Wiskunde basisschool en onderbouw · Grades 1–9

45Voorrangsregels

Hoeveel is $3 + 4 \times 5$ ? Reken je van links naar rechts, dan krijg je $35$ ; vermenigvuldig je eerst, dan krijg je $23$ . De wiskunde heeft één enkel antwoord nodig, en dus zijn er verkeersregels voor berekeningen — de voorrangsregels. Dit hoofdstuk zet ze op een rij en introduceert een eerste algebraïsche eigenschap: de distributiviteit.

45.1 De voorrangsregels

Stelling 45.1 (Voorrangsregels)

In een berekening zonder haakjes:

worden vermenigvuldigingen en delingen voor optellingen en aftrekkingen uitgevoerd;
worden bewerkingen van hetzelfde niveau van links naar rechts uitgevoerd.

Haakjes gaan boven alles: wat tussen haakjes staat, wordt eerst uitgerekend, te beginnen bij de binnenste.

Voorbeeld 45.2

Eén stap per regel, met (in gedachten) een streep onder wat je uitrekent:

\begin{align*} 3 + 4 \times 5 &= 3 + 20 = 23 &&\text{(eerst de vermenigvuldiging)}\\ 20 - 8 + 2 &= 12 + 2 = 14 &&\text{(zelfde niveau: van links naar rechts)}\\ 18 \div 3 \times 2 &= 6 \times 2 = 12 &&\text{(zelfde niveau: van links naar rechts)}\\ (3 + 4) \times 5 &= 7 \times 5 = 35 &&\text{(eerst de haakjes).} \end{align*}

Let op de valstrikken: $20 - 8 + 2$ is niet $20 - 10$ , en $18 \div 3 \times 2$ is niet $18 \div 6$ .

Voorbeeld 45.3 (Haakjes in haakjes)

\begin{align*} 50 - 2 \times \bigl(3 + (10 - 4)\bigr) &= 50 - 2 \times (3 + 6) && \text{(binnenste haakje)}\\ &= 50 - 2 \times 9 && \text{(resterend haakje)}\\ &= 50 - 18 && \text{(vermenigvuldiging)}\\ &= 32 . \end{align*}

Opmerking 45.4 (In de breukstreep zitten haakjes verstopt)

Een breukstreep groepeert haar teller en haar noemer, alsof elk van beide onzichtbare haakjes heeft:

\frac{12 + 8}{4} = \frac{20}{4} = 5, \qquad\text{en niet}\quad 12 + \frac{8}{4} = 14 .

Methode 45.5 (Veilig rekenen)

Zoek de bewerking die als eerste moet (binnenste haakjes, dan $\times$ en $\div$ , dan $+$ en $-$ );
reken alleen die uit en schrijf de hele uitdrukking opnieuw, met de uitkomst op zijn plaats;
herhaal tot er één getal overblijft — één bewerking per regel, geen sluiproutes.

45.2 Distributiviteit

Stelling 45.6 (Distributiviteit)

Voor alle getallen $k$ , $a$ en $b$ geldt:

k \times (a + b) = k \times a + k \times b, \qquad k \times (a - b) = k \times a - k \times b .

Bewijs met een plaatje. Tel de oppervlakte van een rechthoek met breedte $k$ die in twee kleinere rechthoeken met lengtes $a$ en $b$ verdeeld is: in één geheel is het $k \times (a+b)$ ; in twee delen is het $k \times a + k \times b$ . Dezelfde rechthoek, dezelfde oppervlakte. ∎

Distributiviteit als oppervlaktes: de grote rechthoek k × (a + b) is de som van de twee kleinere. — Distributiviteit als oppervlaktes: de grote rechthoek $k \times (a + b)$ is de som van de twee kleinere.

Voorbeeld 45.7 (Beide richtingen)

Uitwerken (van links naar rechts) maakt hoofdrekenen makkelijk:

7 \times 103 = 7 \times (100 + 3) = 700 + 21 = 721, \qquad 6 \times 98 = 6 \times (100 - 2) = 600 - 12 = 588 .

Ontbinden (van rechts naar links) haalt een gemeenschappelijke factor naar buiten:

23 \times 12 + 23 \times 8 = 23 \times (12 + 8) = 23 \times 20 = 460 .

Voorbeeld 45.8 (Woorden in een berekening omzetten)

“De som van $8$ en het product van $5$ en $3$ ” is $8 + 5 \times 3 = 23$ . “Het product van $5$ en de som van $8$ en $3$ ” is $5 \times (8 + 3) = 55$ : de woorden “het product van … en de som van…” zetten haakjes om de som.

