Wiskunde basisschool en onderbouw · Grades 1–9

53Oppervlaktes en volumes

In jaar 6 maten we rechthoeken, rechthoekige driehoeken en balken (Hoofdstuk 43). Met een schaar in de hand — hier een stuk afknippen, daar weer opplakken — geven dezelfde ideeën nu de oppervlaktes van parallellogrammen, van alle driehoeken en van de schijf, en de volumes van prisma’s en cilinders.

53.1 Oppervlakte van een parallellogram

Stelling 53.1 (Parallellogram)

Een parallellogram met een zijde van lengte $b$ (de basis) en afstand $h$ tussen die zijde en de zijde ertegenover (de hoogte) heeft oppervlakte

A = b \times h .

Bewijs met de schaar. Knip aan de ene kant de rechthoekige driehoek af die uitsteekt en plak hem aan de andere kant: het parallellogram wordt een rechthoek $b \times h$ met dezelfde oppervlakte. ∎

Het bewijs met de schaar: de rode driehoek van het linkeruiteinde naar het rechteruiteinde schuiven maakt van het parallellogram een rechthoek — dezelfde oppervlakte, b × h. — Het bewijs met de schaar: de rode driehoek van het linkeruiteinde naar het rechteruiteinde schuiven maakt van het parallellogram een rechthoek — dezelfde oppervlakte, $b \times h$ .

Opmerking 53.2

De hoogte is de loodrechte afstand tussen de twee bases, en niet de lengte van de schuine zijde! Een sterk scheef parallellogram kan lange zijden en een kleine oppervlakte hebben.

53.2 Oppervlakte van een driehoek

Stelling 53.3 (Driehoek)

Een driehoek met basis $b$ en bijbehorende hoogte $h$ (de loodrechte afstand van het hoekpunt ertegenover tot de basislijn) heeft oppervlakte

A = \frac{b \times h}{2} .

Bewijs. Twee kopieën van de driehoek, waarvan er één een halve draai om het midden van een zijde gedraaid is, passen samen in een parallellogram met basis $b$ en hoogte $h$ (dat is de puntspiegeling aan het werk, Propositie 52.4). De driehoek is de helft daarvan: $\frac{bh}{2}$ . ∎

Een driehoek met zijn halfgedraaide kopie (gestippeld) vormt een parallellogram: de oppervlakte van de driehoek is b× h/2. Elk van de drie zijden kan als basis dienen — met haar eigen hoogte. — Een driehoek met zijn halfgedraaide kopie (gestippeld) vormt een parallellogram: de oppervlakte van de driehoek is $\frac{b\times h}{2}$ . Elk van de drie zijden kan als basis dienen — met *haar eigen* hoogte.

Voorbeeld 53.4

Een driehoek heeft een basis van $9$ cm en de bijbehorende hoogte meet $4$ cm:

A = \frac{9 \times 4}{2} = \frac{36}{2} = 18 \text{ cm}^2 .

Bij een rechthoekige driehoek zijn de twee rechthoekszijden een basis met haar hoogte: zo vinden we de formule van Propositie 43.6 terug.

53.3 Oppervlakte van een schijf

Stelling 53.5 (Schijf)

Een schijf met radius $r$ heeft oppervlakte

A = \pi r^2 .

Idee van het bewijs. Knip de schijf in heel veel dunne gelijke partjes en leg ze kop aan staart: ze vormen bijna een parallellogram met hoogte $r$ waarvan de basis de helft van de omtrek is, $\pi r$ (Propositie 43.3). Zijn oppervlakte ligt dicht bij $\pi r \times r = \pi r^2$ , en de benadering wordt perfect als de partjes dunner worden. Een volledig bewijs heeft integraalrekening nodig, uit het bovenbouwvolume. ∎

De schijf in partjes knippen en die uitrollen: bijna een parallellogram met basis π r (de helft van de rand) en hoogte r. — De schijf in partjes knippen en die uitrollen: bijna een parallellogram met basis $\pi r$ (de helft van de rand) en hoogte $r$ .

