Wiskunde basisschool en onderbouw · Grades 1–9

48Uitdrukkingen met letters

Een letter in een berekening staat voor een getal dat we nog niet kennen, of voor alle getallen tegelijk: $P = 4z$ schrijven geeft de omtrek van elk vierkant in één formule. Dit hoofdstuk leert de schrijfafspraken, het invullen van waarden en het vereenvoudigen van eenvoudige uitdrukkingen — het begin van de algebra, die in Hoofdstuk 57 verdergaat.

48.1 Schrijven met letters

Definitie 48.1 (Uitdrukking met letters)

Een uitdrukking met letters is een berekening met een of meer letters, die elk voor een getal staan. De schrijfafspraken:

het teken $\times$ valt weg voor een letter of een haakje: $3 \times a = 3a$ , $a \times b = ab$ , $2 \times (x + 5) = 2(x + 5)$ ;
maar het blijft staan tussen twee getallen: $3 \times 5$ mag je niet als $35$ schrijven!
$a \times a$ schrijf je als $a^2$ (“ $a$ kwadraat”), en $a \times a \times a = a^3$ ;
$1a$ schrijf je als $a$ , en $0a$ is $0$ .

Voorbeeld 48.2

Vereenvoudig de schrijfwijze:

5 \times x + 3 \times y = 5x + 3y, \qquad a \times 7 = 7a \ \text{(getal vooraan)}, \qquad x \times x \times 4 = 4x^2 .

Voorbeeld 48.3 (Formules zijn uitdrukkingen met letters)

Voor een rechthoek met lengte $l$ en breedte $b$ : omtrek $P = 2(l + b)$ , oppervlakte $A = lb$ . Eén formule vat de oneindig veel rechthoeken samen — en dat is precies waar letters voor zijn.

Twee formules die voor elke rechthoek geldig zijn: vul de waarden van l en b in om getallen te krijgen. — Twee formules die voor elke rechthoek geldig zijn: vul de waarden van $l$ en $b$ in om getallen te krijgen.

48.2 Invullen

Methode 48.4 (Een uitdrukking uitrekenen)

Om een uitdrukking voor gegeven waarden van haar letters uit te rekenen:

schrijf de uitdrukking met de verborgen $\times$ -tekens erbij: $3a + a^2$ is $3 \times a + a \times a$ ;
vervang elke letter door haar waarde, met haakjes eromheen als dat nodig is;
reken uit, met de voorrangsregels van Hoofdstuk 45.

Voorbeeld 48.5

Reken $E = 3x + x^2$ uit voor $x = 5$ :

E = 3 \times 5 + 5 \times 5 = 15 + 25 = 40 .

Reken $F = 2(a + 3b)$ uit voor $a = 4$ en $b = 0.5$ :

F = 2 \times (4 + 3 \times 0.5) = 2 \times (4 + 1.5) = 2 \times 5.5 = 11 .

48.3 Uitdrukkingen herleiden

Propositie 48.6 (Gelijksoortige termen samennemen)

Termen met hetzelfde letterdeel kun je samennemen door hun getallen op te tellen (dat is de distributiviteit, Stelling 45.6, achterstevoren gelezen):

5x + 3x = (5 + 3)x = 8x, \qquad 7a - 2a = 5a .

Termen met verschillende letterdelen (zoals $3x$ en $5y$ , of $x$ en $x^2$ ) kun je niet samennemen.

Voorbeeld 48.7

Herleid $E = 4x + 7 + 3x + 2$ door de termen te sorteren:

E = (4x + 3x) + (7 + 2) = 7x + 9 .

Pas op: $7x + 9$ is niet $16x$ ! Test met $x = 1$ : $4 + 7 + 3 + 2 = 16$ en $7 \times 1 + 9 = 16$ komen overeen, maar $16x$ zou ook $16$ zijn — test dus met $x = 2$ : het origineel geeft $8 + 7 + 6 + 2 = 23$ , en $7 \times 2 + 9 = 23$ , terwijl $16 \times 2 = 32$ . De herleiding $7x + 9$ is juist, $16x$ is fout.

Methode 48.8 (Een gelijkheid testen)

Om na te gaan of twee uitdrukkingen voor elke waarde gelijk kunnen zijn:

vul in beide dezelfde waarde in, minstens twee keer (bijvoorbeeld $x = 2$ en $x = 10$ ; vermijd $0$ en $1$ , die verbergen te veel verschillen);
verschillen de uitkomsten ook maar één keer, dan zijn de uitdrukkingen niet gelijk — één tegenvoorbeeld velt een algemene bewering;
komen de uitkomsten overeen, dan is de gelijkheid alleen aannemelijk: een bewijs vraagt algebra (uitwerken, herleiden).

