Wiskunde basisschool en onderbouw · Grades 1–9

62Piramides en kegels

Na de prisma’s en cilinders van Hoofdstuk 53 — lichamen met een constante doorsnede — komen de lichamen met een punt: piramides en kegels. Hun formule voor de inhoud draagt een beroemde factor $\frac13$ , die dit hoofdstuk geloofwaardig maakt en gebruikt; de studie van de lichamen gaat verder met bollen en doorsneden in Hoofdstuk 70.

62.1 Piramides en kegels beschrijven

Definitie 62.1 (Piramide, kegel)

Een piramide heeft een veelhoek als grondvlak en een punt, de top, die met driehoekige zijvlakken met elk hoekpunt van het grondvlak verbonden is. Haar hoogte is de afstand van de top tot het vlak van het grondvlak.
Een kegel is dezelfde constructie boven een schijf: een grondschijf, een top, en een gekromd zijvlak.

Een piramide is regelmatig wanneer haar grondvlak een regelmatige veelhoek is (vierkant, gelijkzijdige driehoek, …) en haar top verticaal boven het middelpunt van het grondvlak ligt.

Een piramide met vierkant grondvlak en een kegel: één veelhoekig of cirkelvormig grondvlak, één top, en de hoogte loodrecht op het grondvlak gemeten.

Voorbeeld 62.2 (Zijvlakken, ribben en hoekpunten tellen)

Een piramide met een vierkant grondvlak heeft $5$ zijvlakken ( $1$ vierkant $+ 4$ driehoeken), $8$ ribben en $5$ hoekpunten. Met een grondvlak met $n$ zijden: $n + 1$ zijvlakken, $2n$ ribben, $n + 1$ hoekpunten. Ga het kleine patroon van Euler na: zijvlakken $+$ hoekpunten $=$ ribben $+ 2$ .

62.2 Inhoud

Stelling 62.3 (Inhoud van een piramide of kegel)

Voor een piramide of een kegel met grondvlak van oppervlakte $B$ en hoogte $h$ :

V = \frac{1}{3}\, B \times h

— een derde van het prisma of de cilinder met hetzelfde grondvlak en dezelfde hoogte. Voor een kegel met grondradius $r$ : $V = \frac13 \pi r^2 h$ .

Bewijs. Op dit niveau zonder bewijs aangenomen. ∎

Opmerking 62.4 (Waarom een derde?)

Vul een holle piramide met water en giet het in het prisma met hetzelfde grondvlak en dezelfde hoogte: er gaan precies drie vullingen in. Nog mooier: een kubus kan in drie identieke piramides worden verdeeld, die elk een zijvlak van de kubus als grondvlak en één hoekpunt van de kubus als top hebben (probeer het je voor te stellen!). Een algemeen bewijs gebruikt integralen, gereedschap uit het bovenbouwvolume.

Voorbeeld 62.5

Een piramide heeft een vierkant grondvlak met zijde $5$ cm en hoogte $9$ cm:

oppervlakte van het grondvlak: $B = 5^2 = 25$ cm $^2$ ;
inhoud: $V = \frac13 \times 25 \times 9 = 25 \times 3 = 75$ cm $^3$ .

Een ijshoorntje met radius $3$ cm en hoogte $10$ cm:

V = \frac13 \times \pi \times 3^2 \times 10 = 30\pi \approx 94 \text{ cm}^3 .

Voorbeeld 62.6 (Pas op met de hoogte)

Verwar bij een kegel de hoogte $h$ (van de top tot het middelpunt van het grondvlak, loodrecht) niet met de schuine hoogte $s$ (van de top tot de rand). Ze hangen samen via Pythagoras (Stelling 58.1) in de rechthoekige driehoek top–middelpunt–rand:

s^2 = h^2 + r^2 .

Een kegel met $r = 3$ en $s = 5$ heeft dus hoogte $h = \sqrt{25 - 9} = 4$ , en inhoud $\frac13 \pi \times 9 \times 4 = 12\pi$ .