45.3 Oefeningen

Oefening 45.1 ★

Reken uit, één bewerking per regel:

5 + 3 \times 6, \qquad (5 + 3) \times 6, \qquad 30 - 12 \div 4, \qquad (30 - 12) \div 4 .

Oplossing

Oplossing van Oefening 45.1.

$5 + 3 \times 6 = 5 + 18 = 23$ .

$(5 + 3) \times 6 = 8 \times 6 = 48$ .

$30 - 12 \div 4 = 30 - 3 = 27$ .

$(30 - 12) \div 4 = 18 \div 4 = 4.5$ .

Oefening 45.2 ★

Reken uit:

24 - 6 + 2, \qquad 24 \div 6 \times 2, \qquad 24 - 6 \times 2, \qquad 24 \div (6 \times 2).

Oplossing

Oplossing van Oefening 45.2.

$24 - 6 + 2 = 18 + 2 = 20$ (van links naar rechts).

$24 \div 6 \times 2 = 4 \times 2 = 8$ (van links naar rechts).

$24 - 6 \times 2 = 24 - 12 = 12$ (eerst de vermenigvuldiging).

$24 \div (6 \times 2) = 24 \div 12 = 2$ .

Oefening 45.3 ★

Reken stap voor stap uit:

7 + 3 \times (10 - 6), \qquad 40 - (2 + 3) \times 4, \qquad 60 \div \bigl(2 \times (7 - 4)\bigr).

Oplossing

Oplossing van Oefening 45.3.

$7 + 3 \times (10 - 6) = 7 + 3 \times 4 = 7 + 12 = 19$ .

$40 - (2 + 3) \times 4 = 40 - 5 \times 4 = 40 - 20 = 20$ .

$60 \div \bigl(2 \times (7 - 4)\bigr) = 60 \div (2 \times 3) = 60 \div 6 = 10$ .

Oefening 45.4 ★

Reken de breuken uit (onzichtbare haakjes!):

\frac{18 + 6}{8}, \qquad \frac{30}{7 - 2}, \qquad \frac{5 \times 8}{4 + 6} .

Oplossing

Oplossing van Oefening 45.4.

$\dfrac{18 + 6}{8} = \dfrac{24}{8} = 3$ ; $\dfrac{30}{7 - 2} = \dfrac{30}{5} = 6$ ; $\dfrac{5 \times 8}{4 + 6} = \dfrac{40}{10} = 4$ .

Oefening 45.5 ★

Reken met distributiviteit uit het hoofd:

8 \times 102, \qquad 25 \times 99, \qquad 14 \times 12 + 14 \times 8, \qquad 37 \times 45 - 37 \times 35 .

Oplossing

Oplossing van Oefening 45.5.

$8 \times 102 = 8 \times (100 + 2) = 800 + 16 = 816$ .

$25 \times 99 = 25 \times (100 - 1) = 2500 - 25 = 2475$ .

$14 \times 12 + 14 \times 8 = 14 \times (12 + 8) = 14 \times 20 = 280$ .

$37 \times 45 - 37 \times 35 = 37 \times (45 - 35) = 37 \times 10 = 370$ .

Oefening 45.6 ★

Schrijf de berekening op één regel, met haakjes waar dat nodig is, en reken haar uit: “het verschil van $50$ en het product van $6$ en $7$ ”; “het product van de som van $4$ en $5$ met het verschil van $10$ en $8$ ”.

Oplossing

Oplossing van Oefening 45.6.

“Het verschil van $50$ en het product van $6$ en $7$ ”: $50 - 6 \times 7 = 50 - 42 = 8$ (geen haakjes nodig; de voorrangsregel doet het werk).

“Het product van de som van $4$ en $5$ met het verschil van $10$ en $8$ ”: $(4 + 5) \times (10 - 8) = 9 \times 2 = 18$ .

Oefening 45.7 ★

Amir kocht $3$ schriften van $2.50$ per stuk en $2$ pennen van $1.20$ per stuk. Schrijf zijn totaal in één uitdrukking en reken die uit.

Oplossing

Oplossing van Oefening 45.7.

$3 \times 2.50 + 2 \times 1.20 = 7.50 + 2.40 = 9.90$ euro.

Oefening 45.8 ★★

Zet haakjes in $4 + 2 \times 5 - 1$ zodat de uitkomst is: (a) $13$ ; (b) $29$ ; (c) $24$ . (Bij een van de drie zijn geen haakjes nodig — bij welke?)