Voorbeeld 48.9

Is $2(x + 3)$ gelijk aan $2x + 6$ voor elke $x$ ? Uitwerken bewijst het: $2(x+3) = 2x + 2 \times 3 = 2x + 6$ . Is $(x + 1)^2$ gelijk aan $x^2 + 1$ ? Test $x = 2$ : $(2+1)^2 = 9$ maar $2^2 + 1 = 5$ . Nee — en één tegenvoorbeeld is een volledig bewijs van “nee”.

48.4 Uitdrukkingen opstellen

Voorbeeld 48.10 (Van situatie naar uitdrukking)

Een taxi rekent $4$ euro plus $2$ euro per kilometer. Voor een rit van $k$ kilometer is de prijs

p = 4 + 2k \quad\text{euro}.

Voor $k = 7$ : $p = 4 + 14 = 18$ euro. De uitdrukking is het algemene antwoord; invullen levert elk bijzonder antwoord op.

Voorbeeld 48.11 (Getaltrucs)

“Denk aan een getal, verdubbel het, tel er $10$ bij op, deel door $2$ , en haal je eigen getal eraf.” Noem het getal $n$ en volg de stappen:

n \ \to\ 2n \ \to\ 2n + 10 \ \to\ \frac{2n + 10}{2} = n + 5 \ \to\ n + 5 - n = 5 .

Iedereen krijgt $5$ , wat $n$ ook was — de letters verklaren de goocheltruc.

48.5 Oefeningen

Oefening 48.1 ★

Vereenvoudig de schrijfwijze:

7 \times x, \qquad y \times 3, \qquad a \times b \times 5, \qquad x \times x, \qquad 2 \times (a + 4).

Oplossing

Oplossing van Oefening 48.1.

$7x$ ; $3y$ ; $5ab$ ; $x^2$ ; $2(a + 4)$ .

Oefening 48.2 ★

Zet de $\times$ -tekens terug:

5ab, \qquad 3(x + 2), \qquad x^2 + 4x, \qquad 2a^3 .

Oplossing

Oplossing van Oefening 48.2.

$5ab = 5 \times a \times b$ ; $3(x+2) = 3 \times (x + 2)$ ; $x^2 + 4x = x \times x + 4 \times x$ ; $2a^3 = 2 \times a \times a \times a$ .

Oefening 48.3 ★

Reken uit voor $x = 3$ : $5x + 1$ ; $x^2$ ; $2x^2 - x$ ; $10 - 2x$ .

Oplossing

Oplossing van Oefening 48.3.

Voor $x = 3$ : $5 \times 3 + 1 = 16$ ; $3 \times 3 = 9$ ; $2 \times 9 - 3 = 15$ ; $10 - 6 = 4$ .

Oefening 48.4 ★

Reken $3a + 2b$ en $a b + 5$ uit voor $a = 4$ en $b = 1.5$ .

Oplossing

Oplossing van Oefening 48.4.

$3a + 2b = 12 + 3 = 15$ ; $ab + 5 = 4 \times 1.5 + 5 = 6 + 5 = 11$ .

Oefening 48.5 ★

Herleid:

8x + 5x, \qquad 9a - 4a + a, \qquad 6y + 2 + 3y + 7, \qquad 5t + 3 - 2t - 3 .

Oplossing

Oplossing van Oefening 48.5.

$8x + 5x = 13x$ ; $9a - 4a + a = 6a$ ; $6y + 2 + 3y + 7 = 9y + 9$ ; $5t + 3 - 2t - 3 = 3t$ .

Oefening 48.6 ★

Geef een formule voor: de omtrek van een vierkant met zijde $z$ ; de omtrek van een gelijkbenige driehoek met basis $b$ en gelijke zijden $s$ ; de prijs van $n$ broden van $1.20$ euro per stuk.

Oplossing

Oplossing van Oefening 48.6.

Vierkant: $P = 4z$ . Gelijkbenige driehoek: $P = b + 2s$ . Broden: $p = 1.20\,n$ euro.

Oefening 48.7 ★

Koppel elke uitdrukking aan een beschrijving: $2n$ ; $n + 2$ ; $n^2$ ; $\frac n2$ . Beschrijvingen: “de helft van $n$ ”; “het dubbele van $n$ ”; “het kwadraat van $n$ ”; “twee meer dan $n$ ”.

