Wiskunde basisschool en onderbouw · Grades 1–9

59Middens en parallellen

Verbind de middens van twee zijden van een driehoek: het lijnstuk dat je krijgt is altijd parallel met de derde zijde, en precies half zo lang. Deze “middenparallelstelling” en haar omgekeerde zijn de eerste voorsmaak van een groot idee — parallellen verdelen lengten in gelijke verhoudingen — dat in Hoofdstuk 68 uitgroeit tot de stelling van Thales.

59.1 De middenparallelstelling

Stelling 59.1 (Middenparallelstelling)

Zij in een driehoek $ABC$ het punt $I$ het midden van $[AB]$ en $J$ het midden van $[AC]$ . Dan is de lijn $(IJ)$ parallel met $(BC)$ , en

IJ = \frac{BC}{2} .

Idee van het bewijs. Zij $K$ het beeld van $I$ door de puntspiegeling om $J$ (een halve draai, Hoofdstuk 52). In de vierhoek $AICK$ snijden de diagonalen $[IK]$ en $[AC]$ elkaar in hun gemeenschappelijke midden $J$ : het is dus een parallellogram, zodat $KC$ parallel is met $AI$ , dat wil zeggen met $(AB)$ , en $KC = AI = IB$ . Dan heeft $IBCK$ twee overstaande zijden ( $[IB]$ en $[KC]$ ) die parallel en gelijk zijn: ook dat is een parallellogram (Stelling 52.9), dus is $(IK) \parallel (BC)$ — dat is $(IJ) \parallel (BC)$ — en $BC = IK = 2\,IJ$ . ∎

De middenparallel [IJ] (rood) is parallel met de derde zijde (BC) en half zo lang. — De middenparallel $[IJ]$ (rood) is parallel met de derde zijde $(BC)$ en half zo lang.

Voorbeeld 59.2

In een driehoek $ABC$ met $BC = 9$ cm worden de middens $I$ van $[AB]$ en $J$ van $[AC]$ verbonden. Zonder één meting: $(IJ) \parallel (BC)$ en $IJ = \frac92 = 4.5$ cm. De kleine driehoek $AIJ$ is een op halve grootte verkleinde kopie van $ABC$ — ook zijn omtrek is de helft van de omtrek van $ABC$ .

Stelling 59.3 (Omgekeerde stelling)

In een driehoek $ABC$ snijdt de lijn door het midden $I$ van $[AB]$ die parallel is met $(BC)$ , de zijde $[AC]$ in haar midden.

Bewijs. Op dit niveau zonder bewijs aangenomen. ∎

Voorbeeld 59.4

Een pad steekt een driehoekig veld over, begint midden op de ene rand en loopt parallel met de overstaande rand. De omgekeerde stelling waarborgt dat het pad precies midden op de andere rand buitenkomt — aan de overkant hoeft niets gemeten te worden.

Methode 59.5 (Kiezen tussen stelling en omgekeerde)

Twee middens bekend $\Rightarrow$ gebruik de rechtstreekse stelling: besluit tot parallellisme en halve lengte.
Eén midden en een parallel bekend $\Rightarrow$ gebruik de omgekeerde: besluit dat het snijpunt een midden is.
Schrijf op welke driehoek, welke middens en welke stelling je gebruikt — telkens één zin.

59.2 Driehoeken op halve grootte

Propositie 59.6 (De middendriehoek)

Het verbinden van de drie middens van de zijden van een driehoek verdeelt hem in vier driehoeken met gelijke oppervlakte, elk een op halve grootte verkleinde kopie van de oorspronkelijke.

Bewijs. Elke zijde van de middendriehoek is parallel met een zijde van $ABC$ en half zo lang (Stelling 59.1, drie keer toegepast). De vier kleine driehoeken hebben zijden met diezelfde drie lengten, dus zijn het identieke kopieën; samen betegelen ze $ABC$ , dus heeft elk een kwart van zijn oppervlakte. ∎

De middendriehoek IJK verdeelt ABC in vier gelijke driehoeken — een tekening om te onthouden. — De middendriehoek $IJK$ verdeelt $ABC$ in vier gelijke driehoeken — een tekening om te onthouden.