Methode 62.7 (Vraagstukken over inhoud)

Bepaal welk lichaam het is (prisma/cilinder: $V = Bh$ ; piramide/kegel: $V = \frac13 Bh$ );
bereken eerst de oppervlakte $B$ van het grondvlak, als een aparte stap;
ga na dat de hoogte loodrecht op het grondvlak staat (gebruik Pythagoras als de schuine hoogte gegeven is);
vermenigvuldig, houd de eenheden bij elkaar passend, en zet aan het einde om als het nodig is ( $1$ L $= 1000$ cm $^3$ ).

62.3 Uitslagen

Voorbeeld 62.8 (Uitslag van een piramide)

Een regelmatige piramide met vierkant grondvlak uitvouwen maakt haar plat tot haar uitslag: het vierkante grondvlak met vier identieke gelijkbenige driehoeken aan zijn zijden. De gelijke zijden van de driehoeken zijn de zijribben van de piramide — hun lengte is niet $h$ en ook niet de schuine hoogte van een zijvlak, dus benoem alles zorgvuldig vóór je karton knipt.

De uitslag van een piramide met vierkant grondvlak: vouw de vier driehoeken omhoog tot hun toppen elkaar ontmoeten.

62.4 Oefeningen

Oefening 62.1 ★

Hoeveel zijvlakken, ribben en hoekpunten heeft een piramide met een driehoekig grondvlak (een viervlak)? En met een zeshoekig grondvlak?

Oplossing

Oplossing van Oefening 62.1.

Viervlak: $4$ zijvlakken, $6$ ribben, $4$ hoekpunten ( $4 + 4 = 6 + 2$ ). Zeshoekig grondvlak: $7$ zijvlakken, $12$ ribben, $7$ hoekpunten ( $7 + 7 = 12 + 2$ ).

Oefening 62.2 ★

Bereken de inhoud van een piramide met een grondvlak van $36$ cm $^2$ en hoogte $10$ cm; en van een piramide met rechthoekig grondvlak $6 \times 4$ cm en hoogte $7.5$ cm.

Oplossing

Oplossing van Oefening 62.2.

$V = \frac13 \times 36 \times 10 = 120$ cm $^3$ .

Rechthoekig grondvlak: $B = 24$ cm $^2$ , dus $V = \frac13 \times 24 \times 7.5 = 60$ cm $^3$ .

Oefening 62.3 ★

Bereken de inhoud van een kegel met radius $5$ cm en hoogte $9$ cm (exact met $\pi$ , daarna afgerond op de cm $^3$ ).

Oplossing

Oplossing van Oefening 62.3.

$V = \frac13 \pi \times 25 \times 9 = 75\pi \approx 236$ cm $^3$ .

Oefening 62.4 ★

Een cilinder en een kegel hebben dezelfde radius $4$ cm en dezelfde hoogte $12$ cm. Bereken beide inhouden. Wat is hun verhouding?

Oplossing

Oplossing van Oefening 62.4.

Cilinder: $\pi \times 16 \times 12 = 192\pi \approx 603$ cm $^3$ . Kegel: $\frac{192\pi}{3} = 64\pi \approx 201$ cm $^3$ . Verhouding: de kegel is een derde van de cilinder.

Oefening 62.5 ★

Een piramide heeft inhoud $56$ cm $^3$ en hoogte $8$ cm. Wat is de oppervlakte van haar grondvlak? (Schrijf de formule voor de inhoud op en los op.)

Oplossing

Oplossing van Oefening 62.5.

$56 = \frac13 \times B \times 8$ , dus is $B = \frac{56 \times 3}{8} = 21$ cm $^2$ .

Oefening 62.6 ★

Schets de uitslag van een kegel (een schijf voor het grondvlak, en een sector van een grotere schijf voor het zijvlak). Welke maat van de kegel is de radius van die sector: de hoogte $h$ of de schuine hoogte $s$ ?

Oplossing

Oplossing van Oefening 62.6.