Voorbeeld 53.6

Een rond tafelblad heeft radius $60$ cm. Zijn oppervlakte is $\pi \times 60^2 = 3600\pi \approx 11\,310$ cm $^2$ , iets meer dan $1.1$ m $^2$ . Let op het verschil: de omtrek $2\pi r$ gebruikt $r$ , de oppervlakte $\pi r^2$ gebruikt $r^2$ .

53.4 Prisma’s en cilinders

Definitie 53.7 (Prisma, cilinder)

Een prisma is een lichaam met twee identieke parallelle veelhoekige zijvlakken (de grondvlakken), verbonden door rechthoeken; een cilinder is hetzelfde met schijven als grondvlakken. De hoogte is de afstand tussen de twee grondvlakken.

Stelling 53.8 (Volumes)

Voor een prisma of een cilinder met grondvlakoppervlakte $B$ en hoogte $h$ :

V = B \times h .

Bewijs. Op dit niveau zonder bewijs aangenomen. ∎

Voorbeeld 53.9

Een tent is een prisma dat op zijn zij ligt: haar grondvlakken zijn driehoeken met basis $2$ m en hoogte $1.5$ m, en de tent is $3$ m lang.

Oppervlakte van het grondvlak: $B = \frac{2 \times 1.5}{2} = 1.5$ m $^2$ .
Volume: $V = B \times h = 1.5 \times 3 = 4.5$ m $^3$ .

Een conservenblik met radius $4$ cm en hoogte $11$ cm: $V = \pi \times 4^2 \times 11 = 176\pi \approx 553$ cm $^3$ , ruwweg een halve liter.

53.5 Oefeningen

Oefening 53.1 ★

Reken de oppervlakte uit van een parallellogram met basis $8$ cm en hoogte $5$ cm; en van een ander met basis $6.5$ m en hoogte $4$ m.

Oplossing

Oplossing van Oefening 53.1.

$8 \times 5 = 40$ cm $^2$ ; $6.5 \times 4 = 26$ m $^2$ .

Oefening 53.2 ★

Een parallellogram heeft zijden van $10$ cm en $6$ cm, en de hoogte bij de basis van $10$ cm meet $4$ cm. Reken zijn oppervlakte uit. Waarom is het antwoord geen $60$ cm $^2$ ?

Oplossing

Oplossing van Oefening 53.2.

$A = 10 \times 4 = 40$ cm $^2$ . Het antwoord is niet $10 \times 6 = 60$ , omdat de zijde van $6$ cm schuin staat: de formule gebruikt de hoogte (de loodrechte afstand), en die is $4$ cm.

Oefening 53.3 ★

Reken de oppervlakte uit van een driehoek met basis $12$ cm en hoogte $7$ cm; van een rechthoekige driehoek met rechthoekszijden $9$ en $6$ ; en van een driehoek met basis $5.5$ m en hoogte $2$ m.

Oplossing

Oplossing van Oefening 53.3.

$\frac{12 \times 7}{2} = 42$ cm $^2$ ; $\frac{9 \times 6}{2} = 27$ ; $\frac{5.5 \times 2}{2} = 5.5$ m $^2$ .

Oefening 53.4 ★

Reken de oppervlakte uit van een schijf met radius $5$ cm, en daarna van een halve schijf met radius $10$ cm (precieze waarden met $\pi$ , en daarna afgerond op de eenheid).

Oplossing

Oplossing van Oefening 53.4.

Schijf: $\pi \times 5^2 = 25\pi \approx 79$ cm $^2$ . Halve schijf met radius $10$ : $\frac{\pi \times 10^2}{2} = 50\pi \approx 157$ cm $^2$ .

