Wiskunde basisschool en onderbouw · Grades 1–9

70Lichamen en inhouden

De ruimtemeetkunde begint met een kleine familie van lichamen — prisma’s, cilinders, piramides, kegels, bollen — en met twee vragen: hoeveel bevatten ze (inhoud), en wat zie je wanneer je ze doorsnijdt (doorsneden)? Het hoofdstuk sluit af met een feit van groot praktisch belang: een lichaam met $k$ schalen vermenigvuldigt zijn inhoud met $k^3$ .

70.1 De klassieke lichamen en hun inhoud

Stelling 70.1 (Formules voor de inhoud)

Schrijf $B$ voor de oppervlakte van het grondvlak en $h$ voor de hoogte (de afstand tussen het grondvlak en het overstaande zijvlak of de top).

lichaam	inhoud
prisma, cilinder	$V = B \times h$
[5pt] piramide, kegel	$V = \dfrac13\, B \times h$
[5pt] bol met radius $r$	$V = \dfrac43\,\pi r^3$

Voor een cilinder en een kegel met radius $r$ is de oppervlakte van het grondvlak $B = \pi r^2$ ; de oppervlakte van het boloppervlak is $4\pi r^2$ .

Bewijs. Op dit niveau zonder bewijs aangenomen. ∎

De lichamen van dit hoofdstuk. Bij elk komen in de inhoud een oppervlakte van een grondvlak en een hoogte voor — behalve bij de bol, die alleen zijn radius nodig heeft.

Voorbeeld 70.2

Een cilindrisch blikje heeft radius $4$ cm en hoogte $10$ cm:

V = \pi r^2 h = \pi \times 16 \times 10 = 160\pi \approx 503 \text{ cm}^3 \approx 0.5 \text{ L}.

Een kegel met hetzelfde grondvlak en dezelfde hoogte bevat daarvan een derde: $\frac{160\pi}{3} \approx 168$ cm $^3$ . Een bol met radius $4$ cm: $V = \frac43 \pi \times 64 = \frac{256\pi}{3} \approx 268$ cm $^3$ .

Voorbeeld 70.3 (Een piramide stap voor stap)

Een piramide heeft een vierkant grondvlak met zijde $6$ m en hoogte $5$ m.

Oppervlakte van het grondvlak: $B = 6^2 = 36$ m $^2$ .
Inhoud: $V = \frac13 \times 36 \times 5 = 60$ m $^3$ .

Let op de eenheden: was de zijde in cm en de hoogte in m gegeven, dan zou eerst een van beide omgezet moeten worden.

70.2 Doorsneden met vlakken

Propositie 70.4 (Doorsneden van de klassieke lichamen)

Een lichaam met een vlak doorsnijden geeft een vlakke figuur, de doorsnede:

een prisma of cilinder, parallel met zijn grondvlak doorsneden, geeft op elke hoogte een kopie van het grondvlak;
een piramide of kegel, parallel met zijn grondvlak doorsneden, geeft een verkleining van het grondvlak: op afstand $d$ van de top is de schaalfactor $k = \frac{d}{h}$ ;
een bol met radius $r$ , doorsneden met een vlak op afstand $d < r$ van het middelpunt, geeft een cirkel met radius $\sqrt{r^2 - d^2}$ (volgens de stelling van Pythagoras).

Bewijs. Op dit niveau zonder bewijs aangenomen. ∎

Links: een kegel parallel met zijn grondvlak doorsnijden op afstand d van de top geeft een schijf, geschaald met k = dh. Rechts: een vlak op afstand d van het middelpunt van een bol snijdt haar in een cirkel met radius √r2 - d2. — Links: een kegel parallel met zijn grondvlak doorsnijden op afstand $d$ van de top geeft een schijf, geschaald met $k = \frac dh$ . Rechts: een vlak op afstand $d$ van het middelpunt van een bol snijdt haar in een cirkel met radius $\sqrt{r^2 - d^2}$ .

Voorbeeld 70.5

Een kegel heeft grondradius $6$ en hoogte $9$ . De doorsnede met een vlak parallel met het grondvlak, op afstand $3$ van de top, is een schijf geschaald met $k = \frac39 = \frac13$ : haar radius is $6 \times \frac13 = 2$ .

Een bol met radius $5$ wordt doorsneden met een vlak op afstand $3$ van haar middelpunt: de doorsnede is een cirkel met radius $\sqrt{25 - 9} = 4$ .