Oplossing

Oplossing van Oefening 48.7.

$2n$ : het dubbele; $n + 2$ : twee meer dan $n$ ; $n^2$ : het kwadraat; $\frac n2$ : de helft.

Oefening 48.8 ★★

Beslis met Methode 48.8 (met een bewijs of een tegenvoorbeeld) of deze gelijkheden voor elke $x$ gelden:

3(x + 4) = 3x + 12; \qquad 2x + 5 = 7x; \qquad x + x = x^2 .

Oplossing

Oplossing van Oefening 48.8.

$3(x+4) = 3x + 12$ : waar voor elke $x$ (distributiviteit — dit is een bewijs, testen is niet nodig).

$2x + 5 = 7x$ : test $x = 2$ : links $9$ , rechts $14$ — in het algemeen niet waar (het geldt alleen voor $x = 1$ ).

$x + x = x^2$ : test $x = 3$ : links $6$ , rechts $9$ — in het algemeen niet waar ( $x + x = 2x$ ).

Oefening 48.9 ★★

Een rechthoek heeft breedte $b$ en zijn lengte is $3$ cm meer dan zijn breedte.

Druk de lengte uit in $b$ , en daarna de omtrek, en herleid.
Reken de omtrek uit voor $b = 5$ cm, rechtstreeks en met je herleide formule. Hetzelfde antwoord?

Oplossing

Oplossing van Oefening 48.9.

1. Lengte: $b + 3$ . Omtrek:

P = 2\bigl(b + (b + 3)\bigr) = 2(2b + 3) = 4b + 6 .

2. Voor $b = 5$ : rechtstreeks zijn de zijden $5$ en $8$ , dus $P = 2 \times 13 = 26$ cm; met de formule $4 \times 5 + 6 = 26$ cm. Dat komt overeen.

Oefening 48.10 ★★

Volg de truc van Voorbeeld 48.11 met letters: “denk aan een getal, tel er $6$ bij op, vermenigvuldig met $3$ , haal er $18$ af, en deel door je startgetal” (neem aan dat dat niet nul is). Wat krijgt iedereen?

Oplossing

Oplossing van Oefening 48.10.

De stappen met de letter $n$ gevolgd:

n \ \to\ n + 6 \ \to\ 3(n + 6) = 3n + 18 \ \to\ 3n + 18 - 18 = 3n \ \to\ \frac{3n}{n} = 3 .

Iedereen krijgt $3$ .

Oefening 48.11 ★★★

De figuur hieronder is een vierkant met zijde $a$ waaruit in een hoek een vierkant met zijde $b$ is weggehaald ( $b$ kleiner dan $a$ ). Schrijf twee verschillende uitdrukkingen voor haar oppervlakte op (één als verschil, één door de L-vorm in twee rechthoeken te knippen), en ga na dat ze overeenkomen voor $a = 5$ en $b = 2$ .

Oplossing

Oplossing van Oefening 48.11.

Als verschil: $A = a^2 - b^2$ . Door de L in twee rechthoeken te knippen: een strook over de volle breedte met hoogte $a - b$ en daarbovenop een smallere rechthoek:

A = a(a - b) + b(a - b)

(de onderste rechthoek $a$ breed en $a - b$ hoog, de bovenste $a - b$ breed en $b$ hoog geeft de variant $a(a-b) + (a-b)b$ — hetzelfde). Voor $a = 5$ en $b = 2$ : $a^2 - b^2 = 25 - 4 = 21$ , en $5 \times 3 + 2 \times 3 = 15 + 6 = 21$ . Beide uitdrukkingen komen overeen — en dat doen ze altijd: dit is de vermomde merkwaardige gelijkheid $a^2 - b^2 = (a + b)(a - b)$ uit Hoofdstuk 66.

48.6 Opgave: het luciferorakel

Probleem 48.1

Weekendopgave — groeiende patronen en hun $n$ -de term: drie formules voor één patroon, en het beroemde patroon dat bij de zesde stap bezwijkt

Leg luciferstokjes in een rij vierkanten: één vierkant, dan twee, dan drie … Hoeveel stokjes heeft de honderdste figuur nodig? Ze één voor één tellen zou je hele weekend kosten; een formule in $n$ antwoordt in één keer voor elke figuur — precies waar letters voor zijn (Voorbeeld 48.3). Maar pas op: deze opgave eindigt met een gevierd patroon dat vijf stappen eerlijk speelt en daarna iedereen verraadt die erop vertrouwde.

