Matematika Sekolah Dasar dan Menengah · Grades 1–9

54Mengalikan Bilangan Negatif

Kelas 7 menjumlahkan dan mengurangkan bilangan bertanda (Bab 46); yang tersisa adalah mengalikan dan membaginya. Satu pertanyaan menguasai bab ini: mengapa “minus kali minus” harus menjadi plus? Kita memberi alasannya, bukan sekadar aturannya.

54.1 Aturan tanda

Teorema 54.1 (Tanda sebuah hasil kali)

Hasil kali dua bilangan bertanda punya jarak ke nol yang sama dengan hasil kali kedua jaraknya, dan tandanya diberikan oleh:

$\times$	$+$	$-$
$+$	$+$	$-$
$-$	$-$	$+$

Tanda yang sama: hasil kalinya positif. Tanda yang berlawanan: hasil kalinya negatif. Tabel yang sama berlaku untuk hasil bagi.

Mengapa $(-1) \times (-1) = +1$ . Pertama, $3 \times (-4)$ berarti $(-4) + (-4) + (-4) = -12$ : positif kali negatif adalah negatif. Sekarang perhatikan polanya:

3 \times (-4) = -12, \quad 2 \times (-4) = -8, \quad 1 \times (-4) = -4, \quad 0 \times (-4) = 0 .

Pada tiap langkahnya, faktor pertamanya turun $1$ dan hasilnya naik $4$ . Dengan melanjutkan polanya satu langkah lagi:

(-1) \times (-4) = 0 + 4 = +4 .

Pilihan lain apa pun akan merusak keteraturan aritmetika (yaitu sifat distributif). Jadi minus kali minus haruslah plus. ∎

Alasan polanya dalam satu gambar: titik (k,\ k × (-4)) berjajar, dan melanjutkan garisnya melewati k = 0 memaksa (-1)×(-4) = +4 dan (-2)×(-4) = +8. — Alasan polanya dalam satu gambar: titik $(k,\ k \times (-4))$ berjajar, dan melanjutkan garisnya melewati $k = 0$ memaksa $(-1)\times(-4) = +4$ dan $(-2)\times(-4) = +8$ .

Contoh 54.2

\begin{align*} (-7) \times (+6) &= -42 && \text{(tanda berlawanan)} \\ (-5) \times (-8) &= +40 && \text{(tanda sama)} \\ (+2.5) \times (-4) &= -10 \\ (-36) \div (-9) &= +4 \\ (+15) \div (-2) &= -7.5 . \end{align*}

54.2 Hasil kali beberapa faktor

Proposisi 54.3 (Tanda hasil kali yang panjang)

Tanda hasil kali beberapa faktor yang bukan nol hanya bergantung pada banyaknya faktor yang negatif:

banyaknya faktor negatif yang genap memberi hasil kali yang positif;
banyaknya yang ganjil memberi hasil kali yang negatif.

Bukti. Faktor negatifnya berpasangan, dan tiap pasangan menyumbang tanda positif (Teorema 54.1); banyaknya yang ganjil menyisakan satu faktor negatif tanpa pasangan, yang membuat seluruh hasil kalinya negatif. ∎

Contoh 54.4

$(-2) \times (+3) \times (-5) \times (-1)$ : tiga faktor negatif (ganjil), jadi hasil kalinya negatif; jaraknya: $2 \times 3 \times 5 \times 1 = 30$ . Hasilnya: $-30$ . Tentukan tandanya lebih dahulu, lalu kalikan jaraknya — dua tugas yang mudah, bukan satu tugas yang rawan galat.

Contoh 54.5 (Pangkat bilangan negatif)

$(-2)^2 = (-2) \times (-2) = +4$ , dan $(-2)^3 = (-2)^2 \times (-2) = -8$ : pangkat genap memberi nilai yang positif, pangkat ganjil mempertahankan tandanya. Hati-hati dengan notasinya: $(-3)^2 = 9$ tetapi $-3^2 = -(3 \times 3) = -9$ .

