Wiskunde basisschool en onderbouw · Grades 1–9

42Spiegelsymmetrie

Vouw een blad papier langs een lijn: elk punt landt op een ander punt, zijn spiegelbeeld. Dat vouwen is spiegelsymmetrie (of spiegeling), de eerste meetkundige transformatie van dit boek — de tweede, de puntspiegeling, komt in Hoofdstuk 52.

42.1 Spiegelingen

Definitie 42.1 (Spiegelbeeld van een punt)

Zij $d$ een lijn. Het spiegelbeeld van een punt $M$ in $d$ is het punt $M'$ waarvoor $d$ de middelloodlijn van $[MM']$ is: het lijnstuk $[MM']$ staat loodrecht op $d$ , en $d$ snijdt het in zijn midden. Een punt op $d$ is zijn eigen spiegelbeeld.

Spiegelen in de lijn d: de as staat loodrecht op [MM'] en gaat door zijn midden (gelijke streepjes). Een punt P op de as beweegt niet. — Spiegelen in de lijn $d$ : de as staat loodrecht op $[MM']$ en gaat door zijn midden (gelijke streepjes). Een punt $P$ op de as beweegt niet.

Methode 42.2 (Een spiegelbeeld construeren)

Om het spiegelbeeld $M'$ van $M$ in de lijn $d$ te construeren:

teken de loodlijn op $d$ door $M$ (met de geodriehoek); noem $H$ het punt waar hij $d$ snijdt;
meet $MH$ met de passer of de lat;
zet $M'$ op dezelfde loodlijn, aan de andere kant van $d$ , met $HM' = MH$ .

Op ruitjespapier gaat het sneller: tel de vakjes van $M$ tot de as, en tel er even veel aan de andere kant.

Voorbeeld 42.3 (Op een raster)

Is de as een verticale rasterlijn en ligt $M$ $3$ vakjes links ervan, dan ligt $M'$ $3$ vakjes rechts ervan, op dezelfde rij. Bij een diagonale as werkt het tellen langs diagonalen — altijd loodrecht op de as.

Een figuur en haar spiegelbeeld in de verticale as: elk hoekpunt wordt vakje voor vakje gespiegeld, en links en rechts worden verwisseld.

Propositie 42.4 (Wat een spiegeling bewaart)

Het spiegelbeeld van een figuur in een lijn is een figuur met dezelfde vorm en dezelfde maat: lengtes, hoeken, omtrekken en oppervlaktes blijven allemaal bewaard. Het spiegelbeeld van een lijnstuk is een lijnstuk, van een cirkel een cirkel met dezelfde radius, van een lijn een lijn.

Bewijs. Op dit niveau zonder bewijs aangenomen. ∎

Opmerking 42.5

Eén ding blijft niet bewaard: de omloopsrichting. Een gespiegelde “b” wordt een “d” — spiegelschrift. Als je je figuur overtrekt, het overtrekpapier omklapt en het beeld precies terugkrijgt, dan is de spiegeling juist.

42.2 Symmetrieassen van een figuur

Definitie 42.6 (Symmetrieas)

Een lijn $d$ is een symmetrieas van een figuur als de spiegeling in $d$ de figuur precies op zichzelf afbeeldt — langs $d$ vouwen laat de twee helften op elkaar passen.

Symmetrieassen van bekende figuren. Pas op bij de rechthoek: zijn diagonalen zijn geen symmetrieassen (vouw langs een diagonaal — de helften passen niet op elkaar, tenzij het een vierkant is). — Symmetrieassen van bekende figuren. Pas op bij de rechthoek: zijn diagonalen zijn *geen* symmetrieassen (vouw langs een diagonaal — de helften passen niet op elkaar, tenzij het een vierkant is).

Voorbeeld 42.7

Symmetrieassen tellen:

gelijkbenige driehoek: $1$ (door de top en het midden van de basis); gelijkzijdige driehoek: $3$ ;
rechthoek: $2$ (de twee “middellijnen”, niet de diagonalen); ruit: $2$ (haar diagonalen!); vierkant: $4$ ;
cirkel: elke lijn door het middelpunt — oneindig veel.

