Wiskunde basisschool en onderbouw · Grades 1–9

18Figuren en rechte hoeken

Vierkanten, rechthoeken, driehoeken, cirkels: die figuren zijn oude bekenden. In dit hoofdstuk bekijken we ze met het oog van een meetkundige — wat maakt een vierkant precies een vierkant? — en maak je kennis met het gereedschap dat beslist: de geodriehoek en zijn rechte hoek.

18.1 De rechte hoek

Definitie 18.1 (Rechte hoek)

Een rechte hoek is de hoek van een blad papier of van de geodriehoek. Twee lijnen die een rechte hoek maken, staan loodrecht op elkaar. In figuren wordt een rechte hoek aangegeven met een klein vierkantje in de hoek.

Methode 18.2 (Een rechte hoek controleren)

Leg de hoek van de geodriehoek precies op de hoek die je wilt testen;
schuif één rand van de geodriehoek langs één zijde van de hoek;
loopt de andere zijde van de hoek precies langs de andere rand, dan is de hoek recht — staat hij wijder of smaller open, dan niet.

Alleen de eerste hoek is recht — en alleen het vierkantje of de geodriehoek kan dat garanderen: je ogen laten zich makkelijk bedriegen.

18.2 De figuren en hun regels

Definitie 18.3 (Vierkant, rechthoek, driehoek)

Een rechthoek heeft $4$ zijden en $4$ rechte hoeken; de zijden die tegenover elkaar liggen, zijn even lang.
Een vierkant is een rechthoek waarvan de $4$ zijden allemaal even lang zijn.
Een driehoek heeft $3$ zijden; een rechthoekige driehoek heeft één rechte hoek.
Een cirkel teken je met de passer: al zijn punten liggen op dezelfde afstand (de radius) van het middelpunt.

De verzameling figuren, met hun tekens: vierkantjes voor rechte hoeken, streepjes voor gelijke zijden.

Voorbeeld 18.4 (Waarom die tekens nodig zijn)

Een figuur die een beetje scheef getekend is, kan op een vierkant lijken zonder er een te zijn. De tekens vertellen de waarheid: $4$ vierkantjes voor de rechte hoeken $+$ $4$ streepjes $=$ een echt vierkant. Zet de tekens erbij als je zelf tekent; en vertrouw bij het lezen van een figuur alleen op de tekens en de gegeven maten.

18.3 Tekenen op ruitjespapier

Methode 18.5 (Constructies op een raster)

Ruitjespapier geeft je rechte hoeken cadeau: zijn lijnen staan loodrecht op elkaar.

Om een rechthoek van $5$ bij $3$ te tekenen: kies een snijpunt, tel $5$ vakjes naar rechts en $3$ vakjes naar boven, en sluit de figuur langs de rasterlijnen;
om gelijke lengtes te controleren, tel je vakjes;
met diagonale stappen krijg je scheve lijnen: telkens “ $1$ naar rechts, $1$ naar boven” geeft een lijn van $45^\circ$ .

Twee constructies op het raster: de rasterlijnen garanderen de rechte hoeken.

Voorbeeld 18.6 (Een tekenprogramma)

Een figuur kun je met instructies beschrijven: “1. Teken een vierkant $ABCD$ met zijde $4$ cm. 2. Teken de cirkel met middelpunt $A$ door $B$ .” Wie het programma regel voor regel volgt, tekent precies dezelfde figuur — en wie er een schrijft, moet elk punt een naam geven. Probeer het met een klasgenoot: de een schrijft, de ander tekent.

18.4 Oefeningen

Oefening 18.1 ★

Zoek in de klas (zonder te meten) drie rechte hoeken en één hoek die niet recht is. Hoe kun je elke hoek controleren?

Oplossing

Oplossing van Oefening 18.1.

Typische rechte hoeken: de hoeken van het bord, van een blad papier, van de deur. Een hoek die niet recht is: de opening van een schaar, of de wijzers van de klok om $1$ uur. Elke hoek controleer je met de geodriehoek (Methode 18.2) — nooit alleen op het oog.

Oefening 18.2 ★

Teken met lat en geodriehoek een rechthoek van $6$ cm bij $4$ cm. Zet de tekens voor de rechte hoeken en de gelijke zijden erbij.

Oplossing

Oplossing van Oefening 18.2.

Constructie: één zijde van $6$ cm, aan beide uiteinden een rechte hoek met de geodriehoek, zijden van $4$ cm, en de figuur sluiten. Tekens: $4$ vierkantjes in de hoeken, één streepje op elke zijde van $6$ cm en een dubbel streepje op elke zijde van $4$ cm.

Oefening 18.3 ★

Teken een vierkant met zijde $5$ cm. Hoeveel rechte hoeken heeft het? Hoeveel gelijke zijden? Zet alle tekens erbij.

Oplossing

Oplossing van Oefening 18.3.