54.3 Menghitung dengan keempat operasinya

Metode 54.6 (Menghitung dengan aman memakai bilangan bertanda)

Patuhi prioritas pada Bab 45: tanda kurung, lalu $\times$ dan $\div$ , lalu $+$ dan $-$ ;
pada tiap perkalian atau pembagian, carilah tandanya lebih dahulu, lalu jaraknya;
tulislah ulang satu langkah pada tiap barisnya.

Contoh 54.7

\begin{align*} 5 - 3 \times (-4) &= 5 - (-12) && \text{(hasil kalinya dahulu: tanda berlawanan)}\\ &= 5 + 12 = 17 . \end{align*}

\begin{align*} \frac{(-6) \times (-10)}{-4} &= \frac{+60}{-4} && \text{(pembilangnya: tanda sama)}\\ &= -15 && \text{(hasil baginya: tanda berlawanan).} \end{align*}

Contoh 54.8 (Menyulih nilai yang negatif)

Hitunglah $E = 3x^2 - 2x$ untuk $x = -5$ , dengan tanda kurung mengelilingi nilainya:

E = 3 \times (-5)^2 - 2 \times (-5) = 3 \times 25 - (-10) = 75 + 10 = 85 .

Tanda kurung pada $(-5)^2$ sangat penting: tanpanya kuadratnya hanya akan berlaku untuk $5$ saja.

54.4 Latihan

Latihan 54.1 ★

Hitunglah:

(-8) \times (+7), \qquad (-9) \times (-6), \qquad (+12) \times (-0.5), \qquad (-1) \times (-1) \times (-1).

Solusi

Solusi Latihan 54.1.

$(-8) \times (+7) = -56$ ; $(-9) \times (-6) = +54$ ; $(+12) \times (-0.5) = -6$ ; $(-1) \times (-1) \times (-1) = -1$ (tiga faktor negatif: ganjil).

Latihan 54.2 ★

Hitunglah:

(-63) \div (+9), \qquad (-8) \div (-16), \qquad \frac{45}{-5}, \qquad \frac{-7.2}{-8} .

Solusi

Solusi Latihan 54.2.

$(-63) \div (+9) = -7$ ; $(-8) \div (-16) = +0.5$ ; $\dfrac{45}{-5} = -9$ ; $\dfrac{-7.2}{-8} = +0.9$ .

Latihan 54.3 ★

Sebutkan hanya tanda tiap hasil kalinya, tanpa menghitungnya:

(-3) \times (-7) \times (+2) \times (-5); \qquad (-1)^{10}; \qquad (-2)^{7}; \qquad (-4) \times 0 \times (-6).

Solusi

Solusi Latihan 54.3.

Tiga faktor negatif: negatif. $(-1)^{10}$ : sepuluh faktor negatif, genap: positif (nilainya $1$ ). $(-2)^7$ : tujuh faktor, ganjil: negatif. $(-4) \times 0 \times (-6) = 0$ : bukan positif, bukan pula negatif.

Latihan 54.4 ★

Hitunglah:

(-2)^4, \qquad -2^4, \qquad (-3)^3, \qquad (-1)^{2026} .

Solusi

Solusi Latihan 54.4.

$(-2)^4 = +16$ ; $-2^4 = -16$ (minusnya tidak dikuadratkan); $(-3)^3 = -27$ ; $(-1)^{2026} = +1$ (pangkatnya genap).

Latihan 54.5 ★

Hitunglah selangkah demi selangkah, dengan mematuhi prioritasnya:

7 + 2 \times (-6), \qquad (-4) \times (5 - 9), \qquad 18 \div (-3) - (-2) .

Solusi

Solusi Latihan 54.5.

$7 + 2 \times (-6) = 7 + (-12) = -5$ .

$(-4) \times (5 - 9) = (-4) \times (-4) = +16$ .

$18 \div (-3) - (-2) = -6 + 2 = -4$ .