Voorbeeld 42.8 (Symmetrie bewijst gelijkheden)

Waarom zijn de twee basishoeken van een gelijkbenige driehoek gelijk? Vouw de driehoek langs zijn symmetrieas: de linkerhelft landt precies op de rechterhelft, dus landt de linkerbasishoek op de rechterbasishoek — ze moeten dezelfde maat hebben (Propositie 42.4: spiegelingen bewaren hoeken).

42.3 Middelloodlijn

Definitie 42.9 (Middelloodlijn)

De middelloodlijn van een lijnstuk $[AB]$ is de lijn die loodrecht op $[AB]$ staat en door zijn midden gaat — het is de symmetrieas die $A$ en $B$ verwisselt.

Propositie 42.10 (Gelijke afstanden)

Een punt $M$ ligt op de middelloodlijn van $[AB]$ precies dan als het op dezelfde afstand van $A$ en van $B$ ligt: $MA = MB$ .

Bewijs. Op dit niveau zonder bewijs aangenomen. ∎

Methode 42.11 (Constructie met de passer)

Om de middelloodlijn van $[AB]$ te tekenen zonder te meten:

zet de passer open op meer dan de helft van $AB$ ;
teken twee bogen met $A$ als middelpunt, boven en onder het lijnstuk;
teken met dezelfde opening twee bogen met $B$ als middelpunt;
verbind de twee snijpunten: die lijn is de middelloodlijn (elk snijpunt ligt op gelijke afstand van $A$ en $B$ ).

42.4 Oefeningen

Oefening 42.1 ★

Neem over op ruitjespapier: een verticale as $d$ , een punt $A$ twee vakjes links ervan, en een punt $B$ vijf vakjes links ervan en één vakje hoger. Construeer hun spiegelbeelden $A'$ en $B'$ in $d$ .

Oplossing

Oplossing van Oefening 42.1.

$A'$ ligt twee vakjes rechts van $d$ , op dezelfde rij als $A$ ; $B'$ ligt vijf vakjes rechts en één vakje hoger — spiegelposities.

Oefening 42.2 ★

Teken een lijn $d$ en een punt $M$ op $3$ cm van $d$ (niet op ruitjespapier). Construeer met geodriehoek en lat het spiegelbeeld $M'$ van $M$ in $d$ , volgens Methode 42.2. Hoe ver liggen $M$ en $M'$ van elkaar?

Oplossing

Oplossing van Oefening 42.2.

De loodlijn op $d$ door $M$ , met voetpunt $H$ ; dan $M'$ aan de andere kant met $HM' = MH = 3$ cm. De afstand $MM'$ is $3 + 3 = 6$ cm.

Oefening 42.3 ★

Welke hoofdletters van het alfabet hebben, in hun eenvoudigste vorm geschreven, een verticale symmetrieas (zoals A)? En een horizontale (zoals B)? En beide?

Oplossing

Oplossing van Oefening 42.3.

Verticale as (zoals A): A, H, I, M, O, T, U, V, W, X, Y. Horizontale as (zoals B): B, C, D, E, H, I, K, O, X. Beide: H, I, O, X. (De precieze antwoorden hangen een beetje af van hoe je de letters tekent.)

Oefening 42.4 ★

Hoeveel symmetrieassen heeft: een gelijkzijdige driehoek? een rechthoek die geen vierkant is? een ruit die geen vierkant is? een vierkant? een cirkel? Teken elke figuur met haar assen.

Oplossing

Oplossing van Oefening 42.4.

Gelijkzijdige driehoek: $3$ assen. Rechthoek: $2$ (de middelloodlijnen van zijn zijden). Ruit: $2$ (haar diagonalen). Vierkant: $4$ . Cirkel: oneindig veel (elke lijn door het middelpunt).

Oefening 42.5 ★

Waar of niet waar? “De diagonalen van een rechthoek zijn symmetrieassen van de rechthoek.” Leg het uit met een vouwargument of een tekening.

Oplossing

Oplossing van Oefening 42.5.