70.3 Lichamen schalen

Stelling 70.6 (Gevolg van een schaling voor lengten, oppervlakten en inhouden)

Wordt een lichaam vergroot of verkleind met de schaalfactor $k > 0$ , dan:

worden alle lengten met $k$ vermenigvuldigd;
worden alle oppervlakten met $k^2$ vermenigvuldigd;
worden alle inhouden met $k^3$ vermenigvuldigd.

Bewijs. Op dit niveau zonder bewijs aangenomen. ∎

Voorbeeld 70.7

Een modelauto op schaal $\frac{1}{18}$ : de lengten zijn die van de echte auto vermenigvuldigd met $k = \frac{1}{18}$ , het geverfde oppervlak vermenigvuldigd met $k^2 = \frac{1}{324}$ , en de inhoud met $k^3 = \frac{1}{5832}$ .

De radius van een bol verdubbelen ( $k = 2$ ) vermenigvuldigt haar inhoud met $2^3 = 8$ : ga het na op de formule, $\frac43\pi (2r)^3 = \frac43 \pi \times 8r^3$ .

Voorbeeld 70.8 (Afgeknotte kegel)

Een kegel met hoogte $9$ en grondradius $6$ (inhoud $\frac13 \pi \times 36 \times 9 = 108\pi$ ) wordt op afstand $3$ van de top doorsneden, en de kleine kegel boven de doorsnede wordt weggehaald. De kleine kegel is de verkleining met $k = \frac13$ , dus is zijn inhoud $108\pi \times \left(\frac13\right)^3 = 4\pi$ . Het lichaam dat overblijft (een afgeknotte kegel) heeft inhoud $108\pi - 4\pi = 104\pi \approx 327$ .

70.4 Oefeningen

Oefening 70.1 ★

Bereken de inhouden: een balk met afmetingen $4 \times 5 \times 12$ ; een cilinder met radius $3$ en hoogte $7$ (exacte waarde met $\pi$ , daarna afgerond op de eenheid).

Oplossing

Oplossing van Oefening 70.1.

Balk: $V = 4 \times 5 \times 12 = 240$ .

Cilinder: $V = \pi r^2 h = \pi \times 9 \times 7 = 63\pi \approx 198$ .

Oefening 70.2 ★

Bereken de inhoud van een kegel met radius $5$ en hoogte $12$ , en van een piramide met rechthoekig grondvlak $8 \times 3$ en hoogte $10$ .

Oplossing

Oplossing van Oefening 70.2.

Kegel: $V = \frac13 \pi r^2 h = \frac13 \pi \times 25 \times 12 = 100\pi \approx 314$ .

Piramide: oppervlakte van het grondvlak $B = 8 \times 3 = 24$ , dus $V = \frac13 \times 24 \times 10 = 80$ .

Oefening 70.3 ★

Bereken de inhoud en de oppervlakte van het boloppervlak van een bol met radius $6$ (exacte waarden met $\pi$ ).

Oplossing

Oplossing van Oefening 70.3.

Inhoud: $V = \frac43 \pi \times 6^3 = \frac43 \pi \times 216 = 288\pi$ .

Oppervlakte van het boloppervlak: $4\pi \times 6^2 = 144\pi$ .

Oefening 70.4 ★

Een bol met radius $10$ wordt doorsneden met een vlak op afstand $8$ van haar middelpunt. Wat is de radius van de cirkel van de doorsnede?

Oplossing

Oplossing van Oefening 70.4.

Radius van de doorsnede: $\sqrt{r^2 - d^2} = \sqrt{100 - 64} = \sqrt{36} = 6$ .

Oefening 70.5 ★★

Een kegel heeft grondradius $8$ en hoogte $12$ . Een vlak parallel met het grondvlak snijdt hem op afstand $9$ van de top. Bereken de radius van de doorsnede, en daarna de inhoud van de kleine kegel boven de doorsnede.

Oplossing

Oplossing van Oefening 70.5.

Schaalfactor van de hele kegel naar de kleine: $k = \frac{9}{12} = \frac34$ . Radius van de doorsnede: $8 \times \frac34 = 6$ .

Inhoud van de hele kegel: $\frac13\pi \times 64 \times 12 = 256\pi$ . Inhoud van de kleine kegel: $256\pi \times \left(\frac34\right)^3 = 256\pi \times \frac{27}{64} = 108\pi \approx 339$ .

Oefening 70.6 ★★

Een cilindrisch glas met binnenradius $3$ cm bevat water tot een hoogte van $10$ cm. Een bal met radius $2$ cm wordt er volledig in ondergedompeld. Hoeveel stijgt het waterpeil? (De toegevoegde inhoud verdeelt zich over de oppervlakte van het grondvlak van het glas; geef de exacte stijging, en rond daarna af op de millimeter.)

