Wiskunde basisschool en onderbouw · Grades 1–9

52Puntspiegeling en parallellogrammen

Draai een figuur een halve draai om een punt: dat is de puntspiegeling, de tweede transformatie van dit boek na de spiegelingen van Hoofdstuk 42. Haar sterfiguur is het parallellogram — de vierhoek die symmetrisch is om het snijpunt van haar eigen diagonalen.

52.1 Puntspiegeling

Definitie 52.1 (Spiegelbeeld om een punt)

Het spiegelbeeld van een punt $M$ om een punt $O$ is het punt $M'$ waarvoor $O$ het midden van $[MM']$ is. De gespiegelde figuur is wat het origineel wordt na een halve draai ( $180^\circ$ ) om $O$ .

Spiegelen om O: elk punt en zijn beeld liggen met O op één lijn, aan weerszijden op gelijke afstanden (streepjes). — Spiegelen om $O$ : elk punt en zijn beeld liggen met $O$ op één lijn, aan weerszijden op gelijke afstanden (streepjes).

Methode 52.2 (Het spiegelbeeld van een punt construeren)

Om het spiegelbeeld $M'$ van $M$ om $O$ te construeren:

teken de lijn $(MO)$ en verleng haar voorbij $O$ ;
meet $MO$ (met de lat of de passer);
zet $M'$ op het verlengde met $OM' = OM$ .

Op ruitjespapier: tel de horizontale en verticale stappen van $M$ naar $O$ , en herhaal dezelfde stappen vanaf $O$ om bij $M'$ te komen.

Voorbeeld 52.3 (Op een raster)

Ligt $M$ $3$ vakjes links en $1$ vakje boven $O$ , dan ligt zijn spiegelbeeld $M'$ $3$ vakjes rechts en $1$ vakje onder $O$ : een puntspiegeling keert beide richtingen tegelijk om (een spiegeling in een lijn keert er maar één om).

Propositie 52.4 (Wat een halve draai bewaart)

Een puntspiegeling bewaart lengtes, hoeken, omtrekken en oppervlaktes; het beeld van een lijn is een parallelle lijn, het beeld van een lijnstuk is een parallel lijnstuk van dezelfde lengte, en het beeld van een cirkel is een cirkel met dezelfde radius (met het spiegelbeeld van het middelpunt als middelpunt).

Bewijs. Op dit niveau zonder bewijs aangenomen. ∎

Opmerking 52.5

Vergelijk met de spiegelingen (Propositie 42.4): beide bewaren lengtes en hoeken; maar de spiegeling klapt figuren om (een “b” wordt een “d”), terwijl de halve draai ze leesbaar houdt — op hun kop (een “b” wordt een “q”). En anders dan een spiegeling stuurt een halve draai elke lijn naar een lijn die parallel aan haar is.

Definitie 52.6 (Symmetriemiddelpunt)

Een punt $O$ is een symmetriemiddelpunt van een figuur als de halve draai om $O$ de figuur precies op zichzelf afbeeldt. Zo hebben de letters S, N en Z een symmetriemiddelpunt; een cirkel heeft er één (zijn middelpunt); een driehoek nooit.

52.2 Parallellogrammen

Definitie 52.7 (Parallellogram)

Een parallellogram is een vierhoek waarvan de diagonalen elkaar in hun gemeenschappelijke midden snijden. Dat snijpunt is dan een symmetriemiddelpunt van de figuur: elk hoekpunt is het beeld van het hoekpunt ertegenover onder de halve draai.

Stelling 52.8 (Eigenschappen van een parallellogram)

In een parallellogram $ABCD$ met middelpunt $O$ :

zijn de zijden die tegenover elkaar liggen parallel: $(AB) \parallel (CD)$ en $(BC) \parallel (AD)$ ;
hebben de zijden die tegenover elkaar liggen dezelfde lengte: $AB = CD$ en $BC = AD$ ;
zijn de hoeken die tegenover elkaar liggen gelijk: $\widehat A = \widehat C$ en $\widehat B = \widehat D$ .