Latihan 54.6 ★

Hitunglah:

\frac{(-5) \times (+8)}{-4}, \qquad \frac{(-3) \times (-6)}{(-2) \times (+9)} .

Solusi

Solusi Latihan 54.6.

$\dfrac{(-5) \times (+8)}{-4} = \dfrac{-40}{-4} = +10$ .

$\dfrac{(-3) \times (-6)}{(-2) \times (+9)} = \dfrac{+18}{-18} = -1$ .

Latihan 54.7 ★

Hitunglah untuk $x = -3$ :

5x, \qquad x^2, \qquad -x^2, \qquad 2x^2 + 4x, \qquad (2x)^2 .

Solusi

Solusi Latihan 54.7.

Untuk $x = -3$ : $5x = -15$ ; $x^2 = (-3)^2 = 9$ ; $-x^2 = -9$ ; $2x^2 + 4x = 18 - 12 = 6$ ; $(2x)^2 = (-6)^2 = 36$ .

Latihan 54.8 ★★

Lengkapilah tiap kesamaannya:

(-6) \times \;?\; = 42, \qquad \;?\; \div (-4) = -2.5, \qquad (-5) \times \;?\; = -1 .

Solusi

Solusi Latihan 54.8.

$(-6) \times (-7) = 42$ ; $10 \div (-4) = -2.5$ ; $(-5) \times \frac15 = -1$ , jadi bilangan yang hilang adalah $+\frac15 = 0.2$ .

Latihan 54.9 ★★

Benar atau salah? Berilah alasan atau contoh penyangkalnya.

Hasil kali dua bilangan bertanda selalu sedikitnya sama besar dengan jumlahnya.
Kuadrat sebuah bilangan bertanda tidak pernah negatif.
Kalau hasil kali tiga faktor bernilai positif, ketiga faktornya positif.

Solusi

Solusi Latihan 54.9.

1. Salah: $0.5 \times 0.5 = 0.25$ lebih kecil daripada $0.5 + 0.5 = 1$ (atau: $2 \times 3 = 6 > 5$ , tetapi pernyataannya harus selalu berlaku).

2. Benar: kuadrat adalah hasil kali dua bilangan yang tandanya sama, jadi positif atau nol.

3. Salah: $(-2) \times (-3) \times 4 = +24$ bernilai positif dengan dua faktor negatif.

Latihan 54.10 ★★

Tiap jawaban yang salah pada sebuah kuis bernilai $-3$ angka, tiap jawaban yang benar $+5$ . Zahra menjawab $20$ pertanyaan dan memperoleh $36$ angka. Berapa jawabannya yang benar? (Cobalah beberapa nilai, atau susunlah perhitungan $5r - 3(20 - r) = 36$ .)

Solusi

Solusi Latihan 54.10.

Misalkan $r$ banyaknya jawaban yang benar; maka $20 - r$ jawaban salah, dan

5r - 3(20 - r) = 36 \ \Longrightarrow\ 5r - 60 + 3r = 36 \ \Longrightarrow\ 8r = 96 \ \Longrightarrow\ r = 12 .

Dua belas jawaban yang benar (dan delapan yang salah: periksa, $60 - 24 = 36$ ).

Latihan 54.11 ★★★

Dengan memakai sifat distributif (seperti pada bukti Teorema 54.1), jabarkan dan berilah alasan untuk tiap langkahnya pada

0 = (-1) \times 0 = (-1) \times \bigl(1 + (-1)\bigr) = (-1) \times 1 + (-1) \times (-1),

lalu simpulkan bahwa $(-1) \times (-1)$ harus sama dengan $+1$ .

Solusi

Solusi Latihan 54.11.

Nol dikalikan apa pun adalah nol, jadi $(-1) \times 0 = 0$ . Dengan menulis $0 = 1 + (-1)$ lalu menyebarkannya:

0 = (-1) \times \bigl(1 + (-1)\bigr) = (-1) \times 1 + (-1) \times (-1) = -1 + (-1) \times (-1).

