Matematika Sekolah Dasar dan Menengah · Grades 1–9

61Perbandingan Senilai, Kecepatan dan Rata-rata

Perbandingan senilai (Bab 49) kini bertemu dunia fisik: kecepatan, debit, pengubahan satuan — besaran yang berupa hasil bagi dua besaran lain. Bab ini ditutup dengan rata-rata berbobot, tempat penalaran yang sebanding mencegah kekeliruan klasik.

61.1 Kecepatan rata-rata

Definisi 61.1 (Kecepatan rata-rata)

Kecepatan rata-rata sebuah perjalanan adalah hasil bagi

v = \frac{d}{t} \qquad \left(\text{jarak dibagi lamanya}\right),

dalam kilometer per jam (km/jam), atau meter per detik (m/detik), … Rumusnya dapat dibalik: $d = v \times t$ dan $t = \frac{d}{v}$ .

Contoh 61.2

Sebuah kereta menempuh $270$ km dalam $1$ jam $30$ menit. Ubahlah waktunya lebih dahulu: $1$ jam $30$ menit $= 1.5$ jam. Lalu

v = \frac{270}{1.5} = 180 \text{ km/jam}.

Jarak pada $90$ km/jam selama $2$ jam $20$ menit $= \frac73$ jam: $d = 90 \times \frac73 = 210$ km. Waktu untuk $35$ km pada $14$ km/jam: $t = \frac{35}{14} = 2.5$ jam $= 2$ jam $30$ menit.

Catatan 61.3 (Menit bukan bilangan desimal)

$1$ jam $30$ menit adalah $1.5$ jam, tetapi $1$ jam $20$ menit bukan $1.2$ jam: melainkan $1 + \frac{20}{60} = \frac43 \approx 1.33$ jam. Ubahlah menitnya menjadi pecahan dari satu jam ( $60$ menit $= 1$ jam) sebelum membagi.

Pada kecepatan tetap, jarak sebanding dengan waktu: yaitu garis lurus melalui titik asalnya, yang kecuramannya adalah kecepatannya. — Pada kecepatan tetap, jarak sebanding dengan waktu: yaitu garis lurus melalui titik asalnya, yang kecuramannya *adalah* kecepatannya.

Metode 61.4 (Mengubah kecepatan)

Untuk mengubah km/jam menjadi m/detik: $1$ km $= 1000$ m dan $1$ jam $= 3600$ detik, jadi

v \text{ km/jam} = \frac{v \times 1000}{3600} \text{ m/detik} = \frac{v}{3.6} \text{ m/detik}.

Untuk mengubah m/detik menjadi km/jam, kalikan dengan $3.6$ .

Contoh 61.5

$90$ km/jam $= \frac{90}{3.6} = 25$ m/detik. Pelari cepat yang menempuh $100$ m dalam $10$ detik bergerak pada $10$ m/detik $= 36$ km/jam.

61.2 Besaran yang berupa hasil bagi

Contoh 61.6 (Debit, harga per kilo)

Kecepatan punya banyak sepupu, yang semuanya diperlakukan dengan cara yang sama:

sebuah keran mengisi $48$ L dalam $4$ menit: debitnya $\frac{48}{4} = 12$ L/menit, jadi mengisi bak $150$ L makan waktu $\frac{150}{12} = 12.5$ menit;
$0.6$ kg keju berharga $9$ euro: harganya $\frac{9}{0.6} = 15$ euro tiap kg;
sebuah mobil memakai $6.3$ L untuk $90$ km: konsumsinya $\frac{6.3}{90} \times 100 = 7$ L tiap $100$ km.

Kenalilah hasil baginya, lalu rumus tiga arahnya ( $q = \frac ab$ , $a = qb$ , $b = \frac aq$ ) mengerjakan sisanya.

61.3 Rata-rata berbobot

Definisi 61.7 (Rata-rata berbobot)

Ketika nilai $v_1, v_2, \dots$ datang bersama frekuensi (atau bobot) $n_1, n_2, \dots$ , rata-rata berbobotnya adalah

\bar v = \frac{n_1 v_1 + n_2 v_2 + \dots}{n_1 + n_2 + \dots} :

jumlah nilainya, dibagi jumlah bobotnya.