Niet waar. Een rechthoek die geen vierkant is, langs een diagonaal vouwen laat de twee helften niet samenvallen: de twee driehoeken hebben dezelfde vorm, maar liggen anders — probeer het met een blad papier. Alleen bij een vierkant werken de diagonalen als assen.

Oefening 42.6 ★

Een driehoek $ABC$ wordt in een lijn $d$ gespiegeld op $A'B'C'$ . Gegeven $AB = 4$ cm, $\widehat{BAC} = 70^\circ$ en een omtrek van $ABC$ van $12$ cm: geef zonder enige constructie $A'B'$ , $\widehat{B'A'C'}$ en de omtrek van $A'B'C'$ .

Oplossing

Oplossing van Oefening 42.6.

Spiegelingen bewaren lengtes, hoeken en omtrekken (Propositie 42.4): $A'B' = 4$ cm, $\widehat{B'A'C'} = 70^\circ$ , en de omtrek van $A'B'C'$ is $12$ cm.

Oefening 42.7 ★

Teken een lijnstuk $[AB]$ van $7$ cm en construeer zijn middelloodlijn met de passer (Methode 42.11). Kies een willekeurig punt $M$ erop en controleer met de lat dat $MA = MB$ .

Oplossing

Oplossing van Oefening 42.7.

Constructie met de passer zoals in Methode 42.11. Voor elk punt $M$ op de lijn bevestigt de lat dat $MA = MB$ (Propositie 42.10).

Oefening 42.8 ★★

Twee bomen staan in de punten $A$ en $B$ van een (vlakke) tuin. Waar kun je een fontein plaatsen zodat die op dezelfde afstand van beide bomen staat? Beschrijf alle mogelijke plekken.

Oplossing

Oplossing van Oefening 42.8.

Alle punten op gelijke afstand van $A$ en $B$ vormen de middelloodlijn van $[AB]$ (Propositie 42.10). De fontein mag overal op die lijn staan (binnen de tuin).

Oefening 42.9 ★★

Teken op ruitjespapier de as $d$ (een diagonaal van het raster onder $45^\circ$ ) en een klein L-vormig figuurtje aan één kant. Construeer haar spiegelbeeld in $d$ . (Spiegel elk hoekpunt: bij een as van $45^\circ$ landt een punt $2$ vakjes rechts van de as $2$ vakjes erboven.)

Oplossing

Oplossing van Oefening 42.9.

Elk hoekpunt wordt loodrecht op de as gespiegeld: bij de as van $45^\circ$ landt een punt $k$ vakjes rechts van de as $k$ vakjes erboven (en omgekeerd) — de horizontale en verticale verplaatsingen worden verwisseld. Spiegel de hoekpunten één voor één en verbind ze daarna op volgorde.

Oefening 42.10 ★★

Teken een cirkel met middelpunt $O$ , een lijn $d$ door $O$ , en een punt $M$ op de cirkel. Waar ligt het spiegelbeeld van $M$ in $d$ ? Leg uit waarom de spiegeling de cirkel op zichzelf afbeeldt.

Oplossing

Oplossing van Oefening 42.10.

Het spiegelbeeld van $M$ is het tweede snijpunt van de cirkel met de loodlijn op $d$ door $M$ — het ligt op de cirkel. De reden: de spiegeling bewaart afstanden en houdt $O$ op zijn plaats (dat ligt op $d$ ), dus ligt het beeld van elk punt op afstand $r$ van $O$ weer op afstand $r$ van $O$ : de cirkel wordt op zichzelf afgebeeld.

Oefening 42.11 ★★

Leg met de eigenschap van de gelijke afstanden (Propositie 42.10) uit waarom de twee snijpunten van de bogen in Methode 42.11 echt op de middelloodlijn van $[AB]$ liggen.

Oplossing

Oplossing van Oefening 42.11.

Elk snijpunt $P$ is met dezelfde passeropening $\rho$ vanuit $A$ en vanuit $B$ getekend: dus $PA = \rho = PB$ . Volgens Propositie 42.10 ligt een punt op gelijke afstand van $A$ en $B$ op de middelloodlijn van $[AB]$ ; twee zulke punten bepalen de lijn.