Bilangan $(-1) \times (-1)$ yang ditambahkan ke $-1$ memberi $0$ : ia pastilah lawan dari $-1$ , yaitu $+1$ . Sifat distributif tidak meninggalkan pilihan lain.

54.5 Soal: Mengapa minus kali minus adalah plus

Soal 54.1

Soal akhir pekan — aturan tanda yang disimpulkan dari sifat distributif, dan jumlah berganti tanda $1 - 2 + 3 - 4 + \dots$

Bukti Teorema 54.1 melanjutkan sebuah pola lalu menyatakan bahwa “pilihan lain apa pun akan merusak sifat distributif”. Soal ini membuat pernyataan itu tepat: berangkat hanya dari sifat distributif (Teorema 45.6), kamu akan membuktikan aturan tandanya — tanpa gambar, tanpa pola, dengan cara yang dipakai aljabar — lalu mempekerjakannya pada pangkat $-1$ dan pada jumlah terkenal yang tandanya berganti-ganti. Sepanjang soal ini, $a$ dan $b$ adalah bilangan bertanda; kita menerima begitu saja aturan penjumlahan pada Bab 46, bahwa $1 \times a = a$ , dan bahwa hasil kali dapat dihitung dalam urutan mana pun (jadi sifat distributif berlaku pada kedua sisi sebuah hasil kali).

Bagian I — Aturan tandanya adalah teorema.

Buktikan bahwa $0 \times a = 0$ untuk setiap bilangan bertanda $a$ . (Tulislah $0 = 0 + 0$ , jabarkan $(0 + 0) \times a$ , lalu tanyakan bilangan mana yang, kalau ditambahkan ke $0 \times a$ , memberi $0 \times a$ kembali.)
Jabarkan $\bigl(1 + (-1)\bigr) \times a$ untuk menunjukkan bahwa $(-1) \times a + a = 0$ , lalu simpulkan bahwa

$(-1) \times a = -a :$

mengalikan dengan $-1$ memberi lawannya. Bandingkan dengan Latihan 54.11, yaitu keadaan $a = -1$ .
Simpulkan bahwa $(-a) \times b = -(a \times b)$ : satu tanda minus keluar dari hasil kali tanpa berubah.
Simpulkan bahwa $(-a) \times (-b) = a \times b$ : dua tanda minus saling meniadakan.
Setiap bilangan bertanda adalah jaraknya ke nol dengan sebuah tanda di depannya: $a = +d$ atau $a = -d$ . Jelaskan bagaimana pertanyaan 3 dan 4 membuktikan keempat keadaan tabel tanda pada Teorema 54.1, termasuk jaraknya.

Bagian II — Pangkat $-1$ .

Hitunglah $(-1)^2$ , $(-1)^3$ , $(-1)^4$ , $(-1)^5$ , lalu sebutkan, dengan alasan dari Proposisi 54.3, nilai $(-1)^n$ untuk setiap bilangan bulat $n \geq 1$ .
Sebutkan (tanpa menghitung satu jarak pun) tanda dari

$(-1) \times (-2) \times (-3) \times \dots \times (-10),$

lalu tulislah jarak hasil kali ini sebagai hasil kali bilangan bulat, tanpa mengerjakannya.
Tunjukkan bahwa $(-a)^2 = a^2$ dan bahwa $(-a)^3 = -a^3$ . Untuk pangkat yang mana tanda minusnya bertahan?
Pakailah aturan tandanya untuk menunjukkan bahwa kuadrat sebuah bilangan bertanda tidak pernah negatif, lalu simpulkan bahwa tidak ada bilangan bertanda $x$ yang memenuhi $x^2 = -4$ .
Zahra menyatakan: “ $(-1)^{2026} + (-1)^{2027} = 0$ , dan lebih umum lagi dua pangkat $-1$ yang berurutan selalu saling meniadakan.” Apakah dia benar? Berilah alasan.