Contoh 61.8

Sebuah ujian dikerjakan dua kelompok: kelompok 1, $12$ murid, rata-ratanya $11$ ; kelompok 2, $18$ murid, rata-ratanya $14$ . Rata-rata seluruh kelasnya:

\bar v = \frac{12 \times 11 + 18 \times 14}{12 + 18} = \frac{132 + 252}{30} = \frac{384}{30} = 12.8 .

Bukan $\frac{11 + 14}{2} = 12.5$ : kelompok yang lebih besar menarik rata-ratanya ke arahnya sendiri — bobotnya berpengaruh.

Contoh 61.9 (Kecepatan rata-rata pada dua ruas)

Seorang pesepeda menempuh $30$ km pada $30$ km/jam, lalu $30$ km pada $15$ km/jam. Kecepatan rata-rata seluruh perjalanannya bukan $\frac{30 + 15}{2} = 22.5$ km/jam. Hitunglah dengan definisinya:

waktunya: $\frac{30}{30} = 1$ jam, lalu $\frac{30}{15} = 2$ jam; seluruhnya $3$ jam;
jarak seluruhnya $60$ km, jadi $v = \frac{60}{3} = 20$ km/jam.

Ruas yang lambat berlangsung lebih lama, jadi bobotnya lebih besar — rata-rata kecepatan harus dibobot menurut waktu.

61.4 Latihan

Latihan 61.1 ★

Hitunglah kecepatan rata-ratanya: $150$ km dalam $2$ jam; $27$ km dalam $45$ menit; $100$ m dalam $12.5$ detik.

Solusi

Solusi Latihan 61.1.

$\frac{150}{2} = 75$ km/jam. $45$ menit $= 0.75$ jam: $\frac{27}{0.75} = 36$ km/jam. $\frac{100}{12.5} = 8$ m/detik.

Latihan 61.2 ★

Hitunglah jaraknya: $2$ jam pada $85$ km/jam; $40$ menit pada $90$ km/jam. Hitunglah waktunya: $315$ km pada $90$ km/jam (dalam jam dan menit).

Solusi

Solusi Latihan 61.2.

$2 \times 85 = 170$ km. $40$ menit $= \frac23$ jam: $90 \times \frac23 = 60$ km. $\frac{315}{90} = 3.5$ jam $= 3$ jam $30$ menit.

Latihan 61.3 ★

Ubahlah: $72$ km/jam menjadi m/detik; $5$ m/detik menjadi km/jam; $108$ km/jam menjadi m/detik.

Solusi

Solusi Latihan 61.3.

$72 \div 3.6 = 20$ m/detik. $5 \times 3.6 = 18$ km/jam. $108 \div 3.6 = 30$ m/detik.

Latihan 61.4 ★

Sebuah keran mengalirkan $15$ L/menit. Berapa lama untuk mengisi tangki $600$ L? Berapa liter dalam $2$ jam $30$ ?

Solusi

Solusi Latihan 61.4.

$600 \div 15 = 40$ menit. $2$ jam $30 = 150$ menit: $15 \times 150 = 2250$ L.

Latihan 61.5 ★

Mana yang lebih menguntungkan: $1.2$ kg apel seharga $3.30$ euro, atau $0.8$ kg seharga $2.16$ euro? Bandingkan harganya tiap kilogram.

Solusi

Solusi Latihan 61.5.

$\frac{3.30}{1.2} = 2.75$ euro/kg melawan $\frac{2.16}{0.8} = 2.70$ euro/kg: tawaran yang kedua (sedikit) lebih menguntungkan.

Latihan 61.6 ★

Sebuah kelas berisi $25$ murid punya rata-rata $12.4$ pada sebuah ujian; kelas lain berisi $35$ murid punya rata-rata $10$ . Hitunglah rata-rata kedua kelas itu bersama-sama.

Solusi

Solusi Latihan 61.6.

\bar v = \frac{25 \times 12.4 + 35 \times 10}{60} = \frac{310 + 350}{60} = \frac{660}{60} = 11 .

Latihan 61.7 ★

Bunyi merambat kira-kira $340$ m/detik. Kamu melihat kilatan petir lalu mendengar guruhnya $6$ detik kemudian. Berapa jauh petirnya menyambar (sampai $100$ m terdekat)?