Bewijs. De halve draai om $O$ stuurt $A$ naar $C$ en $B$ naar $D$ (per definitie is $O$ het midden van beide diagonalen). Ze stuurt dus het lijnstuk $[AB]$ naar het lijnstuk $[CD]$ ; volgens Propositie 52.4 is het beeld parallel aan $[AB]$ en even lang: punten 1 en 2. Ze stuurt ook de hoek in $A$ naar de hoek in $C$ , en hoeken blijven bewaard: punt 3. ∎

Een parallellogram met zijn middelpunt O: de diagonalen (rood) snijden elkaar in hun middens, en de zijden die tegenover elkaar liggen zijn parallel en even lang (streepjes). — Een parallellogram met zijn middelpunt $O$ : de diagonalen (rood) snijden elkaar in hun middens, en de zijden die tegenover elkaar liggen zijn parallel en even lang (streepjes).

Stelling 52.9 (Een parallellogram herkennen)

Een vierhoek (zonder kruisende zijden) is al een parallellogram zodra één van de volgende dingen geldt:

zijn diagonalen hebben hetzelfde midden (de definitie);
de zijden die tegenover elkaar liggen zijn twee aan twee parallel;
twee zijden die tegenover elkaar liggen zijn parallel en even lang.

Bewijs. Op dit niveau zonder bewijs aangenomen. ∎

Voorbeeld 52.10

Van $ABCD$ is gegeven dat $(AB) \parallel (CD)$ en $AB = CD = 5$ cm. Criterium 3 geldt: $ABCD$ is een parallellogram — en dus weten we zonder verder te meten ook dat $AD = BC$ , dat $(AD) \parallel (BC)$ , en dat zijn diagonalen elkaar middendoor snijden.

Opmerking 52.11 (Bijzondere parallellogrammen)

De rechthoek, de ruit en het vierkant van Hoofdstuk 41 zijn precies de parallellogrammen met een extra eigenschap: gelijke diagonalen (rechthoek), loodrechte diagonalen (ruit), of beide (vierkant). Het hoekargument dat in Voorbeeld 41.6 beloofd werd, werkt nu: in een parallellogram zijn opeenvolgende hoeken supplementair (verwisselende en overeenkomstige hoeken bij de parallellen, Stelling 51.2), dus dwingt één rechte hoek alle vier.

52.3 Oefeningen

Oefening 52.1 ★

Zet op ruitjespapier $O$ , en daarna $M$ vier vakjes rechts van $O$ en één vakje hoger. Construeer het spiegelbeeld $M'$ van $M$ om $O$ , en het spiegelbeeld van $M$ in de verticale rasterlijn door $O$ . Vergelijk de twee beelden.

Oplossing

Oplossing van Oefening 52.1.

Het beeld onder de halve draai: $M'$ ligt vier vakjes links van $O$ en één vakje lager (beide richtingen omgekeerd). Het spiegelbeeld in de verticale lijn: vier vakjes links, maar nog steeds één vakje hoger. De twee beelden verschillen: ze zijn verticale spiegelbeelden van elkaar.

Oefening 52.2 ★

Teken een driehoek $ABC$ en een punt $O$ erbuiten. Construeer zijn beeld $A'B'C'$ onder de halve draai om $O$ . Wat kun je zeggen over de lengtes $A'B'$ en $AB$ ? En over de lijnen $(A'B')$ en $(AB)$ ?

Oplossing

Oplossing van Oefening 52.2.

$A'B' = AB$ (halve draaien bewaren lengtes) en $(A'B') \parallel (AB)$ (het beeld van een lijn is een parallelle lijn, Propositie 52.4).

Oefening 52.3 ★

Welke cijfers, geschreven zoals op een rekenmachinedisplay ( $0$ tot $9$ ), hebben een symmetriemiddelpunt? En welke hoofdletters van H, A, N, S, T, Z, O?

Oplossing

Oplossing van Oefening 52.3.

Cijfers op een display met een symmetriemiddelpunt: $0$ , $2$ , $5$ , $8$ (en $1$ als je hem als een streepje tekent). Letters: H, N, S, Z en O hebben er een; A en T niet (die hebben in plaats daarvan een as).

Oefening 52.4 ★

$KLMN$ is een parallellogram met middelpunt $O$ , waarbij $KL = 7$ cm, $LM = 4$ cm en $\widehat K = 115^\circ$ . Geef, met redenen: $MN$ , $NK$ , $\widehat M$ , en het midden van $[LN]$ .

Oplossing

Oplossing van Oefening 52.4.