Bagian III — Jumlah yang berganti tanda. Dengan aturan tandanya yang sudah aman, kita dapat menghitung jumlah yang mencampur kedua tandanya. Untuk bilangan bulat $n \geq 1$ , misalkan

A_n = 1 - 2 + 3 - 4 + \dots

adalah jumlah bilangan bulat dari $1$ sampai $n$ dengan tanda yang berganti-ganti: suku terakhirnya $+n$ ketika $n$ ganjil, dan $-n$ ketika $n$ genap. Jadi $A_1 = 1$ dan $A_2 = 1 - 2 = -1$ .

Hitunglah $A_3$ , $A_4$ , $A_5$ , $A_6$ dan $A_7$ . Apa yang kamu duga?
Andaikan $n$ genap. Kelompokkan sukunya dua-dua, $(1 - 2) + (3 - 4) + \dots$ , bilanglah pasangannya, lalu buktikan bahwa $A_n = -\frac{n}{2}$ .
Andaikan $n$ ganjil. Jelaskan mengapa $A_n = A_{n-1} + n$ , lalu simpulkan dari pertanyaan sebelumnya bahwa $A_n = \frac{n + 1}{2}$ .
Hitunglah $A_{100}$ , $A_{101}$ dan $A_{2026}$ .
Alma menghitung $A_{101} - A_{100} = 51 - (-50) = 101$ lalu terkejut menemukan tepat $101$ . Seharusnya dia terkejut? Jelaskan dalam satu kalimat, lalu sebutkan nilai $A_{2027} - A_{2026}$ tanpa perhitungan lebih lanjut.

Solusi

Solusi Soal 54.1.

1. Karena $0 = 0 + 0$ , sifat distributif (Teorema 45.6) memberi

0 \times a = (0 + 0) \times a = 0 \times a + 0 \times a .

Jadi menambahkan $0 \times a$ pada dirinya sendiri tidak mengubah apa pun — dan satu-satunya bilangan yang dapat ditambahkan tanpa mengubah apa pun adalah $0$ . (Secara langsung: kurangkan $0 \times a$ dari kedua ruasnya.) Karena itu $0 \times a = 0$ .

2. Dengan menjabarkan, lalu memakai $1 + (-1) = 0$ dan pertanyaan 1:

a + (-1) \times a = 1 \times a + (-1) \times a = \bigl(1 + (-1)\bigr) \times a = 0 \times a = 0 .

Jadi $(-1) \times a$ adalah bilangan yang, kalau ditambahkan ke $a$ , memberi $0$ : itu persis lawan dari $a$ , dan $(-1) \times a = -a$ . Latihan 54.11 adalah keadaan khusus $a = -1$ : di sana, $(-1) \times (-1) = -(-1) = +1$ .

3. Tulislah $-a = (-1) \times a$ (pertanyaan 2) lalu kelompokkan ulang faktornya:

(-a) \times b = \bigl((-1) \times a\bigr) \times b = (-1) \times (a \times b) = -(a \times b) .

4. Pakailah pertanyaan 3 dua kali (sekali pada tiap faktor):

(-a) \times (-b) = -\bigl(a \times (-b)\bigr) = -\bigl(-(a \times b)\bigr) = a \times b ,

karena lawan dari lawan sebuah bilangan adalah bilangan itu sendiri.

5. Tulislah $a = +d$ atau $a = -d$ dan $b = +e$ atau $b = -e$ , dengan $d$ dan $e$ adalah jaraknya ke nol. Keempat keadaannya:

(+d) \times (+e) = de, \quad (+d) \times (-e) = -de, \quad (-d) \times (+e) = -de, \quad (-d) \times (-e) = +de,

dua yang di tengah menurut pertanyaan 3, yang terakhir menurut pertanyaan 4. Pada setiap keadaannya, jarak hasilnya adalah $d \times e$ , yaitu hasil kali kedua jaraknya, dan tandanya adalah tanda yang diumumkan tabel pada Teorema 54.1: tanda sama memberi positif, tanda berlawanan memberi negatif.