Solusi

Solusi Latihan 61.7.

$d = 340 \times 6 = 2040$ m $\approx 2$ km.

Latihan 61.8 ★★

Seorang pendaki berjalan $2$ jam pada $5$ km/jam, beristirahat $30$ menit, lalu berjalan $1$ jam $30$ pada $4$ km/jam. Hitunglah jarak seluruhnya dan kecepatan rata-ratanya termasuk istirahatnya (jarak seluruhnya dibagi waktu yang berlalu).

Solusi

Solusi Latihan 61.8.

Jaraknya: $2 \times 5 = 10$ km, lalu $1.5 \times 4 = 6$ km: seluruhnya $16$ km. Waktu yang berlalu: $2 + 0.5 + 1.5 = 4$ jam. Kecepatan rata-ratanya: $\frac{16}{4} = 4$ km/jam.

Latihan 61.9 ★★

Nilai dengan koefisien: seorang murid memperoleh $15$ (koefisien $3$ ), $9$ (koefisien $2$ ) dan $12$ (koefisien $1$ ). Hitunglah rata-rata berbobotnya. Rata-rata biasa (tanpa bobot) yang mana yang akan diperolehnya, dan mengapa keduanya berbeda?

Solusi

Solusi Latihan 61.9.

Berbobot: $\frac{3 \times 15 + 2 \times 9 + 1 \times 12}{3 + 2 + 1} = \frac{45 + 18 + 12}{6} = \frac{75}{6} = 12.5$ . Tanpa bobot: $\frac{15 + 9 + 12}{3} = 12$ . Keduanya berbeda karena koefisiennya memberi nilai $15$ bobot tiga kali bobot nilai $12$ .

Latihan 61.10 ★★

Sebuah mobil menempuh $120$ km pada $80$ km/jam lalu $120$ km pada $120$ km/jam.

Hitunglah lamanya tiap ruasnya, lalu kecepatan rata-ratanya pada seluruh perjalanannya.
Jelaskan mengapa jawabannya kurang dari $100$ km/jam, yaitu titik tengah kedua kecepatannya.

Solusi

Solusi Latihan 61.10.

1. Waktunya: $\frac{120}{80} = 1.5$ jam dan $\frac{120}{120} = 1$ jam. Kecepatan rata-ratanya: $\frac{240}{2.5} = 96$ km/jam.

2. Mobilnya menghabiskan lebih banyak waktu pada $80$ km/jam ( $1.5$ jam) daripada pada $120$ km/jam ( $1$ jam): jadi kecepatan yang lambat berbobot lebih besar pada rata-rata berbobot waktunya, sehingga menariknya ke bawah titik tengah $100$ .

Latihan 61.11 ★★★

Dua desa berjarak $18$ km. Ana berangkat dari desa pertama pukul $10{:}00$ dengan berjalan $5$ km/jam menuju desa kedua; Bayu berangkat dari desa kedua pada saat yang sama dengan berjalan $4$ km/jam menuju desa pertama. Pukul berapa mereka bertemu, dan berapa jaraknya dari desa Ana? (Bersama-sama mereka menutup celahnya pada $5 + 4$ km/jam.)

Solusi

Solusi Latihan 61.11.

Celah $18$ km menutup pada $5 + 4 = 9$ km/jam: mereka bertemu sesudah $\frac{18}{9} = 2$ jam, yaitu pukul $12{:}00$ . Ana ketika itu sudah berjalan $2 \times 5 = 10$ km: mereka bertemu $10$ km dari desa Ana (dan $8$ km dari desa Bayu — periksa: $10 + 8 = 18$ ).

61.5 Soal: Rata-rata harmonik, atau mengapa perjalanan pulang merusak rata-ratanya

Soal 61.1

Soal akhir pekan — kecepatan rata-rata pada jarak yang sama adalah $\frac{2 v_1 v_2}{v_1 + v_2}$ , dan tidak pernah mengalahkan titik tengah kedua kecepatannya

Contoh 61.9 dan Latihan 61.10 keduanya berakhir dengan kejutan yang sama: berangkat pada satu kecepatan, kembali pada kecepatan yang lain, dan kecepatan rata-ratanya mendarat di bawah titik tengah keduanya. Soal ini mencari rumus persis di balik kejutannya — yaitu jenis rata-rata yang baru, rata-rata harmonik — membuktikan bahwa kejutannya adalah sebuah teorema, lalu mendorongnya ke ujung logisnya: pengejaran yang tidak dapat dicapai kecepatan mana pun di dunia.