Opmerking 59.7 (Op weg naar Thales)

De middenparallelstelling is het geval “één helft” van een algemener feit: een lijn parallel met één zijde van een driehoek verdeelt de twee andere zijden in gelijke verhoudingen — een derde en een derde, twee vijfde en twee vijfde … Die algemene uitspraak is de stelling van Thales (Hoofdstuk 68); dit jaar heb je alleen het geval van de middens nodig.

59.3 Oefeningen

Oefening 59.1 ★

In een driehoek $RST$ is $M$ het midden van $[RS]$ en $N$ het midden van $[RT]$ , met $ST = 7$ cm. Wat kun je zeggen over de lijn $(MN)$ en over de lengte $MN$ ? Noem de gebruikte stelling.

Oplossing

Oplossing van Oefening 59.1.

$M$ en $N$ zijn de middens van twee zijden van de driehoek $RST$ : volgens de middenparallelstelling (Stelling 59.1) is $(MN) \parallel (ST)$ en $MN = \frac{ST}{2} = 3.5$ cm.

Oefening 59.2 ★

In een driehoek $ABC$ is $I$ het midden van $[AB]$ , en de lijn door $I$ parallel met $(BC)$ snijdt $[AC]$ in $J$ ; verder is $AC = 11$ cm. Bereken $AJ$ en noem de gebruikte stelling.

Oplossing

Oplossing van Oefening 59.2.

$I$ is een midden en $(IJ) \parallel (BC)$ : volgens de omgekeerde stelling (Stelling 59.3) is $J$ het midden van $[AC]$ , dus $AJ = \frac{11}{2} = 5.5$ cm.

Oefening 59.3 ★

Teken een driehoek $ABC$ met $AB = 8$ cm, $AC = 6$ cm en $BC = 7$ cm, zet de middens $I$ van $[AB]$ en $J$ van $[AC]$ , en meet $IJ$ om de stelling na te gaan. Bereken de omtrek van $AIJ$ zonder nog iets anders te meten.

Oplossing

Oplossing van Oefening 59.3.

De meting geeft $IJ = 3.5$ cm $= \frac{BC}{2}$ . Omtrek van $AIJ$ : $AI = 4$ , $AJ = 3$ , $IJ = 3.5$ , samen $10.5$ cm — de helft van de omtrek van $ABC$ ( $8 + 6 + 7 = 21$ cm).

Oefening 59.4 ★

$IJK$ is de middendriehoek van $ABC$ , waarvan de zijden $10$ , $12$ en $16$ cm meten. Geef de drie zijden van $IJK$ en zijn omtrek. Hoe verhouden de twee omtrekken zich?

Oplossing

Oplossing van Oefening 59.4.

Elke zijde van $IJK$ is de helft van een zijde van $ABC$ : $5$ , $6$ en $8$ cm. Omtrek: $19$ cm, de helft van $10 + 12 + 16 = 38$ cm.

Oefening 59.5 ★

De oppervlakte van een driehoek is $36$ cm $^2$ . Wat is de oppervlakte van zijn middendriehoek? En van elk van de vier kleine driehoeken?

Oplossing

Oplossing van Oefening 59.5.

De middendriehoek is een van de vier gelijke driehoeken van Propositie 59.6: oppervlakte $\frac{36}{4} = 9$ cm $^2$ — en elk van de vier kleine driehoeken heeft oppervlakte $9$ cm $^2$ .

Oefening 59.6 ★★

In een driehoek $ABC$ is $I$ het midden van $[AB]$ , $J$ dat van $[AC]$ en $K$ dat van $[BC]$ . Toon aan dat $IJKB$ een parallellogram is. (Vergelijk $[IJ]$ en $[BK]$ : parallel? gelijk?)

Oplossing

Oplossing van Oefening 59.6.

Volgens de middenparallelstelling in $ABC$ : $(IJ) \parallel (BC)$ , dat wil zeggen $(IJ) \parallel (BK)$ , en $IJ = \frac{BC}{2} = BK$ (want $K$ is het midden van $[BC]$ ). Twee overstaande zijden van $IJKB$ zijn parallel en gelijk: het is een parallellogram (Stelling 52.9, kenmerk 3).