De zijden die tegenover elkaar liggen zijn gelijk: $MN = KL = 7$ cm en $NK = LM = 4$ cm. De hoeken die tegenover elkaar liggen zijn gelijk: $\widehat M = \widehat K = 115^\circ$ . De diagonalen snijden elkaar in hun gemeenschappelijke midden, en dat punt is $O$ : het midden van $[LN]$ is $O$ .

Oefening 52.5 ★

Construeer een parallellogram $ABCD$ uit zijn diagonalen: $AC = 8$ cm en $BD = 5$ cm, die elkaar in hun middens snijden onder een hoek van $60^\circ$ . (Teken eerst de diagonalen!)

Oplossing

Oplossing van Oefening 52.5.

Teken een lijnstuk $[AC]$ van $8$ cm, zet zijn midden $O$ , teken door $O$ een lijn die $60^\circ$ met $(AC)$ maakt, en zet $B$ en $D$ erop op $2.5$ cm van $O$ , aan elke kant één. Verbind $A$ , $B$ , $C$ en $D$ : de diagonalen snijden elkaar in hun middens, dus is $ABCD$ per definitie een parallellogram.

Oefening 52.6 ★

In een parallellogram meet één hoek $115^\circ$ . Geef met de opmerking over supplementaire opeenvolgende hoeken de drie andere hoeken.

Oplossing

Oplossing van Oefening 52.6.

Opeenvolgende hoeken zijn supplementair: naast $115^\circ$ ligt $180 - 115 = 65^\circ$ . De hoeken die tegenover elkaar liggen zijn gelijk, dus zijn de vier hoeken $115^\circ$ , $65^\circ$ , $115^\circ$ en $65^\circ$ (samen $360^\circ$ ).

Oefening 52.7 ★★

Zet $A(1, 1)$ , $B(4, 2)$ en het punt $O(2.5, 2.5)$ in een assenstelsel. Reken de coördinaten uit van de beelden $A'$ en $B'$ onder de halve draai om $O$ (gebruik het tellen op het raster van Voorbeeld 52.3).

Oplossing

Oplossing van Oefening 52.7.

Van $A(1,1)$ naar $O(2.5, 2.5)$ : $1.5$ naar rechts en $1.5$ naar boven; nog eens hetzelfde geeft $A'(4, 4)$ . Van $B(4,2)$ naar $O$ : $1.5$ naar links en $0.5$ naar boven; nog eens geeft $B'(1, 3)$ .

Oefening 52.8 ★★

$ABCD$ is een vierhoek waarin $AB = CD$ . Is dat genoeg om er een parallellogram van te maken? Zo niet, schets dan een tegenvoorbeeld (een gelijkbenig trapezium helpt) en zeg wat er aan de veronderstelling toegevoegd moet worden.

Oplossing

Oplossing van Oefening 52.8.

Nee. Een gelijkbenig trapezium heeft twee gelijke schuine zijden zonder een parallellogram te zijn (de twee parallelle zijden hebben verschillende lengtes). Wat wel volstaat, is criterium 3 van Stelling 52.9: twee zijden die tegenover elkaar liggen even lang én parallel.

Oefening 52.9 ★★

Zij $ABC$ een driehoek en $O$ het midden van $[BC]$ . Construeer het spiegelbeeld $A'$ van $A$ om $O$ . Laat zien dat $ABA'C$ een parallellogram is. (Welk criterium van Stelling 52.9 krijg je hier gratis?)

Oplossing

Oplossing van Oefening 52.9.

$O$ is per keuze het midden van $[BC]$ , en het is het midden van $[AA']$ door de constructie van het spiegelbeeld. De vierhoek $ABA'C$ heeft diagonalen $[AA']$ en $[BC]$ die het midden $O$ delen: criterium 1 (de definitie) maakt er gratis een parallellogram van.

Oefening 52.10 ★★

Waar of niet waar, met een reden: “een vierhoek waarvan de hoeken die tegenover elkaar liggen twee aan twee gelijk zijn, is een parallellogram”; “een parallellogram met loodrechte diagonalen is een ruit”; “een parallellogram met één rechte hoek is een rechthoek”.

Oplossing

Oplossing van Oefening 52.10.

“Hoeken tegenover elkaar gelijk $\Rightarrow$ parallellogram”: waar (dat is nog een herkenningscriterium; met de hoekensom $360^\circ$ dwingen gelijke paren tegenover elkaar supplementaire opeenvolgende hoeken af, en dus parallelle zijden volgens Stelling 51.2).

