Wiskunde basisschool en onderbouw · Grades 1–9

50Gegevens ordenen

Voordat je iets kunt uitrekenen, moeten gegevens verzameld, geteld en weergegeven worden. Dit hoofdstuk gaat over het omzetten van een rommelige lijst waarnemingen in een heldere tabel of tekening: aantallen, frequenties, gegroepeerde gegevens, staafdiagrammen en cirkeldiagrammen. Gegevens samenvatten in één getal (gemiddelde, mediaan) is het onderwerp van Hoofdstuk 71.

50.1 Aantallen en frequenties

Definitie 50.1 (Aantal en frequentie)

Voor elke mogelijke waarde in een onderzoek is het aantal het aantal keren dat ze voorkomt; haar frequentie is dat aantal gedeeld door het totale aantal waarnemingen:

\text{frequentie} = \frac{\text{aantal}}{\text{totaal}} .

Frequenties kun je als breuk, als decimaal getal of als percentage schrijven, en ze zijn samen altijd $1$ (dus $100\,\%$ ).

Voorbeeld 50.2

De favoriete sport van de $25$ leerlingen van een klas, van de ruwe lijst naar de tabel:

sport	voetbal	zwemmen	tennis	judo	totaal
aantal	$10$	$6$	$5$	$4$	$25$
frequentie	$0.40$	$0.24$	$0.20$	$0.16$	$1$

Voor voetbal: $\frac{10}{25} = \frac{40}{100} = 0.40 = 40\,\%$ . De rij met frequenties moet samen $1$ zijn — een permanente, gratis controle.

Opmerking 50.3 (Waarom frequenties?)

Aantallen kun je niet vergelijken tussen groepen van verschillende grootte: $10$ voetbalfans in een klas van $25$ (dat is $40\,\%$ ) laten meer enthousiasme zien dan $12$ in een jaarlaag van $120$ ( $10\,\%$ ). Frequenties zetten alles op dezelfde schaal.

50.2 Gegevens in klassen groeperen

Voorbeeld 50.4 (Klassen)

De lengtes (in cm) van $20$ leerlingen lopen van $148$ tot $172$ . Elke lengte apart opsommen zou een tabel met bijna even veel kolommen als leerlingen geven; groepeer ze in plaats daarvan in klassen:

lengte (cm)	$\intco{145}{155}$	$\intco{155}{165}$	$\intco{165}{175}$	totaal
aantal	$5$	$9$	$6$	$20$
frequentie	$0.25$	$0.45$	$0.30$	$1$

Elke lengte wordt in precies één klasse geteld ( $155$ hoort bij $\intco{155}{165}$ , niet bij beide — daarom zijn de intervallen half open). Groeperen kost detail, maar levert leesbaarheid op.

50.3 Diagrammen

Methode 50.5 (Een diagram kiezen en tekenen)

Staafdiagram: één staaf per waarde of klasse, met een hoogte die evenredig is met het aantal (of met de frequentie). Goed om waarden te vergelijken.
Cirkeldiagram: één sector per waarde, met een hoek die evenredig is met de frequentie — de volle cirkel ( $360^\circ$ ) stelt het totaal voor, dus

$\text{hoek} = \text{frequentie} \times 360^\circ .$

Goed om delen van een geheel te laten zien.
In beide gevallen: een titel, labels, en streepjes of de percentages op het diagram zelf.

Voorbeeld 50.6

De hoeken voor de sporten van Voorbeeld 50.2: voetbal $0.40 \times 360 = 144^\circ$ ; zwemmen $0.24 \times 360 = 86.4^\circ$ ; tennis $72^\circ$ ; judo $57.6^\circ$ . Controle: $144 + 86.4 + 72 + 57.6 = 360$ .

Dezelfde gegevens als staafdiagram (hoogtes vergelijken) en als cirkeldiagram (delen van de klas vergelijken). Voetbal neemt 144, dus 40\,\% van de cirkel. — Dezelfde gegevens als staafdiagram (hoogtes vergelijken) en als cirkeldiagram (delen van de klas vergelijken). Voetbal neemt $144^\circ$ , dus $40\,\%$ van de cirkel.

Voorbeeld 50.7 (Kritisch lezen)

Een diagram waarvan de verticale as bij $9$ begint in plaats van bij $0$ , laat een staaf van $10$ tien keer zo hoog lijken als een staaf van $9.1$ — visueel misleidend, ook al zijn de getallen eerlijk. Eerste reflex bij elk diagram: controleer waar de as begint en hoeveel één streepje waard is (Methode 44.8).