Oplossing

Oplossing van Oefening 45.8.

(a) zonder haakjes: $4 + 2 \times 5 - 1 = 4 + 10 - 1 = 13$ .

(b) $(4 + 2) \times 5 - 1 = 30 - 1 = 29$ .

Oefening 45.9 ★★

Zijn $12 + 4 \times k$ en $16 \times k$ hetzelfde voor elk getal $k$ ? Test met $k = 1$ en $k = 2$ , en besluit. Welke fout met de voorrangsregels zou van de ene naar de andere leiden?

Oplossing

Oplossing van Oefening 45.9.

$k = 1$ : $12 + 4 \times 1 = 16$ en $16 \times 1 = 16$ — die komen overeen (en daarom is $k = 1$ een slechte test!). $k = 2$ : $12 + 4 \times 2 = 20$ maar $16 \times 2 = 32$ : verschillend. De twee uitdrukkingen zijn dus in het algemeen niet gelijk. De fout $12 + 4 \times k = 16 \times k$ komt van eerst $12 + 4$ optellen, en zo de voorrang van $\times$ negeren.

Oefening 45.10 ★★

Een bioscoopkaartje kost $9$ euro, maar een groep van $n$ personen betaalt een vast bedrag van $12$ euro plus $6$ euro per persoon.

Schrijf een uitdrukking voor de groepsprijs op en reken haar uit voor $n = 5$ .
Vanaf hoeveel personen is het groepstarief goedkoper dan $n$ losse kaartjes? (Probeer een paar waarden van $n$ .)

Oplossing

Oplossing van Oefening 45.10.

1. Groepsprijs: $12 + 6 \times n$ . Voor $n = 5$ : $12 + 30 = 42$ euro.

2. Losse prijs: $9n$ . Vergelijk: $n = 3$ : $30$ tegen $27$ (los goedkoper); $n = 4$ : $36$ tegen $36$ (gelijk); $n = 5$ : $42$ tegen $45$ (groep goedkoper). Vanaf $5$ personen wint het groepstarief (elke extra persoon kost $6$ in plaats van $9$ , dus wordt het verschil alleen groter).

Oefening 45.11 ★★★

Schrijf met de cijfers $1$ , $2$ , $3$ en $4$ , elk precies één keer, en met de vier bewerkingen en haakjes naar believen, uitdrukkingen die gelijk zijn aan $24$ , aan $10$ en aan $1$ .

Oplossing

Oplossing van Oefening 45.11.

Mogelijke antwoorden (er zijn er veel):

24 = 1 \times 2 \times 3 \times 4, \qquad 10 = 1 + 2 + 3 + 4, \qquad 1 = (4 - 3) \times (2 - 1).

45.4 Opgave: vermenigvuldigen als een Egyptische schrijver

Probleem 45.1

Weekendopgave — hoofdrekentrucs uit de distributiviteit, en het vermenigvuldigen met verdubbelen en halveren dat vierduizend jaar gebruikt is

Lang voor de rekenmachine — en voordat de tafels op school werden ingestampt — vermenigvuldigden Egyptische schrijvers en Russische boeren elke twee getallen met alleen verdubbelen, halveren en optellen. Hun methode lijkt magie; ze is in werkelijkheid de distributiviteit (Stelling 45.6) op volle kracht. Deze opgave scherpt eerst je hoofdrekenen, leert je daarna de oude methode, en opent tot slot de motorkap om te zien waarom ze precies werkt.

Deel I — De kunst van het niet-rekenen.

Reken uit het hoofd uit, door uit te werken zoals in Voorbeeld 45.7: $7 \times 102$ en $9 \times 98$ .
Reken uit het hoofd uit, door te ontbinden: $17 \times 13 + 17 \times 7$ en $45 \times 101 - 45$ .
De “keer $5$ ”-truc: om met $5$ te vermenigvuldigen, vermenigvuldig je met $10$ en halveer je. Reken $5 \times 87$ zo uit, en leg uit waarom de truc mag.
Nog twee trucs om te verantwoorden en te gebruiken: met $25$ vermenigvuldigen door met $100$ te vermenigvuldigen en door $4$ te delen (reken $25 \times 32$ uit); met $99$ vermenigvuldigen door met $100$ te vermenigvuldigen en er één keer af te trekken (reken $99 \times 47$ uit).
Een waarschuwingsschot: distributiviteit verdeelt een factor over een som, nooit over een product. Vergelijk $8 \times (5 + 3)$ met $8 \times 5 + 8 \times 3$ , en daarna $8 \times (5 \times 3)$ met $(8 \times 5) \times (8 \times 3)$ : welk paar komt overeen, en welk niet?