Het zijvlak rolt uit tot een sector van een schijf waarvan de radius de schuine hoogte $s$ is (de afstand van de top tot de rand — dat lijnstuk ligt op het oppervlak), niet de hoogte $h$ .

Oefening 62.7 ★★

De piramide van het Louvre heeft een vierkant grondvlak met zijde van ongeveer $35$ m en een hoogte van ongeveer $22$ m. Schat haar inhoud, op honderd kubieke meter nauwkeurig.

Oplossing

Oplossing van Oefening 62.7.

$V = \frac13 \times 35^2 \times 22 = \frac13 \times 1225 \times 22 = \frac{26\,950}{3} \approx 8\,983$ m $^3$ — ongeveer $9\,000$ kubieke meter.

Oefening 62.8 ★★

Een kegel heeft schuine hoogte $13$ cm en grondradius $5$ cm. Bereken zijn hoogte, en daarna zijn inhoud (exact met $\pi$ ).

Oplossing

Oplossing van Oefening 62.8.

Hoogte: $h = \sqrt{13^2 - 5^2} = \sqrt{169 - 25} = \sqrt{144} = 12$ cm. Inhoud: $V = \frac13 \pi \times 25 \times 12 = 100\pi$ cm $^3$ .

Oefening 62.9 ★★

Een kegelvormig glas met radius $4$ cm en hoogte $9$ cm wordt tot de rand gevuld en daarna in een cilindrisch glas met radius $4$ cm gegoten. Welke hoogte bereikt de vloeistof in de cilinder?

Oplossing

Oplossing van Oefening 62.9.

Dezelfde radius, dus is de inhoud van de kegel een derde van die van de cilinder bij dezelfde hoogte: de vloeistof komt in de cilinder tot $\frac{9}{3} = 3$ cm.

Oefening 62.10 ★★

Een zandloper bestaat uit twee identieke kegels (radius $2$ cm, hoogte $4.5$ cm) die met hun toppen aan elkaar zitten. Al het zand vult precies één kegel. Bereken de inhoud van het zand (exact, daarna in cm $^3$ afgerond op een tiende), en het deel van de totale binneninhoud van de zandloper dat het zand inneemt.

Oplossing

Oplossing van Oefening 62.10.

Zand $=$ één kegel: $V = \frac13 \pi \times 4 \times 4.5 = 6\pi \approx 18.8$ cm $^3$ . De zandloper bevat twee zulke kegels, dus vult het zand precies de helft van de totale binneninhoud.

Oefening 62.11 ★★★

Een piramide met een vierkant grondvlak met zijde $6$ cm heeft haar top rechtstreeks boven een hoek van het grondvlak, op hoogte $8$ cm.

Geldt de formule $V = \frac13 Bh$ nog? (Ja — de top hoeft niet in het midden te liggen. Bereken $V$ .)
Bereken de lengte van de langste zijribbe, van de top tot de overstaande hoek van het grondvlak (twee stappen met Pythagoras: eerst de diagonaal van het grondvlak).

Oplossing

Oplossing van Oefening 62.11.

1. Ja: de formule $V = \frac13 Bh$ geldt voor elke stand van de top, zolang $h$ de loodrechte afstand tot het vlak van het grondvlak is. $V = \frac13 \times 36 \times 8 = 96$ cm $^3$ .

2. Diagonaal van het grondvlak: $\sqrt{6^2 + 6^2} = 6\sqrt2$ cm. De langste zijribbe is de schuine zijde van een rechthoekige driehoek met rechthoekszijden $6\sqrt2$ (in het vlak van het grondvlak) en $8$ (verticaal):

\sqrt{(6\sqrt2)^2 + 8^2} = \sqrt{72 + 64} = \sqrt{136} \approx 11.7 \text{ cm}.