Een vierkant heeft $4$ rechte hoeken en $4$ gelijke zijden — allemaal gemarkeerd.

Oefening 18.4 ★

Teken op ruitjespapier: een vierkant van $4 \times 4$ ; een rechthoek van $7 \times 2$ ; een rechthoekige driehoek met rechthoekszijden van $3$ en $5$ vakjes.

Oplossing

Oplossing van Oefening 18.4.

Constructies op het raster; het raster garandeert de rechte hoeken, en het tellen van vakjes garandeert de lengtes.

Oefening 18.5 ★

Waar of niet waar? Leg uit. “Elk vierkant is een rechthoek.” “Elke rechthoek is een vierkant.” “Een driehoek kan twee rechte hoeken hebben.” (Probeer er een te tekenen!)

Oplossing

Oplossing van Oefening 18.5.

“Elk vierkant is een rechthoek”: waar — het heeft $4$ rechte hoeken, en meer vraagt een rechthoek niet.

“Elke rechthoek is een vierkant”: niet waar — een rechthoek van $6 \times 4$ heeft ongelijke zijden.

“Een driehoek kan twee rechte hoeken hebben”: niet waar — de twee zijden die uit de twee rechte hoeken vertrekken, zouden loodrecht op dezelfde basislijn staan en elkaar dus nooit snijden, zodat de driehoek niet gesloten kan worden.

Oefening 18.6 ★

Teken een cirkel met radius $4$ cm. Zet het middelpunt $O$ en een punt $A$ op de cirkel, en teken de radius $[OA]$ . Hoe lang is $OA$ ? En als $B$ een ander punt van de cirkel is, hoe lang is $OB$ dan?

Oplossing

Oplossing van Oefening 18.6.

$OA = 4$ cm (de radius). $OB$ is ook $4$ cm: elk punt van de cirkel ligt op dezelfde afstand van het middelpunt.

Oefening 18.7 ★

Volg dit programma: “1. Teken een rechthoek $ABCD$ met $AB = 6$ cm en $BC = 3$ cm. 2. Zet het punt $M$ midden op $[AB]$ . 3. Verbind $M$ met $C$ en met $D$ .” In welke figuren is de rechthoek nu verdeeld?

Oplossing

Oplossing van Oefening 18.7.

De rechthoek is verdeeld in drie driehoeken: twee rechthoekige driehoeken ( $AMD$ en $MBC$ , met de rechte hoek in $A$ en in $B$ ) en de middelste driehoek $MCD$ .

Oefening 18.8 ★

Sorteer de figuren: welke hiervan hebben minstens één rechte hoek? Een vierkant; een rechthoek die geen vierkant is; een rechthoekige driehoek; een cirkel; de letter L met dikke strepen getekend.

Oplossing

Oplossing van Oefening 18.8.

Met minstens één rechte hoek: het vierkant, de rechthoek, de rechthoekige driehoek en de letter L (met haar binnen- en buitenhoeken). De cirkel heeft helemaal geen hoek.

Oefening 18.9 ★★

Teken op ruitjespapier een scheef vierkant waarvan de zijden “ $2$ naar rechts, $1$ naar boven” lopen (en de bijbehorende draaiingen). Tel vakjes om jezelf ervan te overtuigen dat de vier zijden even lang zijn.

Oplossing

Oplossing van Oefening 18.9.

Elke zijde loopt “ $2$ naar rechts, $1$ naar boven” (of een gedraaide versie daarvan, zoals “ $1$ naar rechts, $2$ naar beneden”): elke zijde is de diagonaal van een blok van $2 \times 1$ vakjes, dus zijn alle vier de zijden even lang.

Oefening 18.10 ★★

Schrijf een tekenprogramma (genummerde instructies, punten met namen) voor: een vierkant met zijde $3$ cm bovenop een rechthoek van $3$ cm $\times$ $2$ cm, als een huis op zijn benedenverdieping. Test je programma bij een klasgenoot.

Oplossing

Oplossing van Oefening 18.10.

Een goed programma is bijvoorbeeld: “1. Teken een rechthoek $ABCD$ met $AB = 3$ cm (onderzijde) en $BC = 2$ cm. 2. Teken op de zijde $[DC]$ het vierkant $DCEF$ met zijde $3$ cm, buiten de rechthoek.” Elk duidelijk, genummerd en volledig programma is goed — test het door het woord voor woord te volgen.

Oefening 18.11 ★★

Hoeveel vierkanten kun je vinden in een raster van $3 \times 3$ kleine vakjes? (Tel de vierkanten van $1 \times 1$ , van $2 \times 2$ en van $3 \times 3$ .)

Oplossing

Oplossing van Oefening 18.11.

Vierkanten van $1 \times 1$ : $9$ . Van $2 \times 2$ : $4$ . Van $3 \times 3$ : $1$ . In totaal: $9 + 4 + 1 = 14$ vierkanten.