Deel II — De methode van verdubbelen en halveren. Hier is het recept voor $13 \times 24$ . Schrijf twee kolommen. Linkerkolom: begin bij $13$ en halveer, waarbij je elke rest laat vallen, tot $1$ : $13,\ 6,\ 3,\ 1$ . Rechterkolom: begin bij $24$ en verdubbel even vaak: $24,\ 48,\ 96,\ 192$ . Streep elke rij door waarvan het linker getal even is, en tel de overgebleven rechtergetallen op.

Voer het recept uit voor $13 \times 24$ : welke rij wordt doorgestreept, welke som blijft er over, en is die gelijk aan $13 \times 24$ ?
Vermenigvuldig $21 \times 17$ met de methode (halveer $21$ , verdubbel $17$ ) en controleer het antwoord met een gewone vermenigvuldiging.
Vermenigvuldig $16 \times 25$ met de methode. Hoeveel rijen blijven er over, en wat is er bijzonder aan een linkerkolom die begint met $1$ , $2$ , $4$ , $8$ , $16, \dots$ ?
Nu waarom het werkt, stap voor stap. Verantwoord elke gelijkheid met distributiviteit:

$13 \times 24 = (12 + 1) \times 24 = 12 \times 24 + 24 = 6 \times 48 + 24 .$

De moraal: links halveren en rechts verdubbelen laat het product gelijk — maar als het linkergetal oneven is, splitst er één kopie van het rechtergetal af die je op de bank moet zetten. Welk getal zet de eerste rij van de tabel op de bank?
Ga met de boekhouding verder naar beneden in de tabel: $6 \times 48 = 3 \times 96$ , dan $3 \times 96 = 1 \times 192 + 96$ , en dan $1 \times 192 = 192$ . Verzamel alles wat je onderweg op de bank hebt gezet, en leg uit waarom de bankgetallen precies de rechtergetallen zijn van de rijen met een oneven linkergetal — de rijen die het recept bewaart.

Deel III — Onder de motorkap: sommen van verdubbelingen.

In vraag 6 waren de overgebleven rijen $1$ , $4$ en $8$ verdubbelingen van $24$ waard: de methode schreef in stilte $13 \times 24 = (1 + 4 + 8) \times 24$ . Ga na dat $1 + 4 + 8 = 13$ , en zoek welke verdubbelingen ( $1$ , $2$ , $4$ , $8$ , $16$ ) de methode voor $21$ in vraag 7 bewaarde.
Schrijf $25$ en $42$ als sommen van getallen uit het verdubbelrijtje $1, 2, 4, 8, 16, 32$ , met elk getal hoogstens één keer.
Leg uit waarom elk heel getal zo geschreven kan worden: neem het grootste verdubbelgetal dat past, trek het af, en herhaal — waarom moet dit ophouden? Schrijf $100$ als zo’n som.
De schrijvers van Egypte deden precies dit, vierduizend jaar geleden: om $19 \times 35$ te vermenigvuldigen, maakten ze een verdubbeltabel van $35$ ( $1 \to 35$ , $2 \to 70$ , $4 \to 140$ , $8 \to 280$ , $16 \to 560$ ), kozen de rijen die samen $19$ maken, en telden op. Maak de berekening op hun manier.
Finale: moderne computers, die met $0$ ’en en $1$ ’en rekenen, vermenigvuldigen in wezen als de schrijvers — met verdubbelingen en optellingen. Welke drie optellingen zou een computer maken voor $13 \times 24$ ? (Waarom elk getal in verdubbelingen uiteenvalt, en wat $0$ ’en en $1$ ’en daarmee te maken hebben, is de weekendopgave van het hoofdstuk over machten: Probleem 56.1.)

Oplossing

Oplossing van Probleem 45.1.

1. $7 \times 102 = 7 \times (100 + 2) = 700 + 14 = 714$ ; $9 \times 98 = 9 \times (100 - 2) = 900 - 18 = 882$ .

2. $17 \times 13 + 17 \times 7 = 17 \times (13 + 7) = 17 \times 20 = 340$ ; $45 \times 101 - 45 = 45 \times (101 - 1) = 45 \times 100 = 4\,500$ .

3. $5 \times 87 = 870 \div 2 = 435$ . Waarom het mag: $5 = 10 \div 2$ , dus is met $5$ vermenigvuldigen hetzelfde als met $10$ vermenigvuldigen en dan door $2$ delen (de volgorde van $\times$ en $\div$ op hetzelfde niveau, van links naar rechts, doet de rest).