Oefening 53.5 ★

Reken de omtrek en de oppervlakte uit van een schijf met radius $3$ cm. Welk van de twee antwoorden is in cm en welk in cm $^2$ ?

Oplossing

Oplossing van Oefening 53.5.

Omtrek: $2\pi \times 3 = 6\pi \approx 18.8$ cm (een lengte, in cm). Oppervlakte: $\pi \times 3^2 = 9\pi \approx 28.3$ cm $^2$ (een oppervlak, in cm $^2$ ).

Oefening 53.6 ★

Reken het volume uit van een prisma met grondvlakoppervlakte $24$ cm $^2$ en hoogte $10$ cm; en van een cilinder met radius $3$ cm en hoogte $8$ cm (precies, en daarna afgerond).

Oplossing

Oplossing van Oefening 53.6.

Prisma: $24 \times 10 = 240$ cm $^3$ . Cilinder: $\pi \times 3^2 \times 8 = 72\pi \approx 226$ cm $^3$ .

Oefening 53.7 ★

Een driehoek heeft oppervlakte $28$ cm $^2$ en basis $8$ cm. Zoek de bijbehorende hoogte, en schrijf eerst de vergelijking op.

Oplossing

Oplossing van Oefening 53.7.

$\frac{8 \times h}{2} = 28$ , dus $4h = 28$ en $h = 7$ cm.

Oefening 53.8 ★★

Teken een willekeurige driehoek en meet zorgvuldig de drie paren basis en hoogte. Reken voor elk paar $\frac{b \times h}{2}$ uit: de drie uitkomsten moeten overeenkomen (op de meetfout na). Waarom?

Oplossing

Oplossing van Oefening 53.8.

De drie producten komen overeen omdat elk van hen dezelfde grootheid uitrekent — de oppervlakte van de driehoek. Dat geeft een praktische controle op constructies, en een manier om een hoogte uit een ander paar basis en hoogte te berekenen (gebruikt in Oefening 53.12).

Oefening 53.9 ★★

Een tuin in de vorm van een trapezium kun je met één diagonaal in twee driehoeken verdelen met dezelfde hoogte $h = 20$ m en bases $30$ m en $18$ m. Reken haar totale oppervlakte uit. Kun je een algemene formule voor het trapezium raden?

Oplossing

Oplossing van Oefening 53.9.

De twee driehoeken hebben oppervlaktes $\frac{30 \times 20}{2} = 300$ m $^2$ en $\frac{18 \times 20}{2} = 180$ m $^2$ : samen $480$ m $^2$ . De algemene formule die zich aandient: voor parallelle zijden $a$ en $b$ op afstand $h$ ,

A = \frac{(a + b) \times h}{2}

— de trapeziumformule (hier $\frac{(30+18)\times 20}{2} = 480$ ).

Oefening 53.10 ★★

Een cilindervormige vaas met radius $6$ cm bevat water tot een hoogte van $15$ cm. Al het water wordt in een lege balk met een grondvlak van $18$ cm $\times$ $12$ cm gegoten. Welke waterhoogte bereikt het daar? (Hetzelfde volume, een ander grondvlak.)

Oplossing

Oplossing van Oefening 53.10.

Watervolume: $\pi \times 6^2 \times 15 = 540\pi \approx 1\,696$ cm $^3$ . Grondvlak van de balk: $18 \times 12 = 216$ cm $^2$ . Bereikte hoogte: $\frac{540\pi}{216} = 2.5\pi \approx 7.9$ cm.

Oefening 53.11 ★★

Een pizza met diameter $30$ cm kost $9$ euro; een met diameter $40$ cm kost $14$ euro. Reken de twee oppervlaktes uit en de prijs per $100$ cm $^2$ . Welke pizza is voordeliger?

Oplossing

Oplossing van Oefening 53.11.