Oplossing

Oplossing van Oefening 70.6.

Inhoud van de bal: $\frac43\pi \times 2^3 = \frac{32\pi}{3}$ cm $^3$ . Die inhoud verdeelt zich over de oppervlakte van het grondvlak $\pi \times 3^2 = 9\pi$ cm $^2$ , dus stijgt het peil met

\frac{32\pi/3}{9\pi} = \frac{32}{27} \approx 1.2 \text{ cm}

(ongeveer $12$ mm).

Oefening 70.7 ★★

Een recept vult een bolvormige vorm met radius $6$ cm. Je hebt alleen een bolvormige vorm met radius $3$ cm. Hoeveel kleine vormen kun je vullen? (Antwoord zonder een van beide inhouden uitdrukkelijk te berekenen.)

Oplossing

Oplossing van Oefening 70.7.

De kleine vorm is de verkleining van de grote met $k = \frac36 = \frac12$ , dus is haar inhoud $\left(\frac12\right)^3 = \frac18$ van die van de grote: het recept vult $8$ kleine vormen.

Oefening 70.8 ★★

De Grote Piramide van Gizeh heeft een vierkant grondvlak met een zijde van ongeveer $230$ m en een hoogte van ongeveer $147$ m. Schat haar inhoud, en druk die uit in miljoenen kubieke meter.

Oplossing

Oplossing van Oefening 70.8.

$V = \frac13 \times 230^2 \times 147 = \frac13 \times 52\,900 \times 147 = 52\,900 \times 49 = 2\,592\,100$ m $^3$ — ongeveer $2.6$ miljoen kubieke meter.

Oefening 70.9 ★★★

Een kegelvormige trechter met radius $6$ cm en hoogte $12$ cm, met de top naar onder, wordt met water gevuld tot de helft van zijn hoogte (gemeten vanaf de top).

Welk deel van de inhoud van de trechter is gevuld?
Wordt hij in de plaats daarvan met de helft van zijn inhoud water gevuld, toon dan aan dat de waterhoogte $d$ voldoet aan $\left(\frac{d}{12}\right)^3 = \frac12$ , en geef $d$ op de millimeter ( $\sqrt[3]{0.5} \approx 0.7937$ ).

Oplossing

Oplossing van Oefening 70.9.

1. Het water vormt een kegel geschaald met $k = \frac12$ (top naar onder, de helft van de hoogte), dus is zijn inhoud $\left(\frac12\right)^3 = \frac18$ van die van de trechter: een achtste, veel minder dan de helft!

2. Water tot hoogte $d$ vormt een kegel geschaald met $k = \frac{d}{12}$ , met een inhoud die $k^3$ keer die van de trechter is. De helft van de inhoud betekent $k^3 = \frac12$ , dat wil zeggen $\left(\frac{d}{12}\right)^3 = \frac12$ . Dan is $\frac{d}{12} = \sqrt[3]{0.5} \approx 0.7937$ , dus $d \approx 9.5$ cm: de tweede helft van de inhoud neemt maar de bovenste $2.5$ cm in — het brede deel van de kegel bevat het meeste water.

70.5 Opgave: de grafsteen van Archimedes

Probleem 70.1

Weekendopgave — de bol is twee derde van haar cilinder (twee keer), de stapel 1:2:3, en de kwadraat-kubuswet die reuzen verbiedt

Archimedes bewees vele stellingen, maar op één was hij zo trots dat hij vroeg om haar figuur in zijn grafsteen te beitelen: een bol genesteld in haar nauwste cilinder. Een eeuw later herkende de Romeinse schrijver Cicero, zoekend in de braamstruiken bij Syracuse, het graf “aan de bol en de cilinder”. Deze opgave haalt terug wat dat beeldhouwwerk in zich draagt — een dubbel wonder van twee derde — en volgt daarna inhouden en oppervlakten (Stelling 70.1, Stelling 70.6) naar een wet die reuzen, mieren en afkoelende planeten regeert.

Deel I — Het beeldhouwwerk ontcijferd. Een bol met radius $r$ zit precies in een cilinder: dezelfde radius, hoogte $2r$ .