Oefening 42.12 ★★★

Een biljartbal in punt $A$ moet via een rechte wand $d$ het punt $B$ bereiken (beide aan dezelfde kant van de wand). Spiegel $B$ in $d$ op $B'$ en teken het lijnstuk $[AB']$ . Leg uit waarom het beste stuitpunt daar ligt waar $[AB']$ de wand snijdt. (Idee: het pad $A \to P \to B$ is even lang als $A \to P \to B'$ .)

Oplossing

Oplossing van Oefening 42.12.

Voor elk stuitpunt $P$ op de wand geldt $PB = PB'$ (de spiegeling in $d$ bewaart afstanden), dus is de padlengte $AP + PB = AP + PB'$ . De gebroken lijn $A \to P \to B'$ is het kortst als hij recht is, dus als $P$ op het lijnstuk $[AB']$ ligt. Het beste stuitpunt is dus het snijpunt van $[AB']$ met de wand.

42.5 Opgave: de fontein, het gebroken bord en de wandelende spiegel

Probleem 42.1

Weekendopgave — de drie middelloodlijnen van een driehoek komen in één punt samen: de cirkel door drie punten, en wat twee spiegels samen doen

In Oefening 42.8 moest een fontein op gelijke afstand van twee bomen staan, en het antwoord was een hele lijn plekken. In deze opgave plant je een derde boom — en stort die hele lijn in tot één perfect bepaald punt. In dat punt zit een schat van meetkunde verstopt: het levert je de enige cirkel door drie gegeven punten, laat je een heel bord uit één scherf terugbouwen, en het hoort bij elke driehoek. In het laatste deel doe je een proef met twee spiegels waarvan de uitkomst de meetkunde van volgend jaar aankondigt.

Deel I — Twee bomen, en dan een kaart van gebieden.

Teken twee punten $A$ en $B$ met $AB = 6$ cm en construeer de middelloodlijn van $[AB]$ met de passer (Methode 42.11). Kies een punt $M$ erop en controleer met de lat dat $MA = MB$ .
Propositie 42.10 zegt twee dingen tegelijk: elk punt op de middelloodlijn ligt op gelijke afstand van $A$ en $B$ , en elk punt op gelijke afstand ligt op de middelloodlijn. Welke van de twee antwoordt op de fonteinvraag van Oefening 42.8? Wat zegt de propositie over een punt dat niet op de middelloodlijn ligt?
Neem een punt $M$ aan dezelfde kant van de middelloodlijn als $A$ . Het lijnstuk $[MB]$ snijdt de middelloodlijn in een punt $P$ . Vergelijk het pad $M \to P \to B$ met het pad $M \to P \to A$ , en leg uit waarom $M$ dichter bij $A$ dan bij $B$ ligt: de middelloodlijn verdeelt het blad in een “ $A$ -kant” en een “ $B$ -kant”.
Twee scholen $A$ en $B$ bedienen een dorp. Elk kind loopt naar de dichtstbijzijnde school. Teken een kaartje met $A$ en $B$ , en kleur het precieze gebied van het dorp dat door school $A$ bediend wordt. Welke lijn vormt de grens?
Er opent een derde school $C$ (zet die zo dat de drie scholen een driehoek vormen). Construeer de middelloodlijn van $[AB]$ en die van $[BC]$ , en noem hun snijpunt $O$ . Aan welke twee gelijkheden van afstanden voldoet $O$ , en waarom?

Deel II — Drie bomen, één punt, één cirkel.