Deel I — Een rij vierkanten. Figuur $1$ is één vierkant van stokjes ( $4$ stokjes); elke volgende figuur voegt er één vierkant aan toe dat een zijde met het vorige deelt.

Teken de figuren $1$ tot $4$ en tel hun stokjes.
Leg uit waarom elk nieuw vierkant precies $3$ extra stokjes kost, en voorspel daarmee het aantal voor figuur $10$ zonder formule.
Verantwoord de formule: figuur $n$ heeft $3n + 1$ stokjes nodig. (Waar komt die eenzame “ $+1$ ” vandaan?) Controleer haar met vraag 1.
Amir denkt anders: “ $4$ stokjes voor het eerste vierkant, en dan $3$ voor elk van de $n - 1$ andere”, dus $4 + 3(n - 1)$ . Werk zijn uitdrukking uit en herleid haar (Propositie 48.6): is hij het met vraag 3 eens?
Lena telt op een derde manier: “ $2n$ horizontale stokjes en $n + 1$ verticale.” Schrijf haar formule op, herleid haar, en besluit. Antwoord daarna op de openingsvraag: hoeveel stokjes voor figuur $100$ ?

Deel II — Driehoeken, tafels en achterstevoren rekenen.

Een rij driehoeken van stokjes (elke nieuwe driehoek leunt tegen de vorige): tel de stokjes voor $1$ , $2$ en $3$ driehoeken, en verantwoord daarna de formule $2n + 1$ voor $n$ driehoeken.
Achterstevoren: hoeveel driehoeken kan de rij hebben met precies $49$ stokjes? (Maak de formule stap voor stap ongedaan.)
Aan vierkante banketttafels zit één gast per vrije zijde. Leg uit waarom de formule voor $n$ tafels in één lange rij $2n + 2$ plaatsen geeft, en controleer haar voor $1$ , $2$ en $3$ tafels.
Op een feest worden $30$ gasten verwacht. Hoeveel tafels heeft één rij nodig? De cateraar zet dezelfde tafels in plaats daarvan in twee rijen van zeven: hoeveel gasten passen er nu? Verklaar de winst met de formule.
Stippenpatroon: figuur $n$ is een L van stippen, $n$ stippen hoog en $n$ stippen breed (de hoekstip één keer geteld). Tel de stippen van de figuren $1$ , $2$ en $3$ , zoek de formule, en noem de getallen die ze oplevert. (Op elkaar gelegd betegelen deze L’s een vierkant — een verhaal dat in Probleem 57.1 verdergaat.)

Deel III — Vertrouwen, testen, bewijzen.

Een klasgenoot beweert dat figuur $n$ van deel I $3(n + 2) - 5$ stokjes nodig heeft. Beslis over die bewering door uit te werken en te herleiden — testen is niet nodig.
“Kwadrateren maakt getallen groter, dus $n^2 \geq n$ voor elk getal $n$ .” Test de bewering voor $n = 2$ , $3$ en $10$ ; zoek daarna een getal waarvoor ze faalt. Wat hebben de drie geslaagde tests bewezen, en wat bewijst die ene mislukking (Methode 48.8)?
Zet punten op een cirkel en teken elk lijnstuk tussen die punten; tel daarna de gebieden binnen de cirkel. Doe het voor $2$ , $3$ , $4$ en $5$ punten (zet de punten ongelijkmatig, zodat er nooit drie lijnstukken door één binnenpunt gaan). Noteer de aantallen. Welke formule fluistert het patroon je in?
Nu $6$ punten, groot en ongelijkmatig getekend, en heel zorgvuldig geteld (er zijn veel kleine gebieden). Hoeveel gebieden vind je — en wat is er met het vermoeden gebeurd?
De moraal, in twee zinnen: wat zou er nodig zijn geweest om het verdubbelvermoeden te bewijzen, en waarom hebben de luciferformules van deel I en II nooit in zo’n gevaar verkeerd? Vier het met een bewezen voorspelling: hoeveel stokjes voor de rij van $2\,026$ vierkanten?

Oplossing

Oplossing van Probleem 48.1.

1. De figuren $1$ tot $4$ hebben $4$ , $7$ , $10$ en $13$ stokjes nodig.

2. Een nieuw vierkant deelt één zijde met de vorige figuur, dus zijn maar $3$ van zijn $4$ zijden nieuwe stokjes. Vanaf figuur $4$ ( $13$ stokjes) kosten zes vierkanten erbij $6 \times 3 = 18$ : figuur $10$ heeft $13 + 18 = 31$ stokjes nodig.