62.5 Opgave: een kubus verdeeld in drie piramides

Probleem 62.1

Weekendopgave — waar de factor $\frac13$ vandaan komt, en wat er met een piramide gebeurt die op halve hoogte wordt doorgesneden

De opmerking na Stelling 62.3 beweert dat een kubus in drie identieke piramides kan worden verdeeld — “probeer het je voor te stellen!”. Deze opgave stelt het precies voor, haalt de beroemde factor $\frac13$ er eerlijk uit, verdeelt de kubus daarna op een tweede manier in zes piramides, en sluit af door een piramide op halve hoogte door te snijden — met een uitkomst die weinig mensen bij de eerste poging goed raden.

Overal is $ABCDEFGH$ een kubus met zijde $a$ : grondvlak $ABCD$ , bovenvlak $EFGH$ , met $E$ boven $A$ , $F$ boven $B$ , $G$ boven $C$ en $H$ boven $D$ .

Deel I — Drie piramides met dezelfde top.

Het hoekpunt $G$ hoort bij drie zijvlakken van de kubus. Noem de drie zijvlakken die $G$ niet bevatten, en beschrijf de drie piramides die je krijgt door elk van die zijvlakken als grondvlak te nemen, telkens met top $G$ . Hoeveel zijvlakken, ribben en hoekpunten heeft elke piramide (Voorbeeld 62.2)?
Leg uit waarom een draai van de kubus over een derde slag om zijn lange diagonaal $(AG)$ de kubus onveranderd laat, maar de drie grondvlakken van vraag 1 cyclisch verwisselt — en waarom de drie piramides daarom identieke kopieën van elkaar zijn.
Neem aan dat de drie piramides de kubus zonder overlapping vullen (een model van karton is behoorlijk overtuigend), en leid daaruit de inhoud van elk van hen af.
Ga dit na met de formule van Stelling 62.3: de piramide met grondvlak $ABCD$ en top $G$ heeft haar top rechtstreeks boven een hoek van haar grondvlak, precies zoals in Oefening 62.11. Bepaal haar hoogte, pas de formule toe en vergelijk.
Geef voor een kubus met zijde $6$ cm de inhoud van elk van de drie piramides — en leg uit wat deze verdeling te maken heeft met de gietproef uit het hoofdstuk (drie vullingen van de piramide voor één prisma).

Deel II — Zes piramides met hetzelfde middelpunt. Zij nu $O$ het middelpunt van de kubus, en verbind $O$ met de vier hoekpunten van elk van de zes zijvlakken.

Beschrijf de zes piramides die je zo krijgt, en leg uit waarom het identieke kopieën van elkaar zijn. Wat is de hoogte van elk van hen?
Leid, door de inhoud van de kubus te verdelen, de inhoud van elk van de zes piramides af.
Bereken die inhoud opnieuw met de formule $V = \frac13 B h$ , en ga na dat de twee antwoorden overeenstemmen.
De twee verdelingen bevestigen de factor $\frac13$ voor enkele heel bijzondere piramides. Leg uit waarom ze Stelling 62.3 nog niet voor elke piramide en kegel bewijzen — en zeg hoe het hoofdstuk met dat gat omgaat: welke uitspraak wordt aangenomen, welke proef ondersteunt haar, en in welk volume van de reeks wordt ze eerlijk bewezen?
Een kubus met zijde $6$ cm wordt in zijn zes piramides om het middelpunt verdeeld. Bereken de inhoud van elk, op beide manieren.

Deel III — Een piramide op halve hoogte doorsnijden. $SABCD$ is een regelmatige piramide met vierkant grondvlak: zijde van het grondvlak $c$ , hoogte $h$ , top $S$ boven het middelpunt van het grondvlak. Snijd haar door met het vlak door de middens van de vier zijribben $[SA]$ , $[SB]$ , $[SC]$ , $[SD]$ .