“Loodrechte diagonalen $\Rightarrow$ ruit”: waar voor een parallellogram (de diagonalen snijden elkaar al in hun middens).

“Eén rechte hoek $\Rightarrow$ rechthoek”: waar — opeenvolgende hoeken zijn supplementair, dus worden alle vier recht.

Oefening 52.11 ★★★

Zij $ABCD$ een willekeurige vierhoek en $I$ , $J$ , $K$ , $L$ de middens van zijn zijden $[AB]$ , $[BC]$ , $[CD]$ en $[DA]$ . Teken verschillende voorbeelden. Wat lijkt $IJKL$ altijd te zijn? (Het bewijs, met de middenparallelstelling, komt in Hoofdstuk 59 — en nog eens met vectoren, in het bovenbouwvolume.)

Oplossing

Oplossing van Oefening 52.11.

Wat de vierhoek ook is — zelfs een heel onregelmatige — de middens $I$ , $J$ , $K$ en $L$ vormen altijd een parallellogram. Het bewijs met de middenparallelstelling staat in Hoofdstuk 59 (Oefening 59.9).

52.4 Opgave: de cake, de zwaartelijn en het onmogelijke tweede middelpunt

Probleem 52.1

Weekendopgave — halve draaien aan het werk: eerlijke cakesneden, een grens voor zwaartelijnen, en waarom geen figuur twee symmetriemiddelpunten kan hebben

De halve draai lijkt de eenvoudigste van alle transformaties — en toch snijdt hij cakes in bewijsbaar eerlijke helften, meet hij de zwaartelijnen van een driehoek, en bergt hij een pareltje pure wiskunde: een begrensde figuur kan één symmetriemiddelpunt hebben, maar nooit twee. Het bewijs gebruikt een ontdekking die je in deel I doet: twee halve draaien, de een na de ander, komen samen neer op een verschuiving.

Deel I — Gymnastiek met halve draaien.

Neem op ruitjespapier de oorsprong $O(0, 0)$ als middelpunt. Geef met het tellen op het raster van Voorbeeld 52.3 de beelden van $M(3, 1)$ , $N(-2, 4)$ en $P(0, -5)$ onder de halve draai om $O$ . Wat is de algemene regel voor $(x, y)$ ?
Nu is het middelpunt $C(2, 1)$ . Reken het beeld van $M(5, 3)$ uit, en controleer het algemene recept: elke coördinaat van het beeld is twee keer die van het middelpunt min die van het punt.
Speelkaarten zijn zo ontworpen dat ze op hun kop hetzelfde lezen — een puntspiegeling, zodat geen van beide spelers de kaart “verkeerd” ziet. Leg uit waarom op een kaart met een oneven aantal symbolen één symbool precies in het middelpunt van de kaart moet liggen.
Twee halve draaien op een rij: neem de middelpunten $O_1(2, 0)$ en $O_2(5, 0)$ . Stuur het punt $A(1, 1)$ door de halve draai om $O_1$ , en stuur het beeld daarna door de halve draai om $O_2$ . Vergelijk begin en einde. Herhaal met $B(0, 3)$ . Op welke enkele, eenvoudige transformatie kwamen de twee halve draaien samen neer?
Meet de verschuiving van vraag 4 af tegen de afstand $O_1 O_2$ en formuleer de ontdekking. (Vergelijk met de twee parallelle spiegels van Probleem 42.1: hetzelfde verschijnsel, nieuwe spelers.)

Deel II — Cakes en zwaartelijnen.

Zij $O$ het middelpunt van een parallellogram. Leg uit waarom elke lijn door $O$ de rand in twee punten snijdt die spiegelbeelden om $O$ zijn, en waarom de lijn het parallellogram in twee stukken verdeelt die precies elkaars beeld onder de halve draai zijn — en dus dezelfde oppervlakte hebben.
De stelling van de bakker: een rechthoekige cake wordt volmaakt eerlijk verdeeld door elke rechte snede door zijn middelpunt. Sterker nog: een rechthoekige cake heeft een rechthoekig gat (elke maat, elke plaats, zelfs schuin). Beschrijf de ene rechte snede die twee delen met even veel cake geeft — en verantwoord haar met vraag 6.
Drie hoekpunten van een parallellogram $ABCD$ zijn $A(0, 0)$ , $B(6, 1)$ en $C(8, 5)$ . Reken de coördinaten van $D$ en van het middelpunt $O$ uit.
Oefening 52.9 bouwde uit een driehoek $ABC$ en het midden $O$ van $[BC]$ het parallellogram $ABA'C$ , waarbij $A'$ het spiegelbeeld van $A$ om $O$ is. Gebruik dat, samen met de driehoeksongelijkheid (Stelling 51.6) in de driehoek $ABA'$ , om de grens voor de zwaartelijn te bewijzen: de zwaartelijn $[AO]$ voldoet aan