Oefening 59.7 ★★

Een driehoekig zeil heeft een onderrand van $6.4$ m. Een versterkingsnaad verbindt de middens van de twee andere randen. Hoeveel naad is er nodig? En als de naad in de plaats daarvan de punten op een kwart van elke rand verbindt, gerekend vanaf het bovenste hoekpunt? (Vermoed het met een tekening; het bewijs is dat van Thales, Hoofdstuk 68.)

Oplossing

Oplossing van Oefening 59.7.

De naad verbindt twee middens: $\frac{6.4}{2} = 3.2$ m. Op een kwart vanaf het bovenste hoekpunt suggereert de tekening een naad van $\frac{6.4}{4} = 1.6$ m, parallel met de basis — wat Thales in Hoofdstuk 68 bevestigt.

Oefening 59.8 ★★

In de driehoek $ABC$ , rechthoekig in $A$ , is $M$ het midden van de schuine zijde $[BC]$ , en de parallel met $(AB)$ door $M$ ontmoet $[AC]$ in $N$ .

Toon aan dat $N$ het midden van $[AC]$ is.
Leg uit waarom $(MN)$ loodrecht op $(AC)$ staat.

Oplossing

Oplossing van Oefening 59.8.

1. $M$ is het midden van $[BC]$ en $(MN) \parallel (AB)$ : volgens de omgekeerde middenparallelstelling (in de driehoek $ABC$ , zijde $[AC]$ ) is $N$ het midden van $[AC]$ .

2. $(MN) \parallel (AB)$ en $(AB) \perp (AC)$ (rechte hoek in $A$ ): een lijn parallel met $(AB)$ staat ook loodrecht op $(AC)$ (Propositie 40.3). Dus is $(MN) \perp (AC)$ — het lijnstuk $[MN]$ ligt op de middelloodlijn van $[AC]$ , wat nog eens laat zien dat $MA = MC$ (Stelling 60.1).

Oefening 59.9 ★★★

Zij $ABCD$ een willekeurige vierhoek, en $I$ , $J$ , $K$ , $L$ de middens van $[AB]$ , $[BC]$ , $[CD]$ , $[DA]$ (het vermoeden van Oefening 52.11).

Pas de middenparallelstelling toe in de driehoek $ABC$ op het lijnstuk $[IJ]$ , en in de driehoek $ACD$ op het lijnstuk $[LK]$ : vergelijk elk met de diagonaal $[AC]$ .
Besluit dat $IJKL$ altijd een parallellogram is.

Oplossing

Oplossing van Oefening 59.9.

1. In de driehoek $ABC$ zijn $I$ en $J$ de middens van $[AB]$ en $[BC]$ : $(IJ) \parallel (AC)$ en $IJ = \frac{AC}{2}$ . In de driehoek $ACD$ zijn $L$ en $K$ de middens van $[DA]$ en $[CD]$ : $(LK) \parallel (AC)$ en $LK = \frac{AC}{2}$ .

2. Dus zijn $[IJ]$ en $[LK]$ parallel (beide parallel met de diagonaal $(AC)$ ) en gelijk (beide de helft van $AC$ ): $IJKL$ is een parallellogram (Stelling 52.9, kenmerk 3) — voor elke vierhoek $ABCD$ , zoals in Oefening 52.11 werd vermoed.

59.4 Opgave: de drie zwaartelijnen en het zwaartepunt

Probleem 59.1

Weekendopgave — de zwaartelijnen van een driehoek gaan door één punt, op twee derde van elk van hen

Knip een driehoek uit stevig karton en hij balanceert, volkomen vlak, op een punt van een potlood dat op één bijzonder punt staat: het zwaartepunt van de driehoek. Deze opgave zoekt dat punt. Een zwaartelijn van een driehoek is het lijnstuk dat een hoekpunt met het midden van de overstaande zijde verbindt. Je zult bewijzen — met de middenparallelstelling, twee keer gebruikt op een onverwachte manier — dat de drie zwaartelijnen alle door één punt gaan, en je zult dat punt precies aanwijzen.

Deel I — Opwarming.