3. Lees de rij van links af: hij begint met één verticaal stokje, en elk van de $n$ vierkanten voegt daarna een boven-, een onder- en een rechterzijde toe — $3$ stokjes per vierkant. Totaal: $3n + 1$ ; die “ $+1$ ” is het allereerste verticale stokje. Controle: $n = 1, 2, 3, 4$ geven $4, 7, 10, 13$ .

4. $4 + 3(n - 1) = 4 + 3n - 3 = 3n + 1$ : de formule van Amir werkt uit tot precies dezelfde herleide uitdrukking. Volledige overeenstemming.

5. Lena: $2n + (n + 1) = 3n + 1$ — opnieuw hetzelfde. Drie manieren van kijken, één herleide vorm. Figuur $100$ : $3 \times 100 + 1 = 301$ stokjes.

6. De aantallen: $3$ , $5$ , $7$ stokjes. Elke nieuwe driehoek leunt tegen een bestaande zijde en voegt maar $2$ stokjes toe, vanaf $3$ : figuur $n$ heeft $3 + 2(n - 1) = 2n + 1$ stokjes nodig.

7. Maak $2n + 1 = 49$ ongedaan: het eerste stokje eraf laat $48$ over, en elke driehoek staat voor $2$ : $48 \div 2 = 24$ driehoeken.

8. In een rij van $n$ tafels biedt elke tafel haar boven- en onderzijde ( $2n$ plaatsen), en de twee tafels aan de uiteinden bieden elk nog een extra zijde ( $+2$ ): $2n + 2$ plaatsen. Controle: $4$ , $6$ , $8$ voor $n = 1, 2, 3$ .

9. Eén rij: $2n + 2 \geq 30$ vraagt $2n \geq 28$ , dus $14$ tafels. Deel je dezelfde $14$ tafels in twee rijen van $7$ : elke rij biedt $2 \times 7 + 2 = 16$ plaatsen, samen $32$ — twee meer dan de enkele rij, omdat elke nieuwe rij twee nieuwe uiteinden meebrengt. (Elke splitsing levert $2$ plaatsen op; cateraars weten dat.)

10. De L van maat $n$ heeft $n$ stippen omhoog en $n$ stippen naar de zijkant, met de hoekstip gedeeld: $n + n - 1 = 2n - 1$ stippen. De figuren $1$ , $2$ en $3$ : $1$ , $3$ en $5$ stippen — de oneven getallen. In elkaar geschoven vullen de L’s een vierkant van $n \times n$ stippen: het verhaal van Probleem 57.1.

11. $3(n + 2) - 5 = 3n + 6 - 5 = 3n + 1$ : de bewering herleidt tot de bewezen formule, dus is ze juist voor elke $n$ — vastgesteld met algebra en niet met voorbeelden.

12. Tests: $4 \geq 2$ , $9 \geq 3$ , $100 \geq 10$ : alle drie geslaagd. Maar $n = 0.5$ geeft $n^2 = 0.25 < 0.5$ : de bewering faalt. De drie tests bewezen niets over alle getallen (ze vonden alleen geen problemen); dat ene tegenvoorbeeld bewijst dat de algemene bewering onjuist is (Methode 48.8). Een letter staat voor elk getal — decimalen inbegrepen.

13. Gebieden: $2$ punten $\to 2$ ; $3$ punten $\to 4$ ; $4$ punten $\to 8$ ; $5$ punten $\to 16$ . Het patroon fluistert “elk punt verdubbelt het aantal”: voor $6$ punten verwacht je $32$ gebieden.

14. Zorgvuldig tellen geeft $31$ gebieden — geen $32$ . Het verdubbelvermoeden is dood: het doorstond vier controles en faalde bij de vijfde. (Dit tegenvoorbeeld is beroemd genoeg om een naam te hebben, “de valstrik van de cirkelgebieden”; en geen sluiproutes met gelijkmatig verdeelde punten — drie koorden door één punt zouden gebieden laten samensmelten en de telling bederven.)

15. Een bewijs zou een structurele reden nodig hebben gehad waarom een punt erbij het aantal gebieden verdubbelt — en die is er niet: het verdubbelen was een toevalligheid van kleine gevallen. De luciferformules waren veilig omdat elk van hen rechtstreeks van de constructie is afgelezen (elk vierkant kost zichtbaar $3$ stokjes, elke tafel biedt zichtbaar $2$ plaatsen): structuur, geen testen. Een bewezen voorspelling: $3 \times 2\,026 + 1 = 6\,079$ stokjes.