$AO < \frac{AB + AC}{2} .$

(Merk op dat $AA' = 2\,AO$ en $BA' = AC$ .)
Tussen welke twee waarden moet in een driehoek met $AB = 5$ cm en $AC = 7$ cm de lengte van de zwaartelijn uit $A$ liggen? (Gebruik beide richtingen van de driehoeksongelijkheid in $ABA'$ .)

Deel III — Hoeveel middelpunten kan een figuur hebben?

Zeg van elke figuur of ze een symmetriemiddelpunt heeft, en waar: een lijnstuk; een volledige lijn; een gelijkzijdige driehoek; een vierkant; een cirkel; de letters S en Z.
Bewijs je bewering voor de gelijkzijdige driehoek: een halve draai die de driehoek op zichzelf afbeeldt, zou de drie hoekpunten in paren zetten — maar drie is oneven, dus zou een hoekpunt naar zichzelf gestuurd worden. Wat zou dat hoekpunt dan moeten zijn, en waarom is dat onmogelijk?
Veralgemeen vraag 12: leg uit waarom geen veelhoek met een oneven aantal hoekpunten een symmetriemiddelpunt heeft.
De parel: stel dat een figuur twee verschillende symmetriemiddelpunten $O_1$ en $O_2$ had. Voer de twee halve draaien na elkaar uit en gebruik de ontdekking van vraag 5: welke beweging zou de figuur dan precies op zichzelf moeten afbeelden? Leg uit waarom een figuur die op een blad papier past dat niet kan overleven, en besluit.
De conclusie van vraag 14 laat een achterdeurtje open: onbegrensde figuren. Ga op een oneindige fries — bijvoorbeeld een eindeloze strook voetstappen, links, rechts, links, rechts … — na dat ze (minstens) twee verschillende symmetriemiddelpunten heeft, en wijs de verschuiving aan die vraag 14 voorspelde.

Oplossing

Oplossing van Probleem 52.1.

1. $M(3, 1) \to (-3, -1)$ ; $N(-2, 4) \to (2, -4)$ ; $P(0, -5) \to (0, 5)$ . Regel: de halve draai om de oorsprong stuurt $(x, y)$ naar $(-x, -y)$ — beide coördinaten wisselen van teken.

2. Vanaf $M(5, 3)$ : drie vakjes rechts van $C$ wordt drie vakjes links, twee omhoog wordt twee omlaag: het beeld is $(-1, -1)$ . Controle met het recept: twee keer het middelpunt min het punt, $(2 \times 2 - 5,\ 2 \times 1 - 3) = (-1, -1)$ .

3. De halve draai om het middelpunt van de kaart wisselt de symbolen in paren om. Bij een oneven aantal symbolen heeft één symbool geen partner: het moet zijn eigen beeld zijn, en het enige punt dat zijn eigen beeld is, is het middelpunt zelf. Het middelste symbool van de 3, de 5, de 7 … ligt dus precies in het midden (kijk naar een echte kaart: het klopt).

4. Om $O_1(2,0)$ : $A(1,1) \to (3,-1)$ ; om $O_2(5,0)$ : $(3,-1) \to (7,1)$ . Begin $A(1,1)$ , einde $(7,1)$ : $6$ naar rechts geschoven, niet omgeklapt. Net zo voor $B(0,3) \to (4,-3) \to (6,3)$ : $6$ naar rechts. De twee halve draaien komen neer op een verschuiving.

5. De verschuiving is $6$ , en $O_1 O_2 = 3$ : de verschuiving legt twee keer de afstand tussen de middelpunten af (in de richting van $O_1$ naar $O_2$ ) — net zoals twee parallelle spiegels in Probleem 42.1 over twee keer hun tussenafstand verschoven.