Bereken de inhoud van de cilinder in $r$ .
Bereken de verhouding van de inhoud van de bol tot die van de cilinder. Waarom zou Archimedes het mooi gevonden hebben dat het antwoord geen $\pi$ en geen $r$ bevat?
Nu de oppervlakten: vergelijk de oppervlakte van het boloppervlak met de totale oppervlakte van de cilinder (het zijvlak plus de twee deksels). Welke verhouding duikt op — opnieuw?
De lege ruimte tussen bol en cilinder heeft inhoud $2\pi r^3 - \frac43\pi r^3$ . Toon aan dat wat overblijft precies gelijk is aan de inhoud van twee kegels met radius $r$ en hoogte $r$ .
Een basketbal met radius $12$ cm wordt in de nauwste cilindrische doos verkocht. Bereken beide inhouden (op $100$ cm $^3$ nauwkeurig) en het percentage van de doos dat leeg is.

Deel II — Schalen, vormen en manen.

Een halfbolvormige schaal heeft radius $10$ cm. Bereken haar inhoud, in cm $^3$ en in liter (op de deciliter).
De stapel 1:2:3: een kegel, een halve bol en een cilinder, alle met radius $10$ cm en hoogte $10$ cm. Bereken de drie inhouden en ga de legendarische verhouding $1 : 2 : 3$ na. (Ook deze zou Archimedes gesmaakt hebben.)
Een chocoladebol met radius $3$ cm wordt gesmolten in een cilindrische vorm met radius $3$ cm. Welke hoogte bereikt de chocolade? (Exacte breuk, en daarna op de millimeter.)
De radius van de Aarde is ongeveer $6\,371$ km, die van de Maan ongeveer $1\,737$ km. Bereken de verhouding van de radiussen, en daarna — met Stelling 70.6 — de verhouding van de inhouden: hoeveel Manen zouden er, naar inhoud, in een holle Aarde passen?
Uit dezelfde stelling: wat is de verhouding van de oppervlakten van Aarde en Maan? En in het algemeen: wat gebeurt er met de inhoud en met het oppervlak van een ballon wanneer zijn radius verdubbelt? Formuleer de kwadraat-kubuswet: schaalt een vorm op, dan lopen de inhouden de oppervlakten voorbij.

Deel III — De kwadraat-kubuswet regeert de wereld.

Het argument van Galilei tegen reuzen: stel je een mens voor die met een factor $10$ is opgeschaald, met dezelfde verhoudingen. Met welke factor groeit het gewicht (gewicht volgt de inhoud)? Met welke factor groeit de doorsnede van de beenderen (een oppervlakte)? Met welke factor groeit dan de druk op elke vierkante centimeter been — en wat gebeurt er met de reus?
Dezelfde wet in omgekeerde richting verklaart het heldendom van mieren: kracht volgt de doorsnede van de spieren (een oppervlakte), gewicht volgt de inhoud. Met welke factoren krimpen gewicht en kracht voor een dier dat in elke richting $100$ keer kleiner is, en met welke factor verbetert de verhouding van kracht tot gewicht?
Warmte wordt geproduceerd door de inhoud van het lichaam en verloren via zijn oppervlak. Toon aan dat de verhouding van oppervlak tot inhoud voor een bol $\frac{3}{r}$ is, en bereken die voor $r = 1$ en $r = 2$ . Wat koelt sneller af, een muis of een beer — en waarom hebben baby’s in de winter een muts nodig?
Twee bolvormige sinaasappels met radiussen $4$ cm en $5$ cm worden voor dezelfde prijs verkocht. Bereken de verhouding van hun inhouden: hoeveel meer sinaasappel geeft de grote voor hetzelfde geld?
Slot: beschrijf precies wat de figuur op de grafsteen in zich draagt — de twee keer “twee derde” van vragen 2 en 3 — en antwoord Cicero in één zin: waarom zou een wiskundige, boven elke verovering van zijn ingenieursgenie, een bol in een cilinder kiezen?

Oplossing

Oplossing van Probleem 70.1.

1. $V_{\text{cil}} = \pi r^2 \times 2r = 2\pi r^3$ .

2. $\dfrac{V_{\text{bol}}}{V_{\text{cil}}} = \dfrac{\frac43 \pi r^3}{2 \pi r^3} = \dfrac23$ . De $\pi$ en de $r^3$ vallen weg: de verhouding is universeel — waar voor een knikker en voor een planeet. Een verband tussen vormen, niet tussen getallen: precies het soort waarheid dat het verdient in steen gebeiteld te worden.

3. Bol: $4\pi r^2$ . Cilinder: het zijvlak $2\pi r \times 2r = 4\pi r^2$ , plus twee deksels $2 \times \pi r^2$ : samen $6\pi r^2$ . Verhouding: $\frac{4\pi r^2}{6\pi r^2} = \frac23$ — dezelfde twee derde, nu voor oppervlakten. (En een extraatje: de oppervlakte van de bol is precies gelijk aan die van het zijvlak van de cilinder.)