Pas de middenparallelstelling (Stelling 59.1) toe in de driehoek $SAB$ : wat zijn de richting en de lengte van het lijnstuk dat de middens van $[SA]$ en $[SB]$ verbindt? Leid daaruit af dat de doorsnede een vierkant met zijde $\frac{c}{2}$ is, parallel met het grondvlak, op hoogte $\frac{h}{2}$ .
Het stuk boven de doorsnede is zelf een piramide met vierkant grondvlak. Geef de zijde van haar grondvlak en haar hoogte, en toon aan dat haar inhoud precies een achtste van de oorspronkelijke inhoud $V$ is.
Leid de inhoud van het onderste stuk af (de afgeknotte piramide, de vorm van een onvoltooide piramide). In welke verhouding verdeelt de doorsnede op halve hoogte de inhoud?
De piramide van het Louvre (Oefening 62.7: zijde van het grondvlak $35$ m, hoogte $22$ m) wordt in twee campagnes gepoetst: eerst het glas boven halve hoogte, daarna het glas eronder. Welk deel van de inhoud zit onder halve hoogte? Schat het in kubieke meter, op honderd nauwkeurig.
De algemene les: wat gebeurt er met de inhoud van een piramide als alle afmetingen met $2$ worden vermenigvuldigd? Met welke factor groeit de inhoud als elke afmeting met $k$ wordt vermenigvuldigd — en hoe verklaart dat in één regel het “een achtste” van vraag 12?

Oplossing

Oplossing van Probleem 62.1.

1. $G$ hoort bij het bovenvlak $EFGH$ en bij de twee zijvlakken $BCGF$ en $DCGH$ . De drie zijvlakken die $G$ niet bevatten, zijn het grondvlak $ABCD$ , het voorvlak $ABFE$ en het linkervlak $ADHE$ (ze hebben alle het hoekpunt $A$ gemeen, de hoek tegenover $G$ ). De drie piramides zijn $ABCDG$ , $ABFEG$ en $ADHEG$ : elk heeft een vierkant zijvlak van de kubus als grondvlak en het verre hoekpunt $G$ als top. Elk is een piramide met vierkant grondvlak: $5$ zijvlakken, $8$ ribben, $5$ hoekpunten (Voorbeeld 62.2).

2. De lange diagonaal $[AG]$ verbindt de enige twee hoekpunten die bij geen van de drie grondvlakken horen. Een draai over een derde slag om de lijn $(AG)$ stuurt de kubus naar zichzelf (de drie ribben die uit $A$ vertrekken — naar $B$ , $D$ , $E$ — worden cyclisch verwisseld, en zo ook de drie ribben die in $G$ aankomen). Ze brengt het grondvlak $ABCD$ naar $ADHE$ , dan $ADHE$ naar $ABFE$ , en weer terug: de toppen blijven in $G$ , de grondvlakken draaien rond. Elke piramide wordt zo op de volgende gebracht: de drie zijn identieke kopieën.

3. Drie identieke stukken die de kubus vullen, verdelen zijn inhoud in gelijke delen:

V_{\text{piramide}} = \frac{a^3}{3} .

4. De piramide $ABCDG$ heeft grondvlak $ABCD$ , met oppervlakte $a^2$ , en haar top $G$ ligt verticaal boven de hoek $C$ , op hoogte $CG = a$ (een verticale ribbe van de kubus). Zoals in Oefening 62.11 geldt de formule met de loodrechte hoogte $h = a$ :

V = \frac13 \times a^2 \times a = \frac{a^3}{3} ,

in volmaakte overeenstemming met vraag 3 — de verdeling en de formule bevestigen elkaar.

5. Voor $a = 6$ : $V = \frac{6^3}{3} = \frac{216}{3} = 72$ cm $^3$ per piramide. De gietproef is deze verdeling in vloeibare vorm: het prisma op het grondvlak $ABCD$ met hoogte $a$ is de kubus zelf, en er gaan precies drie piramidevullingen in — hier zetten de drie vullingen zich zelfs meetkundig in elkaar tot de kubus.