Teken een grote driehoek $ABC$ (geen bijzondere vorm), construeer de middens $I$ van $[AB]$ , $J$ van $[AC]$ en $K$ van $[BC]$ , en teken de drie zwaartelijnen $[AK]$ , $[BJ]$ , $[CI]$ . Wat neem je waar?
Bewijs dat een zwaartelijn de driehoek in twee driehoeken met gelijke oppervlakte verdeelt. (Vergelijk basissen en hoogten, en gebruik de formule voor de oppervlakte: basis $\times$ hoogte $\div\ 2$ .) Wat zijn voor een driehoek met oppervlakte $36$ cm $^2$ de oppervlakten van de twee stukken?
Wat zegt Stelling 59.1 in de driehoek $ABC$ over het lijnstuk $[IJ]$ ?

Deel II — Twee zwaartelijnen snijden elkaar op twee derde. De zwaartelijnen $[BJ]$ en $[CI]$ snijden elkaar in een punt; noem het $G$ . Zij $M$ het midden van $[GB]$ en $N$ het midden van $[GC]$ .

Pas de middenparallelstelling toe in de driehoek $GBC$ : wat zegt ze over het lijnstuk $[MN]$ ?
Leid af dat $(IJ) \parallel (MN)$ en $IJ = MN$ , en besluit met Stelling 52.9 dat $IJNM$ een parallellogram is.
Leg uit waarom $I$ en $N$ beide op de zwaartelijn $(CI)$ liggen, en $J$ en $M$ beide op de zwaartelijn $(BJ)$ — zodat de diagonalen van het parallellogram $IJNM$ de lijnstukken $[IN]$ en $[JM]$ zijn, en ze elkaar precies in $G$ snijden. Wat zegt de definitie van een parallellogram dan over $G$ ?
Leid af dat $BM = MG = GJ$ , en besluit:

$BG = 2 \times GJ$

— het punt $G$ ligt op de zwaartelijn $[BJ]$ op twee derde van de weg vanaf het hoekpunt $B$ . Formuleer en verantwoord het overeenkomstige resultaat op de zwaartelijn $[CI]$ .
Vergeet nu $[CI]$ en voer precies hetzelfde betoog uit voor het paar zwaartelijnen $[BJ]$ en $[AK]$ : ook hun snijpunt ligt op twee derde van $[BJ]$ vanaf $B$ . Leg uit waarom dat dwingt dat het hetzelfde punt $G$ is — en besluit dat alle drie de zwaartelijnen door $G$ gaan.
Hoe ver ligt $G$ van $B$ , en van $J$ , in een driehoek waarvan de zwaartelijn $[BJ]$ $9$ cm meet?
Verantwoord in één zin dat ook $AG = 2 \times GK$ .

Deel III — Zes gelijke stukken, en coördinaten. De drie zwaartelijnen verdelen de driehoek in zes kleine driehoeken rond $G$ .

In de driehoek $GBC$ is het lijnstuk $[GK]$ een zwaartelijn. Leid af dat de twee kleine driehoeken $GBK$ en $GKC$ gelijke oppervlakte hebben.
Toon met vraag 2 in de driehoeken $ABK$ en $AKC$ (beide verdeeld door de zwaartelijn $[AK]$ van $ABC$ ) aan dat de driehoeken $ABG$ en $ACG$ gelijke oppervlakte hebben. Herhaal met een andere zwaartelijn en besluit dat de drie driehoeken $ABG$ , $BCG$ , $CAG$ alle een oppervlakte hebben die een derde is van die van $ABC$ .
Elk van deze drie driehoeken wordt door een stuk zwaartelijn in twee gelijke helften verdeeld ( $[GI]$ is bijvoorbeeld een zwaartelijn van de driehoek $ABG$ — vanuit welk hoekpunt gezien?). Besluit: de zes kleine stukken rond $G$ hebben alle dezelfde oppervlakte, een zesde van die van de driehoek.
Zet in een assenstelsel de punten $A(0, 0)$ , $B(6, 0)$ en $C(0, 6)$ , met $K(3, 3)$ het midden van $[BC]$ . Bereken met de stelling over twee derde uit deel II de coördinaten van $G$ op de zwaartelijn $[AK]$ ; ga daarna na dat hetzelfde punt op twee derde van de zwaartelijn $[BJ]$ ligt, met $J(0, 3)$ . Vergelijk de coördinaten van $G$ met de gemiddelden

$\frac{0 + 6 + 0}{3}, \qquad \frac{0 + 0 + 6}{3} .$
Slot over het evenwicht: leg met vragen 2 en 8 uit waarom de kartonnen driehoek balanceert op een mesrand die langs een willekeurige zwaartelijn wordt gelegd — aan elke kant evenveel karton — en waarom de potloodpunt dus in $G$ moet staan, het punt dat de fysici het zwaartepunt noemen. (Een volkomen sluitend bewijs van dat evenwicht vraagt de integraalrekening uit de universitaire volumes; de gelijke oppervlakten maken het vandaag geloofwaardig.)