50.4 Oefeningen

Oefening 50.1 ★

Hier zijn de cijfers van $20$ leerlingen: $12$ , $15$ , $9$ , $12$ , $14$ , $9$ , $12$ , $15$ , $11$ , $12$ , $9$ , $14$ , $12$ , $11$ , $15$ , $9$ , $12$ , $14$ , $11$ , $12$ . Bouw de tabel met de aantallen (één kolom per cijfer).

Oplossing

Oplossing van Oefening 50.1.

Elk cijfer geteld:

cijfer	$9$	$11$	$12$	$14$	$15$	totaal
aantal	$4$	$3$	$7$	$3$	$3$	$20$

Oefening 50.2 ★

Vul de tabel van Oefening 50.1 aan met een rij frequenties (als breuken van $20$ , en daarna als percentages). Controleer de som.

Oplossing

Oplossing van Oefening 50.2.

Frequenties: $\frac{4}{20} = 20\,\%$ , $\frac{3}{20} = 15\,\%$ , $\frac{7}{20} = 35\,\%$ , $15\,\%$ , $15\,\%$ . Som: $20 + 15 + 35 + 15 + 15 = 100\,\%$ . ✓

Oefening 50.3 ★

In een onderzoek onder $50$ gezinnen hebben $30$ gezinnen één auto. Wat is de frequentie van “één auto”, als decimaal getal en als percentage? In een ander onderzoek hebben $45$ van de $90$ gezinnen één auto: welk onderzoek toont het hoogste aandeel?

Oplossing

Oplossing van Oefening 50.3.

Eerste onderzoek: $\frac{30}{50} = 0.6 = 60\,\%$ . Tweede: $\frac{45}{90} = 0.5 = 50\,\%$ . Het eerste onderzoek toont het hoogste aandeel, ook al zijn er in absolute aantallen minder gezinnen met één auto.

Oefening 50.4 ★

De massa’s (kg) van $15$ honden: $8$ , $23$ , $31$ , $12$ , $9$ , $27$ , $35$ , $14$ , $22$ , $18$ , $29$ , $11$ , $25$ , $33$ , $16$ . Groepeer ze in de klassen $\intco{5}{15}$ , $\intco{15}{25}$ , $\intco{25}{35}$ , $\intco{35}{45}$ en geef de aantallen.

Oplossing

Oplossing van Oefening 50.4.

$\intco{5}{15}$ : $8, 12, 9, 14, 11$ — aantal $5$ . $\intco{15}{25}$ : $23, 22, 18, 16$ — aantal $4$ . $\intco{25}{35}$ : $31, 27, 29, 25, 33$ — aantal $5$ . $\intco{35}{45}$ : $35$ — aantal $1$ . Totaal $15$ . ✓

Oefening 50.5 ★

Teken het staafdiagram van de tabel:

huisdieren	$0$	$1$	$2$	$3$
gezinnen	$8$	$12$	$6$	$4$

Oplossing

Oplossing van Oefening 50.5.

Vier staven van hoogte $8$ , $12$ , $6$ en $4$ boven de waarden $0$ , $1$ , $2$ en $3$ (een streepje per $2$ werkt goed).

Oefening 50.6 ★

Reken voor de tabel van Oefening 50.5 de frequenties en de hoeken voor een cirkeldiagram van elke waarde uit (controle: samen $360^\circ$ ).

Oplossing

Oplossing van Oefening 50.6.

Totaal $30$ gezinnen. Frequenties: $\frac{8}{30}$ , $\frac{12}{30}$ , $\frac{6}{30}$ , $\frac{4}{30}$ . Hoeken ( $\times 360^\circ$ ): $96^\circ$ , $144^\circ$ , $72^\circ$ , $48^\circ$ ; som $96 + 144 + 72 + 48 = 360^\circ$ . ✓

Oefening 50.7 ★

Een cirkeldiagram over favoriete seizoenen toont: zomer $162^\circ$ , lente $90^\circ$ , herfst $54^\circ$ , winter $54^\circ$ . Welk percentage koos elk seizoen? Als er $60$ mensen geantwoord hebben, hoeveel kozen dan de zomer?

Oplossing

Oplossing van Oefening 50.7.

Percentages: zomer $\frac{162}{360} = 45\,\%$ ; lente $\frac{90}{360} = 25\,\%$ ; herfst en winter elk $\frac{54}{360} = 15\,\%$ . Van $60$ mensen koos $0.45 \times 60 = 27$ de zomer.