Bagian I — Rumus untuk perjalanan pulang pergi. Sebuah perjalanan menempuh jarak $d$ pada kecepatan $v_1$ , lalu jarak $d$ yang sama lagi pada kecepatan $v_2$ (semuanya bilangan positif).

Nyatakan kedua lamanya, lalu lama seluruhnya, sebagai pecahan yang memuat $d$ , $v_1$ , $v_2$ .
Kecepatan rata-rata seluruh perjalanannya adalah $\bar v = \dfrac{2d}{\ \dfrac{d}{v_1} + \dfrac{d}{v_2}\ }$ — yaitu pecahan bertingkat (Contoh 55.8). Sederhanakan lalu buktikan:

$\bar v = \frac{2\, v_1 v_2}{v_1 + v_2} .$
Periksalah rumusnya terhadap kedua perhitungan yang dikutip di atas: $v_1 = 30$ , $v_2 = 15$ km/jam (Contoh 61.9), dan $v_1 = 80$ , $v_2 = 120$ km/jam (Latihan 61.10).
Jarak $d$ sudah lenyap dari rumusnya. Apa artinya itu, secara nyata, bagi pesepedanya?
Sekarang andaikan perjalanannya justru menghabiskan waktu $T$ yang sama pada tiap kecepatannya. Tunjukkan bahwa kecepatan rata-ratanya lalu menjadi $\frac{v_1 + v_2}{2}$ , yaitu titik tengah yang biasa. Dalam bahasa Definisi 61.7: dengan besaran apa rata-rata kecepatan harus selalu dibobot, dan apa yang berubah antara kedua keadaannya?

Bagian II — Harmonik melawan aritmetika. Untuk dua bilangan positif $v_1$ , $v_2$ , tetapkan

H = \frac{2\, v_1 v_2}{v_1 + v_2} \quad\text{(\emph{rata-rata harmonik}),} \qquad A = \frac{v_1 + v_2}{2} \quad\text{(\emph{rata-rata aritmetika}).}

Hitunglah $H$ dan $A$ untuk pasangan $(30, 15)$ dan $(80, 120)$ . Rata-rata yang mana dari keduanya yang menang setiap kali?
Taruhlah $A - H$ pada penyebut bersama $2(v_1 + v_2)$ , jabarkan pembilangnya dengan kesamaan istimewa (Soal 57.1), lalu buktikan:

$A - H = \frac{(v_1 - v_2)^2}{2\,(v_1 + v_2)} .$
Simpulkan teorema di balik semua kejutannya: untuk kecepatan yang positif, $H \leq A$ selalu, dengan kesamaannya persis ketika $v_1 = v_2$ . Mengapa kuadrat pada pembilangnya menyelesaikan perkaranya?
Buktikan kesamaan yang anggun $H \times A = v_1 \times v_2$ : kedua rata-ratanya mengalikan kembali menjadi hasil kali aslinya.
Sebuah mobil menempuh $60$ km pada $40$ km/jam dan $60$ km pada $60$ km/jam. Ramalkan kecepatan rata-ratanya dengan rumusnya, lalu benarkan lewat jalan panjangnya, dengan waktu dan jarak seluruhnya.

Bagian III — Pengejaran yang mustahil.