Oplossing

Oplossing van Probleem 59.1.

1. Welke driehoek je ook tekent, de drie zwaartelijnen lijken door één punt te gaan, dat binnen de driehoek ligt en zichtbaar dichter bij het midden van elke zijde dan bij het overstaande hoekpunt. De rest van de opgave bewijst het.

2. Neem de zwaartelijn $[AK]$ van de driehoek $ABC$ : de driehoeken $ABK$ en $AKC$ hebben basissen $BK$ en $KC$ van dezelfde lengte ( $K$ is het midden van $[BC]$ ) op dezelfde lijn $(BC)$ , en dezelfde hoogte: de afstand van $A$ tot $(BC)$ . Volgens de formule voor de oppervlakte heeft elk als oppervlakte basis $\times$ hoogte $\div\ 2$ , met gelijke basissen en gelijke hoogten: de oppervlakten zijn gelijk. Voor een driehoek met oppervlakte $36$ cm $^2$ : twee stukken van elk $18$ cm $^2$ .

3. $I$ en $J$ zijn de middens van de zijden $[AB]$ en $[AC]$ van de driehoek $ABC$ , dus volgens Stelling 59.1: $(IJ) \parallel (BC)$ en $IJ = \frac{BC}{2}$ .

4. $M$ en $N$ zijn de middens van de zijden $[GB]$ en $[GC]$ van de driehoek $GBC$ , dus volgens dezelfde stelling: $(MN) \parallel (BC)$ en $MN = \frac{BC}{2}$ .

5. Zowel $(IJ)$ als $(MN)$ is parallel met $(BC)$ , en dus zijn ze parallel met elkaar; en $IJ = \frac{BC}{2} = MN$ . De vierhoek $IJNM$ heeft dus twee overstaande zijden, $[IJ]$ en $[NM]$ , die parallel en even lang zijn: volgens kenmerk 3 van Stelling 52.9 is $IJNM$ een parallellogram.

6. $G$ ligt op de zwaartelijn $[CI]$ , en $N$ is het midden van $[GC]$ , een lijnstuk op diezelfde zwaartelijn: $I$ , $N$ (en $G$ , $C$ ) liggen dus alle op $(CI)$ . Net zo liggen $J$ , $M$ en $G$ op de zwaartelijn $(BJ)$ . In het parallellogram $IJNM$ zijn de diagonalen $[IN]$ en $[JM]$ ; ze liggen op de twee zwaartelijnen, die elkaar in $G$ snijden — dus snijden de diagonalen elkaar in $G$ . Volgens de definitie van een parallellogram (kenmerk 1 van Stelling 52.9: de diagonalen hebben hetzelfde midden) is $G$ het midden van $[IN]$ en van $[JM]$ : $GI = GN$ en $GJ = GM$ .

7. $M$ is het midden van $[GB]$ , dus $BM = MG$ ; en $MG = GJ$ volgens vraag 6. Bijgevolg is $BM = MG = GJ$ : de zwaartelijn $[BJ]$ wordt in drie gelijke stukken verdeeld, waarvan $BG$ er twee neemt:

BG = 2 \times GJ .

Symmetrisch is $N$ het midden van $[GC]$ en $GN = GI$ , dus $CN = NG = GI$ en $CG = 2 \times GI$ : ook op de zwaartelijn $[CI]$ ligt het snijpunt op twee derde van de weg vanaf het hoekpunt.

8. Het betoog gebruikte niets bijzonders van het paar $[BJ]$ , $[CI]$ : uitgevoerd op het paar $[BJ]$ , $[AK]$ laat het zien dat ook hun snijpunt op $[BJ]$ ligt, op twee derde van de weg vanaf $B$ . Maar er is slechts één punt van het lijnstuk $[BJ]$ op afstand $\frac23 BJ$ van $B$ — dus is het snijpunt van $[BJ]$ en $[AK]$ precies diezelfde $G$ . De drie zwaartelijnen gaan dus alle door $G$ : ze zijn concurrent.