4. $25 \times 32 = 3\,200 \div 4 = 800$ , want $25 = 100 \div 4$ . En $99 \times 47 = (100 - 1) \times 47 = 4\,700 - 47 = 4\,653$ : distributiviteit over het verschil (Stelling 45.6).

5. $8 \times (5 + 3) = 64$ en $8 \times 5 + 8 \times 3 = 40 + 24 = 64$ : die komen overeen — dat is de distributiviteit. Maar $8 \times (5 \times 3) = 8 \times 15 = 120$ , terwijl $(8 \times 5) \times (8 \times 3) = 40 \times 24 = 960$ : geen overeenkomst. De factor verdeelt zich over de termen van een som, niet over de factoren van een product.

$13$	$24$	bewaard ( $13$ oneven)
$6$	$48$	doorgestreept ( $6$ even)
$3$	$96$	bewaard
$1$	$192$	bewaard

De som van de overgebleven rechtergetallen: $24 + 96 + 192 = 312$ , en inderdaad is $13 \times 24 = 312$ .

7. $21$ halveren: $21, 10, 5, 2, 1$ ; $17$ verdubbelen: $17, 34, 68, 136, 272$ . De even linkergetallen $10$ en $2$ worden doorgestreept; wat overblijft is $17 + 68 + 272 = 357$ . Controle: $21 \times 17 = 357$ .

8. $16$ halveren: $16, 8, 4, 2, 1$ ; $25$ verdubbelen: $25, 50, 100, 200, 400$ . Elk linkergetal behalve de laatste $1$ is even: er blijft één rij over, en het antwoord is $400$ . Een linkerkolom die uit pure verdubbelingen bestaat, bewaart alleen haar laatste rij — de methode valt terug op verdubbelen alleen.

9. $13 = 12 + 1$ , dus volgens de distributiviteit is $13 \times 24 = 12 \times 24 + 1 \times 24$ ; en $12 \times 24 = 6 \times 48$ , omdat één factor halveren terwijl je de andere verdubbelt het product gelijk laat ( $12 \times 24 = 6 \times 2 \times 24 = 6 \times 48$ ). Het oneven linkergetal $13$ splitste één kopie van het rechtergetal af: de eerste rij zet $24$ op de bank.

10. $6 \times 48 = 3 \times 96$ (halveren en verdubbelen, niets op de bank: $6$ is even). $3 \times 96 = 2 \times 96 + 96 = 1 \times 192 + 96$ : de oneven $3$ zet $96$ op de bank. Tot slot $1 \times 192 = 192$ : de oneven $1$ zet $192$ op de bank en de tabel is uit. Totaal op de bank: $24 + 96 + 192 = 312$ . Een rij zet haar rechtergetal precies dan op de bank als haar linkergetal oneven is — het recept “bewaar de rijen met een oneven linkergetal en tel op” is dus precies de boekhouding van de distributiviteit.

11. $1 + 4 + 8 = 13$ . Voor $21$ waren de overgebleven rijen die van $17$ , $68 = 4 \times 17$ en $272 = 16 \times 17$ : de verdubbelingen $1 + 4 + 16 = 21$ .

12. $25 = 16 + 8 + 1$ en $42 = 32 + 8 + 2$ .

13. Neem het grootste verdubbelgetal dat niet groter is dan het doel en trek het af; wat overblijft is kleiner, en ook kleiner dan het net gebruikte verdubbelgetal (anders zou een groter getal gepast hebben). Bij herhaling krimpt de rest strikt en moet hij $0$ bereiken: het proces stopt, en de gebruikte verdubbelingen zijn allemaal verschillend. Voor $100$ : $64$ past ( $36$ over), $32$ past ( $4$ over), $4$ past ( $0$ over): $100 = 64 + 32 + 4$ .

14. Verdubbeltabel van $35$ : $1 \to 35$ , $2 \to 70$ , $4 \to 140$ , $8 \to 280$ , $16 \to 560$ . Omdat $19 = 16 + 2 + 1$ , kies je die rijen: $560 + 70 + 35 = 665$ . Controle: $19 \times 35 = 665$ .

15. Dezelfde drie als bij de schrijver en de boer: $24 + 96 + 192$ — de verdubbelingen van $24$ die door $13 = 1 + 4 + 8$ gekozen worden. Getallen als sommen van verdubbelingen schrijven is precies ze met $0$ ’en en $1$ ’en schrijven; het hele verhaal staat in Probleem 56.1.