6. $(-1)^2 = +1$ , $(-1)^3 = -1$ , $(-1)^4 = +1$ , $(-1)^5 = -1$ . Secara umum $(-1)^n$ adalah hasil kali $n$ faktor negatif yang jaraknya masing-masing $1$ : menurut Proposisi 54.3 nilainya $+1$ ketika $n$ genap dan $-1$ ketika $n$ ganjil.

7. Ada sepuluh faktor negatif — suatu bilangan genap — jadi hasil kalinya positif (Proposisi 54.3). Jaraknya adalah $1 \times 2 \times 3 \times \dots \times 10$ .

8. Menurut pertanyaan 4, $(-a)^2 = (-a) \times (-a) = a \times a = a^2$ . Lalu menurut pertanyaan 3,

(-a)^3 = (-a)^2 \times (-a) = a^2 \times (-a) = -(a^2 \times a) = -a^3 .

Tanda minusnya lenyap untuk pangkat genap dan bertahan untuk pangkat yang ganjil, sejalan dengan Contoh 54.5.

9. Kalau $a = 0$ maka $a^2 = 0$ . Kalau tidak, $a$ dan $a$ punya tanda yang sama, jadi $a^2 = a \times a$ bernilai positif (Teorema 54.1). Karena itu kuadrat tidak pernah negatif; karena $-4$ negatif, tidak ada bilangan bertanda $x$ yang memenuhi $x^2 = -4$ .

10. Zahra benar. Pangkat $2026$ dan $2027$ punya keganjilan yang berlawanan, jadi $(-1)^{2026} = +1$ dan $(-1)^{2027} = -1$ , yang berjumlah $0$ . Secara umum, dari dua pangkat yang berurutan satu genap dan satu ganjil, jadi kedua nilainya $+1$ dan $-1$ dalam urutan tertentu: bilangan yang saling berlawanan, yang jumlahnya selalu $0$ .

11. $A_3 = 1 - 2 + 3 = 2$ , lalu $A_4 = A_3 - 4 = -2$ , $A_5 = A_4 + 5 = 3$ , $A_6 = A_5 - 6 = -3$ , $A_7 = A_6 + 7 = 4$ . Dugaan: $A_n = -\frac{n}{2}$ untuk $n$ genap, dan $A_n = \frac{n+1}{2}$ untuk $n$ ganjil.

12. Untuk $n$ genap sukunya berpasangan seluruhnya:

A_n = (1 - 2) + (3 - 4) + \dots + \bigl((n-1) - n\bigr),

dan tiap pasangannya bernilai $-1$ . Ada $\frac{n}{2}$ pasangan (dua suku pada tiap pasangan, dan $n$ suku seluruhnya), jadi $A_n = \frac{n}{2} \times (-1) = -\frac{n}{2}$ .

13. Untuk $n$ ganjil, jumlah $A_n$ adalah jumlah $A_{n-1}$ dari $n - 1$ suku pertamanya, ditambah suku terakhirnya, yaitu $+n$ karena $n$ ganjil. Karena $n - 1$ genap, pertanyaan 12 memberi

A_n = A_{n-1} + n = -\frac{n-1}{2} + n = \frac{-(n-1) + 2n}{2} = \frac{n+1}{2} .

14. $A_{100} = -\frac{100}{2} = -50$ , $A_{101} = \frac{102}{2} = 51$ , $A_{2026} = -\frac{2026}{2} = -1013$ .

15. Tidak mengejutkan: berpindah dari $A_{100}$ ke $A_{101}$ menambahkan tepat satu suku, yaitu $+101$ , jadi selisihnya memang harus $101$ . Dengan alasan yang sama, $A_{2027} - A_{2026} = +2027$ — tanpa menghitung $A_{2027}$ sama sekali.