9. $BG = \frac23 \times 9 = 6$ cm en $GJ = \frac13 \times 9 = 3$ cm.

10. Volgens vraag 8 geldt dezelfde berekening met twee derde op de zwaartelijn $[AK]$ (voer het betoog van vragen 4–7 uit met het paar $[AK]$ , $[BJ]$ ): $AG = 2 \times GK$ .

11. In de driehoek $GBC$ is het punt $K$ het midden van de zijde $[BC]$ , dus is $[GK]$ een zwaartelijn van $GBC$ ; volgens vraag 2 hebben de driehoeken $GBK$ en $GKC$ gelijke oppervlakte.

12. De zwaartelijn $[AK]$ verdeelt $ABC$ in $ABK$ en $AKC$ met gelijke oppervlakte (vraag 2). Haal uit elk zijn kleine driehoek van vraag 11 weg:

\text{opp}(ABG) = \text{opp}(ABK) - \text{opp}(GBK), \qquad \text{opp}(ACG) = \text{opp}(AKC) - \text{opp}(GKC),

en de weggehaalde oppervlakten zijn gelijk, dus is $\text{opp}(ABG) = \text{opp}(ACG)$ . Dezelfde berekening langs de zwaartelijn $[BJ]$ — die $ABC$ in twee gelijke helften $ABJ$ en $CBJ$ verdeelt, terwijl $[GJ]$ , een zwaartelijn van de driehoek $GAC$ , die in $GAJ$ en $GCJ$ halveert — geeft $\text{opp}(ABG) = \text{opp}(CBG)$ . De drie driehoeken $ABG$ , $BCG$ , $CAG$ hebben dus gelijke oppervlakte, en omdat ze samen $ABC$ betegelen, heeft elk als oppervlakte een derde van het geheel.

13. In de driehoek $ABG$ is het punt $I$ het midden van de zijde $[AB]$ , dus is $[GI]$ een zwaartelijn van $ABG$ vanuit het hoekpunt $G$ : die verdeelt $ABG$ in twee driehoeken met gelijke oppervlakte (vraag 2), namelijk $AIG$ en $IBG$ . Hetzelfde gebeurt in $BCG$ (zwaartelijn $[GK]$ ) en in $CAG$ (zwaartelijn $[GJ]$ ). Elk derde van $ABC$ wordt in twee gelijke helften verdeeld: de zes stukken rond $G$ hebben elk als oppervlakte $\frac13 \times \frac12 = \frac16$ van de driehoek.

14. Op de zwaartelijn $[AK]$ , van $A(0,0)$ naar $K(3,3)$ : $G$ ligt op twee derde van de weg, dus zijn zijn coördinaten $\left(\frac23 \times 3,\ \frac23 \times 3\right) = (2, 2)$ . Op de zwaartelijn $[BJ]$ , van $B(6, 0)$ naar $J(0, 3)$ : twee derde van de weg betekent dat je twee derde van de verplaatsing optelt ( $-6$ horizontaal, $+3$ verticaal):

\left(6 + \tfrac23 \times (-6),\ 0 + \tfrac23 \times 3\right) = (2, 2) .

Hetzelfde punt — zoals vraag 8 beloofde. En $\frac{0 + 6 + 0}{3} = 2$ , $\frac{0 + 0 + 6}{3} = 2$ : de coördinaten van het zwaartepunt zijn de gemiddelden van de coördinaten van de drie hoekpunten.

15. Volgens vraag 2 heeft een mesrand die langs een zwaartelijn wordt gelegd, aan elke kant evenveel karton (gelijke oppervlakten), dus balanceert de driehoek langs elk van de drie zwaartelijnen. Een punt van evenwicht moet op alle drie die evenwichtslijnen tegelijk liggen, en volgens vraag 8 hebben de drie zwaartelijnen precies één punt gemeen: $G$ . Daar hoort de potloodpunt. (Gelijke oppervlakten aan beide kanten is de geloofwaardige versie van het argument; de eerlijke versie, die weegt waar het karton zit en niet alleen hoeveel er is, vraagt de integraalrekening uit de universitaire volumes — en die bevestigt $G$ .)