Leid uit vraag 5 af dat $OA = OC$ — en dus dat $O$ ook op de middelloodlijn van $[AC]$ ligt, die je nooit hebt getekend. Besluit: de drie middelloodlijnen van de zijden van een driehoek gaan alle drie door één punt.
Leg uit waarom de cirkel met middelpunt $O$ en radius $OA$ ook door $B$ en door $C$ gaat: het is de cirkel door de drie punten — de omgeschreven cirkel van de driehoek $ABC$ .
Construeer een driehoek met zijden $6$ cm, $5$ cm en $4$ cm (Methode 41.2), en daarna zijn omgeschreven cirkel. Waarom is het genoeg om maar twee middelloodlijnen te tekenen om het middelpunt te vinden?
Het gebroken bord: een archeoloog vindt een scherf waarvan alleen een stukje van de ronde rand van het bord nog intact is. Beschrijf een recept dat het middelpunt en de radius van het oorspronkelijke bord terugvindt — en test het: teken met je passer een cirkelboog, “vergeet” het middelpunt, zet drie punten op de boog en bouw hem terug.
Kunnen er ooit drie punten zijn waar geen cirkel door gaat? Stel dat $A$ , $B$ en $C$ op één lijn liggen. Wat kun je zeggen over de middelloodlijnen van $[AB]$ en van $[BC]$ (Propositie 40.3)? Besluit.

Deel III — Assen overal, en de wandelende spiegel.

Voorbeeld 42.7 telde $3$ assen voor de gelijkzijdige driehoek en $4$ voor het vierkant. Vermoed het aantal voor een regelmatige vijfhoek en een regelmatige zeshoek, en beschrijf waar de assen in elk geval lopen (een oneven aantal zijden tegen een even aantal: de twee situaties verschillen).
Vouw een blad papier één keer en knip er door beide lagen een vorm uit; vouw het weer open. Waarom heeft het gat altijd een symmetrieas, wat je ook knipt, en welke lijn is die as?
Vouw het blad twee keer — de tweede vouw loodrecht op de eerste — knip, en vouw het weer open. Hoeveel symmetrieassen heeft het gat minstens, en hoeveel kopieën van je knip zie je? (Papieren sneeuwvlokken zijn dit idee, nog verder doorgevouwen.)
De wandelende spiegel: teken op ruitjespapier een verticale as $d_1$ , een vlaggetje $F$ links ervan, en een tweede verticale as $d_2$ , $4$ vakjes rechts van $d_1$ . Spiegel $F$ in $d_1$ (beeld $F'$ ), en spiegel $F'$ daarna in $d_2$ (beeld $F''$ ). Vergelijk $F$ en $F''$ : dezelfde omloopsrichting of gespiegeld? Hoeveel vakjes is de figuur opgeschoven? Vergelijk dat met de afstand tussen de assen.
Dezelfde proef met $d_2$ loodrecht op $d_1$ : spiegel het vlaggetje in de verticale as, en dat beeld daarna in de horizontale. Beschrijf hoe $F''$ ligt ten opzichte van $F$ en van het snijpunt van de twee assen. (Je hebt net de transformatie van volgend jaar ontdekt: Hoofdstuk 52.)

Oplossing

Oplossing van Probleem 42.1.

1. Constructie zoals in Methode 42.11; voor elk punt $M$ op de lijn bevestigt de lat dat $MA = MB$ (Propositie 42.10).

2. De fonteinvraag heeft de tweede richting nodig: alle punten op gelijke afstand liggen op de middelloodlijn, dus zijn de mogelijke plekken precies die lijn en niets anders. En een punt dat niet op de middelloodlijn ligt, ligt dus niet op gelijke afstand: het ligt strikt dichter bij een van de twee bomen.

3. De twee paden delen het stuk $[MP]$ , en $PB = PA$ omdat $P$ op de middelloodlijn ligt. Het pad $M \to P \to B$ is dus even lang als het pad $M \to P \to A$ , namelijk $MP + PA$ . Nu is $MB$ de rechte weg naar $B$ — die is hier juist het pad via $P$ , dus $MB = MP + PA$ ; en de rechte weg naar $A$ is korter dan de omweg via $P$ : $MA < MP + PA = MB$ . Elk punt aan de kant van $A$ ligt dichter bij $A$ .

4. De grens is de middelloodlijn van $[AB]$ : school $A$ bedient precies de helft van het dorp aan haar kant van die lijn (vraag 3), school $B$ de andere helft, en kinderen die op de lijn zelf wonen, mogen kiezen.