Oefening 50.8 ★★

In klas A komen $12$ van de $30$ leerlingen lopend naar school; in klas B $14$ van de $40$ . Welke klas heeft het hoogste aandeel lopers? Verantwoord het met frequenties, niet met aantallen.

Oplossing

Oplossing van Oefening 50.8.

Klas A: $\frac{12}{30} = 40\,\%$ . Klas B: $\frac{14}{40} = 35\,\%$ . Klas A heeft het hoogste aandeel lopers, ook al heeft klas B er in aantal meer.

Oefening 50.9 ★★

Een tijdschrift drukt een staafdiagram van de maandverkoop af: $9\,800$ , dan $10\,000$ , dan $10\,100$ , met een verticale as die bij $9\,700$ begint. Beschrijf wat de lezer ziet, en wat een eerlijke as vanaf $0$ in plaats daarvan zou laten zien.

Oplossing

Oplossing van Oefening 50.9.

Met de as vanaf $9\,700$ hebben de drie staven zichtbare hoogtes $100$ , $300$ en $400$ eenheden: de laatste lijkt vier keer de eerste, wat suggereert dat de verkoop verviervoudigd is. Met een as vanaf $0$ zijn de staven bijna gelijk (van $9\,800$ naar $10\,100$ is een stijging van ongeveer $3\,\%$ ): het eerlijke plaatje toont een bijna vlakke verkoop.

Oefening 50.10 ★★

Een frequentietabel heeft drie waarden met frequenties $0.35$ , $0.4$ en $f$ . Zoek $f$ . Als het totale aantal $80$ is, geef dan de drie aantallen.

Oplossing

Oplossing van Oefening 50.10.

Frequenties zijn samen $1$ : $f = 1 - 0.35 - 0.4 = 0.25$ . De aantallen (totaal $80$ ): $0.35 \times 80 = 28$ ; $0.4 \times 80 = 32$ ; $0.25 \times 80 = 20$ . Controle: $28 + 32 + 20 = 80$ .

Oefening 50.11 ★★★

Op een school is $55\,\%$ van de leerlingen meisje. Van de meisjes eet $40\,\%$ in de kantine; van de jongens $60\,\%$ . Hoeveel van de $400$ leerlingen eten in de kantine? (Reken de vier groepsgroottes stap voor stap uit.) Welk percentage van de school is dat?

Oplossing

Oplossing van Oefening 50.11.

Meisjes: $55\,\%$ van $400 = 220$ ; jongens: $180$ . Meisjes in de kantine: $0.4 \times 220 = 88$ ; jongens: $0.6 \times 180 = 108$ . Samen: $88 + 108 = 196$ leerlingen, dus $\frac{196}{400} = 49\,\%$ van de school — tussen $40\,\%$ en $60\,\%$ , en dichter bij het cijfer van de meisjes omdat er meer meisjes zijn.

50.5 Opgave: hoe gegevens liegen — en hoe je ze betrapt

Probleem 50.1

Weekendopgave — aantallen tegen frequenties, de opiniepeiling die een land om de tuin leidde, en de paradox van de twee ziekenhuizen

Getallen liegen niet, maar je kunt ze wel laten misleiden: een enorm aantal kan een kleine frequentie verbergen, een gigantisch onderzoek kan waardeloos zijn, en — het vreemdst van al — een ziekenhuis kan zijn concurrent in elke categorie patiënten verslaan en toch op de totaalcijfers verliezen. Alle drie de valstrikken gaan in deze opgave af, met niets anders in handen dan de aantallen en frequenties van dit hoofdstuk (Definitie 50.1).

Deel I — Aantallen zijn geen frequenties.

School A recyclet $120$ van haar $400$ drinkpakjes; school B $90$ van haar $250$ . Welke school heeft het grootste aantal gerecyclede pakjes? En de grootste frequentie? Welke school verdient de recycleprijs?
Een nieuw lesrooster wordt onderzocht: $18$ van de $30$ leraren vinden het goed, en $210$ van de $600$ leerlingen. Reken de twee frequenties uit, en daarna de frequentie onder alle $630$ mensen samen. Waarom ligt het gecombineerde cijfer zo dicht bij dat van de leerlingen?
Een gepubliceerd cirkeldiagram toont sectoren met de labels $45\,\%$ , $30\,\%$ , $20\,\%$ en $10\,\%$ . Hoe weet je zonder verdere informatie dat er een fout is gemaakt?
Een frequentietabel over $40$ waarnemingen is half uitgewist: aantallen $14$ , $10$ , $?$ , $?$ en frequenties $0.35$ , $0.25$ , $0.15$ , $?$ . Herstel de ontbrekende gegevens.
Een onderzoek eindigt met de frequenties $0.40$ , $0.35$ en $0.25$ . Reken de drie hoeken voor het cirkeldiagram uit (Methode 50.5) en ga na dat ze de cirkel sluiten.