Radii $15$ en $20$ cm. Oppervlaktes: $225\pi \approx 707$ cm $^2$ en $400\pi \approx 1257$ cm $^2$ . Prijs per $100$ cm $^2$ : $\frac{9}{7.07} \approx 1.27$ euro en $\frac{14}{12.57} \approx 1.11$ euro. De grote pizza is voordeliger — oppervlaktes groeien met het kwadraat van de diameter.

Oefening 53.12 ★★★

De twee rechthoekszijden van een rechthoekige driehoek meten $6$ cm en $8$ cm, en zijn schuine zijde meet $10$ cm. Reken zijn oppervlakte uit met de rechthoekszijden, en gebruik die oppervlakte daarna om de hoogte bij de schuine zijde te vinden.

Oplossing

Oplossing van Oefening 53.12.

Met de rechthoekszijden: $A = \frac{6 \times 8}{2} = 24$ cm $^2$ . Met de schuine zijde als basis: $24 = \frac{10 \times h}{2} = 5h$ , dus $h = 4.8$ cm.

53.6 Opgave: het verdwenen vierkantje

Probleem 53.1

Weekendopgave — een beroemd “bewijs” dat $64 = 65$ , ontmaskerd met oppervlaktes en hellingen, met pizza’s en ringen als nagerecht

Een goochelaar knipt een vierkant van $8 \times 8$ in vier stukken, schuift ze wat heen en weer, en legt ze weer samen tot een rechthoek van $5 \times 13$ . Het publiek rekent: $8 \times 8 = 64$ , maar $5 \times 13 = 65$ — er is uit het niets een vierkantje verschenen! De oppervlakteformules van dit hoofdstuk zijn precies het gereedschap dat de truc betrapt. Daarna zet de opgave eerlijk oppervlakteredeneren aan het werk: op trapezia, op scheve stapels, op de economie van pizza’s — en tot slot komt de goochelaar terug voor een tweede, nog vreemdere voorstelling.

Deel I — De truc, uitgevoerd en ontmaskerd. De vier stukken van het vierkant $8 \times 8$ zijn: twee rechthoekige driehoeken met rechthoekszijden $8$ en $3$ , en twee rechthoekige trapezia met parallelle zijden $5$ en $3$ en hoogte $5$ .

Reken de oppervlakte van het oorspronkelijke vierkant en die van de beweerde rechthoek uit. Formuleer het schandaal in één regel.
Reken de oppervlakte van elk van de vier stukken uit (Stelling 53.3; voor de trapezia knip je ze door of gebruik je Oefening 53.9).
Tel de vier oppervlaktes op. Welke van de twee figuren — vierkant of rechthoek — kunnen de stukken echt vullen?
In de rechthoekopstelling zou de schuine zijde van een driehoek (die $3$ stijgt over $8$ ) de schuine rand van een trapezium (die $2$ stijgt over $5$ ) in één rechte “diagonaal” moeten voortzetten. Test die uitlijning: zijn $3$ over $8$ en $2$ over $5$ dezelfde steilheid (Stelling 49.3)?
Leg uit waar het vijfenzestigste vierkantje zich verstopt: welke vorm heeft het gat langs de valse diagonaal, wat is zijn precieze oppervlakte, en waarom ziet het oog het niet? (Hoe breed is een spleet met die oppervlakte gemiddeld, uitgerekt over de diagonaal van de rechthoek, die ruwweg $13$ eenheden lang is?)

Deel II — Eerlijk redeneren met oppervlaktes.