6. Het middelpunt $O$ met de vier hoeken van elk zijvlak verbinden geeft zes piramides, één per zijvlak: vierkant grondvlak, top $O$ . Het middelpunt ligt ten opzichte van de zes zijvlakken even goed geplaatst (elke draaiing of spiegeling van de kubus laat $O$ liggen en verwisselt de zijvlakken), dus zijn de zes piramides identiek. De hoogte van elk is de afstand van $O$ tot een zijvlak: de helft van de zijde, $\frac{a}{2}$ .

7. Zes identieke stukken verdelen de kubus: elk $V = \frac{a^3}{6}$ .

8. Met de formule: grondvlak van oppervlakte $a^2$ , hoogte $\frac a2$ :

V = \frac13 \times a^2 \times \frac{a}{2} = \frac{a^3}{6} .

De twee antwoorden stemmen overeen.

9. Beide verdelingen gaan over piramides met heel bijzondere verhoudingen, uit een kubus gesneden; een slanke piramide, een scheve piramide of een kegel kun je zo niet in elkaar zetten (geen drie kegels vullen een cilinder). Daarom wordt Stelling 62.3 op dit niveau aangenomen: de verdelingen en de gietproef maken de $\frac13$ volkomen geloofwaardig, en het eerlijke algemene bewijs — met integralen — staat in het bovenbouwvolume.

10. $V = \frac{6^3}{6} = 36$ cm $^3$ ; en met de formule: $V = \frac13 \times 36 \times 3 = 36$ cm $^3$ . Ze stemmen overeen.

11. In de driehoek $SAB$ worden de middens van de zijden $[SA]$ en $[SB]$ verbonden door een lijnstuk dat parallel is met $(AB)$ en lengte $\frac{AB}{2} = \frac{c}{2}$ heeft (Stelling 59.1). Hetzelfde geldt op elk zijvlak, dus vormen de vier middens een vierkant met zijde $\frac c2$ , met zijden parallel met het grondvlak. Op de verticale lijn door de top gaat de doorsnede door het midden van de hoogte (weer de middenparallelstelling, in een driehoek door $S$ , het middelpunt van het grondvlak en een hoekpunt van het grondvlak): het snijvlak zit op hoogte $\frac h2$ .

12. Het bovenste stuk is een regelmatige piramide met vierkant grondvlak met zijde $\frac c2$ en hoogte $\frac h2$ (haar grondvlak is de doorsnede, haar top is $S$ ). Haar inhoud is

\frac13 \times \left(\frac c2\right)^2 \times \frac h2 = \frac13 \times \frac{c^2}{4} \times \frac h2 = \frac{1}{8} \times \frac{c^2 h}{3} = \frac{V}{8} :

een achtste van het geheel — niet de helft.

13. De afgeknotte piramide houdt de rest: $V - \frac V8 = \frac{7V}{8}$ . De doorsnede op halve hoogte verdeelt de inhoud in de verhouding $1 : 7$ — het bescheiden uitziende onderstuk bevat zeven keer de inhoud van de spitse top.

14. Onder halve hoogte zit $\frac78$ van de inhoud. Met $V = \frac13 \times 35^2 \times 22 = \frac{26\,950}{3} \approx 8\,983$ m $^3$ (Oefening 62.7):

\frac78 \times \frac{26\,950}{3} \approx 7\,860 \approx 7\,900 \text{ m}^3

op honderd nauwkeurig — de campagne van de “onderste helft” poetst bijna acht keer zo veel glasinhoud als die van de bovenste.

15. Elke afmeting verdubbelen vermenigvuldigt de oppervlakte van het grondvlak met $2^2 = 4$ en de hoogte met $2$ , en dus de inhoud met $4 \times 2 = 8 = 2^3$ . Vergroten met een factor $k$ vermenigvuldigt oppervlakten met $k^2$ en nog één lengte met $k$ : inhouden groeien met de factor $k^3$ . Het bovenste stuk van vraag 12 is een verkleinde kopie van de hele piramide met $k = \frac12$ , dus is zijn inhoud $\left(\frac12\right)^3 = \frac18$ van het geheel — de verklaring in één regel.