Seorang pesepeda mengikuti lomba $30$ km dengan harapan rata-ratanya $30$ km/jam. Paling lama berapa waktu seluruhnya yang boleh dipakai lombanya? Ia menempuh $15$ km pertamanya pada $15$ km/jam: berapa sisa jatah waktunya?
Tunjukkan bahwa rata-rata yang diharapkannya sudah menjadi mustahil secara harfiah: hitunglah kecepatan rata-ratanya kalau ia menempuh separuh keduanya pada $90$ km/jam, lalu jelaskan mengapa kecepatan yang raksasa sekalipun tetap membuatnya kurang dari $30$ km/jam.
Ia menurunkan sasarannya menjadi $20$ km/jam. Kecepatan apa pada $15$ km yang kedua yang mencapainya? Periksalah jawabanmu dengan rumus rata-rata harmoniknya.
Keran dingin sendirian mengisi sebuah bak dalam $20$ menit; keran panas sendirian mengisinya dalam $30$ menit. Berapa bagian baknya yang diisi kedua kerannya bersama-sama tiap menitnya, dan berapa lama waktu yang dipakainya? Bandingkan jawabanmu dengan $H(20, 30)$ — apa yang kamu perhatikan?
Sebuah pesawat menerbangi rute yang sama pergi dan pulang: $900$ km/jam bersama angin, $700$ km/jam melawannya. Hitunglah kecepatan rata-rata pulang perginya, lalu jelaskan dalam satu kalimat mengapa angin, ke mana pun ia bertiup, selalu memperpanjang perjalanan pulang pergi.

Solusi

Solusi Soal 61.1.

1. Menurut Definisi 61.1, $t_1 = \frac{d}{v_1}$ dan $t_2 = \frac{d}{v_2}$ ; seluruh perjalanannya berlangsung $\frac{d}{v_1} + \frac{d}{v_2}$ untuk jarak $2d$ .

2. Faktorkan $d$ keluar dari penyebutnya lalu sederhanakan sampai lenyap:

\bar v = \frac{2d}{d\left(\frac{1}{v_1} + \frac{1}{v_2}\right)} = \frac{2}{\ \frac{1}{v_1} + \frac{1}{v_2}\ } .

Penyebut bersama di dalamnya: $\frac{1}{v_1} + \frac{1}{v_2} = \frac{v_2 + v_1}{v_1 v_2}$ , dan membagi berarti mengalikan dengan kebalikannya (Teorema 55.6):

\bar v = 2 \times \frac{v_1 v_2}{v_1 + v_2} = \frac{2\, v_1 v_2}{v_1 + v_2} .

3. $\dfrac{2 \times 30 \times 15}{30 + 15} = \dfrac{900}{45} = 20$ km/jam, seperti pada Contoh 61.9; dan $\dfrac{2 \times 80 \times 120}{80 + 120} = \dfrac{19\,200}{200} = 96$ km/jam, seperti yang ditemukan pada Latihan 61.10.

4. Rata-ratanya hanya bergantung pada kedua kecepatannya, bukan pada $d$ : perjalanan pulang pergi $1$ km dan perjalanan pulang pergi $100$ km pada kedua kecepatan yang sama punya kecepatan rata-rata yang persis sama. (Itulah sebabnya rumusnya dapat diperiksa pada perjalanan yang panjangnya berbeda-beda.)

5. Dalam waktu $T$ pada tiap kecepatannya, jaraknya adalah $v_1 T$ dan $v_2 T$ , jadi

\bar v = \frac{v_1 T + v_2 T}{2T} = \frac{(v_1 + v_2)\,T}{2T} = \frac{v_1 + v_2}{2} .

Rata-rata kecepatan selalu dibobot menurut waktu (Definisi 61.7). Dengan waktu yang sama kedua kecepatannya membawa bobot yang sama: jadi titik tengah biasa. Dengan jarak yang sama, kecepatan yang lebih lambat menempati waktu yang lebih banyak, jadi bobotnya lebih besar — dan rata-ratanya menggeser ke arahnya.

6. Untuk $(30, 15)$ : $H = 20$ dan $A = 22.5$ . Untuk $(80, 120)$ : $H = 96$ dan $A = 100$ . Rata-rata aritmetikanya menang kedua kalinya.

7. Pada penyebut bersama $2(v_1 + v_2)$ :

A - H = \frac{(v_1 + v_2)^2 - 4\, v_1 v_2}{2\,(v_1 + v_2)} ,

dan pembilangnya menjabar dengan kesamaan pada Soal 57.1:

(v_1 + v_2)^2 - 4 v_1 v_2 = v_1^2 + 2 v_1 v_2 + v_2^2 - 4 v_1 v_2 = v_1^2 - 2 v_1 v_2 + v_2^2 = (v_1 - v_2)^2 .