5. $O$ ligt op de middelloodlijn van $[AB]$ , dus $OA = OB$ ; en op de middelloodlijn van $[BC]$ , dus $OB = OC$ (Propositie 42.10).

6. Uit $OA = OB$ en $OB = OC$ volgt $OA = OC$ . Volgens de tweede richting van Propositie 42.10 ligt een punt op gelijke afstand van $A$ en $C$ op de middelloodlijn van $[AC]$ : de derde middelloodlijn gaat ongevraagd door $O$ . De drie middelloodlijnen van elke driehoek gaan dus door één punt.

7. De cirkel met middelpunt $O$ en radius $OA$ bestaat uit alle punten op afstand $OA$ van $O$ (Definitie 40.5); omdat $OB = OA$ en $OC = OA$ , liggen $B$ en $C$ erop. Eén middelpunt, één radius, drie punten bediend: het is de cirkel door $A$ , $B$ en $C$ .

8. Twee middelloodlijnen zijn genoeg, omdat de derde automatisch volgt (vraag 6): hun snijpunt voldoet al aan alle drie de gelijkheden van afstanden. De cirkel teken je met middelpunt $O$ en de passer geopend van $O$ tot een van de drie hoekpunten.

9. Recept: zet drie punten $A$ , $B$ en $C$ op de overgebleven boog; teken de middelloodlijnen van de koorden $[AB]$ en $[BC]$ ; hun snijpunt is het middelpunt van het bord, en de afstand tot $A$ is de radius. Het werkt omdat de rand van het bord een cirkel door de drie gemarkeerde punten is — en vraag 8 vindt de cirkel door die punten. De testboog komt precies terug.

10. Liggen $A$ , $B$ en $C$ op één lijn, dan staan de middelloodlijn van $[AB]$ en die van $[BC]$ beide loodrecht op dezelfde lijn $(AB) = (BC)$ — ze zijn dus parallel aan elkaar (Propositie 40.3) en snijden elkaar, omdat ze verschillend zijn, nooit. Geen enkel punt ligt op gelijke afstand van alle drie, en er gaat dus geen cirkel door drie punten op één lijn.

11. Regelmatige vijfhoek: $5$ assen, elk door één hoekpunt en het midden van de zijde ertegenover (oneven aantal: elke as is van dat ene soort). Regelmatige zeshoek: $6$ assen — drie door hoekpunten die tegenover elkaar liggen en drie door de middens van zijden die tegenover elkaar liggen (even aantal: twee soorten, half en half). Het patroon: een regelmatige veelhoek met $n$ zijden heeft $n$ assen.

12. De knip gaat in één keer door beide lagen, dus verliezen de twee lagen precies overeenkomstige stukken; openvouwen is de spiegeling in de vouwlijn, die de rand van de ene laag op die van de andere afbeeldt. Het gat is zijn eigen spiegelbeeld: de vouwlijn is zijn symmetrieas — wat je ook geknipt hebt.

13. Het opengevouwen gat heeft minstens $2$ symmetrieassen, de twee vouwlijnen, en de knip verschijnt in $4$ kopieën (elk openvouwen verdubbelt het plaatje: $1 \to 2 \to 4$ ). Vaker vouwen, zoals bij een sneeuwvlok, vermenigvuldigt de kopieën en de assen verder.

14. $F''$ heeft dezelfde omloopsrichting als $F$ (twee spiegelingen heffen het spiegelen op), dezelfde maat en dezelfde hoogte — het is gewoon $F$ , naar rechts opgeschoven. De verschuiving is $8$ vakjes: precies twee keer de afstand tussen de twee assen. Twee parallelle spiegels samen spiegelen dus helemaal niet: ze schuiven op.

15. $F''$ heeft weer dezelfde maat, maar staat nu op zijn kop, een halve draai gedraaid om het snijpunt van de twee assen: elk punt van $F''$ ligt diametraal tegenover het overeenkomstige punt van $F$ door dat middelpunt. Twee loodrechte spiegels stellen zich samen tot de halve draai — de puntspiegeling van Hoofdstuk 52.