Deel II — De peiling die een land om de tuin leidde. In 1936 stuurde een Amerikaans tijdschrift tien miljoen stembiljetten naar adressen uit telefoongidsen en autoregistraties, ontving $2.4$ miljoen antwoorden, en voorspelde een verpletterende overwinning voor kandidaat Landon. Een jonge statisticus, George Gallup, ondervroeg maar ongeveer vijftigduizend mensen — gekozen om op de hele bevolking te lijken — en voorspelde het tegendeel. Roosevelt won met een enorme meerderheid.

Welke frequentie van de verstuurde biljetten kwam terug?
In 1936 waren telefoons en auto’s luxe. Leg in één of twee zinnen uit waarom de steekproef van het tijdschrift, hoe enorm ook, gedoemd was — en welke les van vraag 1 zij op nationale schaal herhaalt.
Een speelgoedmodel. Een dorp heeft $1\,000$ rijke kiezers, waarvan $70\,\%$ L steunt, en $9\,000$ minder rijke kiezers, waarvan $30\,\%$ L steunt. Reken de echte steun voor L in het dorp uit. Een “telefoongidspeiling” bereikt $500$ rijke en $500$ minder rijke kiezers: welke steun voorspelt zij?
De stille valstrik: een bedrijf heeft $200$ ontevreden en $800$ tevreden klanten. Het ondervraagt iedereen; $40\,\%$ van de ontevreden klanten antwoordt, maar slechts $10\,\%$ van de tevreden. Reken het aantal antwoorden van elke soort uit, en de frequentie van ontevredenheid onder de antwoorden. Vergelijk met de echte frequentie.
Repareer de peiling van vraag 8: houd $1\,000$ gesprekken, maar verdeel ze volgens de echte verhoudingen van het dorp. Wat voorspelt de gerepareerde peiling?

Deel III — De paradox van de twee ziekenhuizen. Twee ziekenhuizen publiceren hun genezingsaantallen, opgesplitst naar ernst:

	lichte gevallen	ernstige gevallen
ziekenhuis A	$90$ genezen van $100$	$280$ genezen van $400$
ziekenhuis B	$340$ genezen van $400$	$65$ genezen van $100$

Reken de genezingsfrequentie van ziekenhuis A uit voor de lichte gevallen, voor de ernstige gevallen, en in het totaal (alle $500$ patiënten).
Doe dezelfde drie berekeningen voor ziekenhuis B. Welk ziekenhuis wint bij de lichte gevallen? En bij de ernstige?
Vergelijk de twee totaalfrequenties. Formuleer duidelijk wat er vreemds gebeurd is.
Verklaar de truc: vergelijk de samenstelling van de patiënten van de twee ziekenhuizen, en zeg waarom de totaalfrequentie beide categoriefrequenties kan verraden. Welk ziekenhuis zou je kiezen met een ernstig geval?
Een krantenkop luidt: “Ziekenhuis B geneest beter: $81\,\%$ tegen $74\,\%$ .” Schrijf de brief van twee zinnen aan de redactie die deze hele opgave je heeft leren schrijven — één zin over wat de kop negeert, en één over de algemene moraal (vergelijk gelijk met gelijk, en let op de gewichten).

Oplossing

Oplossing van Probleem 50.1.

1. Aantallen: $120 > 90$ , school A wint. Frequenties: $\frac{120}{400} = 0.30 = 30\,\%$ tegen $\frac{90}{250} = 0.36 = 36\,\%$ : school B wint. De prijs moet de frequentie volgen — school B recyclet een groter deel van wat ze gebruikt; school A drinkt alleen meer sap.

2. Leraren: $\frac{18}{30} = 0.60 = 60\,\%$ . Leerlingen: $\frac{210}{600} = 0.35 = 35\,\%$ . Samen: $\frac{18 + 210}{630} = \frac{228}{630} \approx 0.36 = 36\,\%$ . De leerlingen zijn twintig keer zo talrijk, dus wordt de gecombineerde frequentie bijna volledig naar hun kant getrokken — de grote groep weegt zwaar.