8. Kuadrat tidak pernah negatif, dan $2(v_1 + v_2)$ bernilai positif: jadi $A - H \geq 0$ , yaitu $H \leq A$ , untuk setiap pasangan kecepatan yang positif. Kesamaannya menuntut $(v_1 - v_2)^2 = 0$ , yaitu $v_1 = v_2$ : begitu kedua kecepatannya berbeda, rata-rata perjalanan pulang perginya turun benar-benar di bawah titik tengahnya — kejutannya adalah sebuah teorema.

9. Kalikan:

H \times A = \frac{2\, v_1 v_2}{v_1 + v_2} \times \frac{v_1 + v_2}{2} = v_1 v_2 ,

sesudah mencoret faktor $2$ dan faktor $v_1 + v_2$ .

10. Dengan rumusnya: $\bar v = \dfrac{2 \times 40 \times 60} {40 + 60} = \dfrac{4800}{100} = 48$ km/jam. Lewat jalan panjangnya: $\frac{60}{40} = 1.5$ jam dan $\frac{60}{60} = 1$ jam, jadi $120$ km dalam $2.5$ jam: $\frac{120}{2.5} = 48$ km/jam. Keduanya sesuai.

11. Rata-rata $30$ km/jam sepanjang $30$ km berarti waktu seluruhnya paling lama $\frac{30}{30} = 1$ jam. Sedangkan $15$ km pertamanya pada $15$ km/jam sudah makan waktu $\frac{15}{15} = 1$ jam: seluruh jatah waktunya terpakai, dengan separuh lintasannya belum ditempuh.

12. Pada $90$ km/jam separuh keduanya makan waktu $\frac{15}{90} = \frac16$ jam, jadi lombanya makan $\frac76$ jam dan

\bar v = \frac{30}{\ 7/6\ } = \frac{180}{7} \approx 25.7 \text{ km/jam} < 30 .

Berapa pun kecepatan separuh keduanya, lamanya adalah bilangan yang positif, jadi waktu seluruhnya melampaui $1$ jam dan rata-ratanya tetap benar-benar di bawah $30$ km/jam. (Dengan rumusnya: $\frac{2 \times 15 \times v_2}{15 + v_2} = 30$ akan memaksa $30 v_2 = 450 + 30 v_2$ , yaitu $0 = 450$ — tidak ada kecepatan $v_2$ yang berhasil.)

13. Rata-rata $20$ km/jam mengizinkan $\frac{30}{20} = 1.5$ jam; sesudah jam pertamanya, $15$ km tersisa untuk $0.5$ jam: jadi ia perlu $\frac{15}{0.5} = 30$ km/jam. Periksa: $H(15, 30) = \frac{2 \times 15 \times 30}{45} = \frac{900}{45} = 20$ km/jam.

14. Tiap menitnya, kerannya mengisi $\frac{1}{20}$ dan $\frac{1}{30}$ bagian baknya; bersama-sama

\frac{1}{20} + \frac{1}{30} = \frac{3}{60} + \frac{2}{60} = \frac{5}{60} = \frac{1}{12}

bagian baknya tiap menit: jadi baknya terisi dalam $12$ menit. Dan $H(20, 30) = \frac{2 \times 600}{50} = 24 = 2 \times 12$ : kedua kerannya bersama-sama makan waktu persis setengah rata-rata harmonik waktu masing-masingnya — laju yang berjumlah, jadi ini wilayah rata-rata harmonik lagi.

15. Jaraknya sama pada tiap arahnya, jadi

\bar v = \frac{2 \times 900 \times 700}{900 + 700} = \frac{1\,260\,000}{1\,600} = 787.5 \text{ km/jam},

di bawah $800$ km/jam pada udara yang tenang. Dalam satu kalimat: pesawatnya menghabiskan waktu lebih lama terbang melawan angin daripada bersamanya, jadi ruas yang lambat memperoleh bobot yang lebih besar pada rata-rata berbobot waktunya — angin hanya dapat memperpanjang perjalanan pulang pergi.

Istilah yang didefinisikan dalam bab ini

Lihat semua 395 istilah di glosarium