Teken twee parallelle lijnen op $4$ cm van elkaar, een basis van $6$ cm op een van de twee, en drie verschillende driehoeken op die basis met hun top op verschillende punten van de andere lijn. Reken de drie oppervlaktes uit. Waarom zijn ze allemaal gelijk, waar de top ook langs zijn lijn schuift?
Bewijs de trapeziumformule in het algemeen: een trapezium met parallelle zijden $B$ en $b$ en hoogte $h$ , langs een diagonaal geknipt, geeft twee driehoeken met dezelfde hoogte $h$ . Besluit:

$A = \frac{(B + b) \times h}{2} .$
Pas haar toe op een trapezium met $B = 9$ cm, $b = 5$ cm en $h = 4$ cm.
Schrijnwerkers gebruiken dezelfde formule vermomd: oppervlakte $=$ (gemiddelde van de twee parallelle zijden) $\times$ hoogte. Leg uit waarom dat dezelfde regel is, en reken vraag 8 zo opnieuw uit.
Kantel een nette stapel speelkaarten tot een scheve stapel. Leg uit waarom het volume niet is veranderd, en wat dat zegt over de hoogte in de prismaformule $V = B \times h$ (Stelling 53.8): welke hoogte moet je bij een scheve stapel nemen — de schuine lengte of de verticale? (Vergelijk Oefening 53.2, één dimensie hoger.)

Deel III — Ringen, pizza’s en de terugkeer van de goochelaar.

Een ronde vijver met radius $3$ m ligt in het midden van een rond grasveld met radius $5$ m. Reken de oppervlakte van de grasring uit (precies met $\pi$ , en daarna afgerond op de m $^2$ ).
Zoek de radius van de ene schijf waarvan de oppervlakte precies gelijk is aan die van de ring. (De drie radii die je nu hebt, vormen een beroemd drietal waarvan het verhaal in Hoofdstuk 58 verteld wordt.)
Wat is meer pizza: één pizza met diameter $40$ cm, of twee pizza’s met diameter $28$ cm? Reken uit en vergelijk.
Met welke factor moet de radius van een pizza ruwweg groeien om haar oppervlakte te verdubbelen? Test de kandidaat $1.4$ (denk eraan dat oppervlaktes het kwadraat van de schaalfactor volgen, Probleem 44.1), en zeg waar de precieze factor — het getal waarvan het kwadraat $2$ is — zijn officiële entree maakt (Voorbeeld 58.9).
De goochelaar komt terug: hij knipt een vierkant van $13 \times 13$ waarin de getallen $5$ , $8$ en $13$ de rollen spelen die $3$ , $5$ en $8$ eerder speelden, en legt er een rechthoek van $8 \times 21$ van. Reken beide oppervlaktes uit: wat verdwijnt er deze keer? De getallen $3, 5, 8, 13, 21$ zijn opeenvolgende termen van de rij uit Probleem 47.1 — formuleer het patroon van de winsten en verliezen van de goochelaar, en de moraal: waarom liegen oppervlaktes nooit?

Oplossing

Oplossing van Probleem 53.1.

1. Vierkant: $8 \times 8 = 64$ . Rechthoek: $5 \times 13 = 65$ . Dezelfde vier stukken lijken in de ene figuur $64$ vierkante eenheden te bedekken en in de andere $65$ : er zou dus één eenheid oppervlakte uit het niets geschapen zijn.

2. Elke driehoek: $\frac{8 \times 3}{2} = 12$ . Elk trapezium: $\frac{(5 + 3) \times 5}{2} = 20$ .

3. $12 + 12 + 20 + 20 = 64$ : de stukken zijn samen $64$ , dus kunnen ze het vierkant precies vullen — en de rechthoek van $65$ eenheden niet. In het rechthoekplaatje moet dus een gat zitten.

4. Dezelfde steilheid zou betekenen dat $3$ over $8$ evenredig is met $2$ over $5$ ; de kruisproducten: $3 \times 5 = 15$ en $2 \times 8 = 16$ . Niet gelijk: de schuine zijde en de schuine rand liggen niet in één lijn. De “diagonaal” van de rechthoek is een leugen — twee licht verschillende hellingen die onder een heel flauwe hoek samenkomen.