3. Frequenties moeten samen $100\,\%$ zijn (Definitie 50.1), maar $45 + 30 + 20 + 10 = 105$ : minstens één sector is fout.

4. Het aantal bij frequentie $0.15$ : $0.15 \times 40 = 6$ . De aantallen tot nu toe: $14 + 10 + 6 = 30$ , dus is het laatste aantal $40 - 30 = 10$ , met frequentie $\frac{10}{40} = 0.25$ . (Controle: $0.35 + 0.25 + 0.15 + 0.25 = 1$ .)

5. Hoeken: $0.40 \times 360 = 144^\circ$ , $0.35 \times 360 = 126^\circ$ , $0.25 \times 360 = 90^\circ$ ; en $144 + 126 + 90 = 360^\circ$ : de cirkel sluit.

6. $\frac{2.4}{10} = 0.24 = 24\,\%$ van de biljetten kwam terug.

7. In telefoongidsen en autoregistraties stonden vooral rijke huishoudens, waarvan de stem afweek van die van het land; de $2.4$ miljoen antwoorden waren een gigantisch aantal, getrokken uit de verkeerde bevolking. Zoals in vraag 1: het gaat er niet om hoeveel mensen je telt, maar wie — een frequentie berekend op een vertekende steekproef beschrijft de steekproef, niet het land.

8. Echte steun: $0.7 \times 1\,000 + 0.3 \times 9\,000 = 700 + 2\,700 = 3\,400$ steunbetuigingen van $10\,000$ : $34\,\%$ . De peiling: $0.7 \times 500 + 0.3 \times 500 = 350 + 150 = 500$ van $1\,000$ : $50\,\%$ — zestien punten te hoog, omdat de rijken de helft van de steekproef zijn maar een tiende van het dorp.

9. Antwoorden: $0.4 \times 200 = 80$ ontevreden en $0.1 \times 800 = 80$ tevreden, dus $160$ antwoorden waarvan $80$ ontevreden: de gemeten ontevredenheid is $\frac{80}{160} = 50\,\%$ . De echte ontevredenheid: $\frac{200}{1\,000} = 20\,\%$ . Niemand heeft gelogen — de ontevreden klanten antwoorden gewoon vaker, en het onderzoek hoort hen luider.

10. De echte verhoudingen: een tiende rijk, dus $100$ rijke en $900$ minder rijke gesprekken: $0.7 \times 100 + 0.3 \times 900 = 70 + 270 = 340$ van $1\,000$ : de gerepareerde peiling voorspelt $34\,\%$ — de waarheid van vraag 8. Vijftigduizend goed gekozen gesprekken verslaan twee miljoen slecht gekozen gesprekken.

11. Ziekenhuis A: licht $\frac{90}{100} = 90\,\%$ ; ernstig $\frac{280}{400} = 70\,\%$ ; in het totaal $\frac{90 + 280}{500} = \frac{370}{500} = 74\,\%$ .

12. Ziekenhuis B: licht $\frac{340}{400} = 85\,\%$ ; ernstig $\frac{65}{100} = 65\,\%$ ; in het totaal $\frac{340 + 65}{500} = \frac{405}{500} = 81\,\%$ . Ziekenhuis A wint bij de lichte gevallen ( $90 > 85$ ) en bij de ernstige ( $70 > 65$ ).

13. In het totaal laat B $81\,\%$ zien tegen de $74\,\%$ van A: het ziekenhuis dat in elke categorie verliest, wint het totaal. (Deze omkering heeft een naam: de paradox van Simpson.)

14. De samenstellingen zijn tegengesteld: de patiënten van A zijn meestal ernstig ( $400$ van $500$ ), die van B meestal licht ( $400$ van $500$ ). Ernstige gevallen genezen minder vaak, waar ze ook behandeld worden, dus wordt het totaal van A naar beneden getrokken door de moeilijke gevallen die het aanneemt — het totaal is een gewogen mengsel, en de gewichten verschillen per ziekenhuis. Een ernstige patiënt moet ziekenhuis A kiezen: $70\,\%$ verslaat $65\,\%$ in de enige rij die hem aangaat.

15. Bijvoorbeeld: “Uw vergelijking mengt lichte en ernstige patiënten, en de twee ziekenhuizen behandelen tegengestelde samenstellingen — opgesplitst naar ernst geneest ziekenhuis A van beide soorten een groter deel. Totaalcijfers mag je alleen vergelijken als de groepen erachter op elkaar lijken; anders beslissen de gewichten en niet de kwaliteit wie er wint.”