n$ seperenam belas berakhir dengan seperenam belas — dan yang mendahuluinya mengisi $n - 1$ — atau dengan seperdelapan — dan yang mendahuluinya mengisi $n - 2$ . Setiap irama terbilang tepat sekali dengan cara ini, jadi $\text{cara}(n) = \text{cara}(n-1) + \text{cara}(n-2)$ . Tabelnya:

$n$	$1$	$2$	$3$	$4$	$5$	$6$	$7$	$8$
cara	$1$	$2$	$3$	$5$	$8$	$13$	$21$	$34$

Satu nada setengah ( $8$ seperenam belas) dapat ditabuh dengan $34$ cara. ( $n = 4$ memperoleh kembali lima irama pada pertanyaan 10.)

12. Setiap bilangannya adalah jumlah dua bilangan sebelumnya: $3 + 5 = 8$ , $5 + 8 = 13$ , $8 + 13 = 21$ , $13 + 21 = 34$ — aturan yang dibuktikan pertanyaan 11, berumur seribu tahun dan kini dikenal sebagai aturan Fibonacci.

13. $\frac16 + \frac{1}{12} = \frac{2}{12} + \frac{1}{12} = \frac{3}{12} = \frac14$ : lama yang sama seperti dua seperdelapan lurus ( $\frac18 + \frac18 = \frac14$ ). Penukaran swing itu sah.

14. Setiap nada triol berlangsung $\frac{1}{12}$ : periksa, $3 \times \frac{1}{12} = \frac{3}{12} = \frac14$ (Proposisi 47.8). Untuk nada setengah: masing-masing berlangsung $\frac16$ , karena $3 \times \frac16 = \frac36 = \frac12$ .

15. Seperempat bertitik $+$ seperempat $+$ seperempat: dalam seperdelapan, $3 + 2 + 2 = 7$ seperdelapan $= \frac78$ : sah. Nada setengah dan seperempat bernilai $4$ dan $2$ seperdelapan — keduanya bilangan genap. Jumlah bilangan genap mana pun tetap genap, tetapi birama tujuh-delapan memerlukan $7$ seperdelapan, yaitu bilangan ganjil: mustahil. Untuk mengisi birama yang ganjil, sesuatu yang ganjil — seperdelapan atau nada bertitik — harus muncul.