5. Langs de valse diagonaal laten de vier stukken een lange, extreem dunne spleet open — een spie in de vorm van een heel plat parallellogram — waarvan de oppervlakte precies de ontbrekende $65 - 64 = 1$ vierkante eenheid is. Uitgerekt over een diagonaal van ongeveer $13$ eenheden is haar gemiddelde breedte ongeveer $1 \div 13 \approx 0.08$ eenheid: op een echte tekening dunner dan de potloodstreep die haar verbergt.

6. Elke driehoek heeft basis $6$ cm en hoogte $4$ cm — de afstand tussen de parallellen, waar de top ook ligt — dus is elke oppervlakte $\frac{6 \times 4}{2} = 12$ cm $^2$ (Stelling 53.3). De top langs de parallel schuiven verandert de vorm, nooit de basis of de hoogte: eeuwig gelijke oppervlaktes.

7. De diagonaal knipt het trapezium in een driehoek met basis $B$ en een met basis $b$ , beide met hoogte $h$ (de afstand tussen de parallelle zijden):

A = \frac{B \times h}{2} + \frac{b \times h}{2} = \frac{(B + b) \times h}{2} .

8. $A = \frac{(9 + 5) \times 4}{2} = \frac{56}{2} = 28$ cm $^2$ .

9. Het gemiddelde van de parallelle zijden is $\frac{B + b}{2}$ , dus is (gemiddelde) $\times h = \frac{(B+b) \times h}{2}$ : dezelfde formule, anders gegroepeerd. Controle: gemiddelde $= \frac{9+5}{2} = 7$ , en $7 \times 4 = 28$ cm $^2$ .

10. De scheve stapel bevat precies dezelfde kaarten — dezelfde lagen, elk met dezelfde oppervlakte — en dus hetzelfde volume. In $V = B \times h$ moet de hoogte loodrecht op het grondvlak gemeten worden (de verticale hoogte van de stapel), en niet langs de schuinte: precies zoals de oppervlakte van het parallellogram de loodrechte hoogte wil en niet de schuine zijde (Oefening 53.2), één dimensie hoger.

11. Ring $= \pi \times 5^2 - \pi \times 3^2 = 25\pi - 9\pi = 16\pi \approx 50$ m $^2$ (Stelling 53.5).

12. Een schijf met oppervlakte $16\pi$ heeft radius $4$ , want $\pi \times 4^2 = 16\pi$ . De radii $3$ , $4$ en $5$ : het beroemdste drietal van de wiskunde, met een hoofdrol in Hoofdstuk 58.

13. Één pizza van $40$ cm: radius $20$ , oppervlakte $\pi \times 400 \approx 1\,257$ cm $^2$ . Twee pizza’s van $28$ cm: radius $14$ , samen $2 \times \pi \times 196 = 392\pi \approx 1\,232$ cm $^2$ . De ene grote pizza is meer pizza dan de twee middelgrote.

14. De radius met $1.4$ schalen schaalt de oppervlakte met $1.4^2 = 1.96$ — bijna het dubbele. De precieze factor is het getal waarvan het kwadraat $2$ is, ongeveer $1.414$ : het diagonaalgetal van Voorbeeld 58.9. (Vuistregel: de helft breder is bijna twee keer zo veel pizza.)

15. $13 \times 13 = 169$ , maar $8 \times 21 = 168$ : deze keer verdwijnt er een vierkante eenheid — de stukken overlappen in een dunne spie in plaats van een gat open te laten. Met de opeenvolgende termen $3, 5, 8, 13, 21$ van de rij van Hemachandra en Fibonacci wippen de producten heen en weer tussen één meer en één minder dan het kwadraat ( $5 \times 13 = 65 = 8^2 + 1$ , en dan $8 \times 21 = 168 = 13^2 - 1$ ): de goochelaar “wint” en “verliest” afwisselend een eenheid. Oppervlaktes liegen nooit: stukken die samen $64$ zijn, bedekken $64$ , waar je ze ook heen schuift — elke ontbrekende of extra eenheid zit in een spie verstopt, en wacht op een hellingcontrole om ontmaskerd te worden.