6. De halve draai om $O$ beeldt het parallellogram op zichzelf af (dat is wat “symmetriemiddelpunt” er voor betekent, Stelling 52.8). Een lijn door $O$ wordt ook op zichzelf afgebeeld, dus wisselen de twee punten waar ze de rand snijdt met elkaar om: ze zijn spiegelbeelden om $O$ . De twee stukken van het parallellogram aan weerszijden van de lijn wisselen ook om, en zijn dus precies elkaars kopie (Propositie 52.4) — gelijke oppervlaktes.

7. Snijd langs de lijn door de twee middelpunten: het middelpunt van de rechthoekige cake en het middelpunt van het gat. Volgens vraag 6, toegepast op de cakerechthoek, halveert de snede de cake; toegepast op de gatrechthoek (de lijn gaat ook door haar middelpunt) halveert ze het gat. Elk deel krijgt de helft van de cake min de helft van het gat: volmaakt eerlijk.

8. $D = (0 + 8 - 6,\ 0 + 5 - 1) = (2, 4)$ (de diagonalen delen hun midden, dus is $D$ het beeld van $B$ onder de halve draai om het middelpunt). Middelpunt: het midden van $[AC]$ , dus $O(4,\ 2.5)$ .

9. In het parallellogram $ABA'C$ zijn de zijden die tegenover elkaar liggen gelijk: $BA' = AC$ . De driehoeksongelijkheid in $ABA'$ geeft $AA' < AB + BA' = AB + AC$ . Omdat $O$ het midden van $[AA']$ is, is $AA' = 2\,AO$ , dus $2\,AO < AB + AC$ , en dus $AO < \frac{AB + AC}{2}$ .

10. Bovengrens: $AO < \frac{5 + 7}{2} = 6$ cm. Ondergrens: in $ABA'$ is $AA' > BA' - AB = 7 - 5 = 2$ , dus $AO > 1$ cm. De zwaartelijn uit $A$ ligt strikt tussen $1$ en $6$ cm.

11. Lijnstuk: ja, zijn midden. Lijn: ja — elk van haar punten is een middelpunt. Gelijkzijdige driehoek: geen. Vierkant: ja, het snijpunt van de diagonalen. Cirkel: ja, zijn middelpunt. S en Z: ja, hun middelpunt (draai de bladzijde om: ze lezen hetzelfde).

12. De halve draai zou de drie hoekpunten onder elkaar in paren zetten; omdat drie oneven is, zou één hoekpunt $A$ zijn eigen beeld zijn, en dan moet $A$ het middelpunt van de halve draai zijn. De twee andere hoekpunten $B$ en $C$ zouden dan spiegelbeelden om $A$ zijn — dus zou $A$ het midden van $[BC]$ zijn, en zouden de drie hoekpunten op één lijn liggen. Een driehoek heeft geen drie hoekpunten op één lijn: tegenspraak. Er bestaat dus geen middelpunt.

13. Hetzelfde pariteitsargument: een halve draai die de veelhoek bewaart, zet haar hoekpunten in paren; een oneven aantal hoekpunten dwingt een vast hoekpunt af, dat het middelpunt moet zijn en tevens het midden van het lijnstuk tussen twee andere hoekpunten — drie hoekpunten op één lijn, onmogelijk in een veelhoek … dus heeft geen veelhoek met een oneven aantal hoekpunten een symmetriemiddelpunt.

14. De halve draai om $O_1$ en daarna die om $O_2$ beelden de figuur beide op zichzelf af — dus doet hun samenstelling dat ook. Volgens vraag 5 is die samenstelling een verschuiving over twee keer de afstand $O_1 O_2$ , en die is niet nul omdat de middelpunten verschillen. Een figuur die op een blad past, kan niet gelijk zijn aan zichzelf over een vaste afstand verschoven (schuif haar vaak genoeg en ze verlaat het blad volledig). Een begrensde figuur heeft dus hoogstens één symmetriemiddelpunt.

15. Op de eindeloze strook beeldt een halve draai om het punt halverwege tussen een linkervoetstap en de volgende rechtervoetstap het patroon op zichzelf af; het punt één volle stap verder doet dat ook: twee verschillende middelpunten. De twee halve draaien samenstellen geeft de verschuiving over twee keer die halve stap — precies de verschuiving van één stap die de oneindige fries zichtbaar op zichzelf afbeeldt, zoals vraag 14 voorspelt. Onbegrensde patronen leven volgens andere regels: dat is de wiskunde van het behangpapier.