4. Wat overblijft: $2\pi r^3 - \frac43\pi r^3 = \frac23 \pi r^3$ . Twee kegels met radius $r$ en hoogte $r$ : $2 \times \frac13 \pi r^2 \times r = \frac23 \pi r^3$ . Gelijk.

5. Bal: $\frac43 \pi \times 12^3 \approx 7\,200$ cm $^3$ ; doos: $2\pi \times 12^3 \approx 10\,900$ cm $^3$ . Leeg: een derde van de doos, ongeveer $33\,\%$ — gewaarborgd door vraag 2, wat de grootte van de bal ook is.

6. De helft van een bol: $\frac12 \times \frac43 \pi \times 10^3 = \frac23 \pi \times 1\,000 \approx 2\,094$ cm $^3 \approx 2.1$ L.

7. Kegel: $\frac13 \pi \times 10^2 \times 10 = \frac{1\,000\pi}{3} \approx 1\,047$ cm $^3$ . Halve bol: $\frac{2\,000\pi}{3} \approx 2\,094$ cm $^3$ . Cilinder: $1\,000\pi \approx 3\,142$ cm $^3$ . Verhoudingen: $\frac{1000\pi}{3} : \frac{2000\pi}{3} : \frac{3000\pi}{3} = 1 : 2 : 3$ , precies.

8. $\frac43 \pi \times 27 = \pi \times 9 \times h$ geeft $h = \frac43 \times 3 = 4$ cm, precies.

9. Radiussen: $\frac{6\,371}{1\,737} \approx 3.67$ . Inhouden schalen met de derde macht (Stelling 70.6): $3.67^3 \approx 49$ . Er passen ongeveer vijftig Manen in de Aarde.

10. Oppervlakten schalen met het kwadraat: $3.67^2 \approx 13.5$ . De radius van een ballon verdubbelen vermenigvuldigt zijn inhoud met $2^3 = 8$ , maar zijn oppervlak met slechts $2^2 = 4$ : als dingen groeien, loopt de inhoud (gewicht, vulling, geproduceerde warmte) het oppervlak (huid, materiaal, verloren warmte) voorbij — de kwadraat-kubuswet.

11. Gewicht: $\times 10^3 = 1\,000$ . Doorsnede van het been: $\times 10^2 = 100$ . Druk — gewicht per oppervlakte been: $\times \frac{1000}{100} = 10$ . Beenderen die voor menselijke druk gebouwd zijn, krijgen er tien keer zoveel: het skelet van de reus knapt onder zijn eigen gewicht. Reuzen zijn meetkundig onmogelijk; grote dieren hebben onevenredig dikke beenderen nodig (vergelijk de benen van een olifant met die van een gazelle).

12. Gewicht: $\div 100^3 = 10^6$ . Kracht (doorsnede van de spieren): $\div 100^2 = 10^4$ . Kracht ten opzichte van gewicht: $\times \frac{10^6}{10^4} = 100$ . De mier die vijftig keer haar gewicht tilt is geen superatleet — ze is alleen maar klein; een mens die tot mierengrootte krimpt, zou hetzelfde kunnen.

13. $\dfrac{S}{V} = \dfrac{4\pi r^2}{\frac43\pi r^3} = \dfrac{3}{r}$ : voor $r = 1$ is de verhouding $3$ , voor $r = 2$ is ze $1.5$ — de grootte halveren verdubbelt het beschikbare oppervlak per eenheid warmteproducerende inhoud. Kleine lichamen bloeden warmte weg: de muis moet onophoudelijk eten, de beer kan een winterslaap houden, en de baby — kleine bol, grote $\frac Sr$ — heeft de muts nodig.

14. $\left(\frac54\right)^3 = \frac{125}{64} \approx 1.95$ : de grote sinaasappel bevat bijna twee keer zoveel vrucht voor dezelfde prijs. Koop radius.

15. Het beeldhouwwerk zegt: de bol is $\frac23$ van de cilinder in inhoud, en $\frac23$ ervan in totale oppervlakte — twee exacte, universele verhoudingen die het rondste lichaam met het eenvoudigste verbinden. Het antwoord aan Cicero: omdat een stelling het enige monument is dat legers noch eeuwen afslijten — de machines van Archimedes verbrandden met Syracuse, maar de twee derde is nog steeds precies twee derde.